含中介軸承波紋度的雙轉子系統振動特性分析

摘要： 針對雙轉子系統中存在中介軸承波紋度的問題，以含變截面外轉子的雙轉子?軸承系統為研究對象，考慮中介軸承滾動體和內、外圈滾道波紋度，基于有限元法建立了雙轉子?軸承系統的動力學模型，采用四階Runge?Kutta數值解法求解方程，分析了波紋度激勵對系統頻譜特征和幅頻響應曲線的影響。結果表明：內、外圈滾道存在波紋度時系統會出現內、外轉子轉頻和保持架轉頻的組合頻率，滾動體存在波紋度時系統會出現偶數倍的滾動體自轉頻率；考慮轉子不平衡激勵，外圈滾道波紋度會增大外轉子主激勵的共振區域的振動，且隨著波紋度幅值的增加，系統的振動會在整個轉速范圍內增大，而內圈滾道波紋度與不平衡激勵兩者的振動響應會在內轉子主激勵的第二次共振區域出現近似同頻反相的現象，系統的振動會隨著波紋度幅值的增加而降低，在其他區域的振動會增大，相對于高轉速區域，滾動體波紋度對低轉速區域的振動特性會有較大影響。

關鍵詞： 轉子動力學； 雙轉子系統； 中介軸承； 波紋度； 幅頻響應

中圖分類號： O347.6； TH113； TH133 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）09-1523-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.09.009

引 言

現代燃氣輪機和航空發動機一般采用有中介軸承支承的雙轉子結構形式，中介軸承（一般為圓柱滾子軸承或深溝球軸承）［1］的存在增大了高、低壓轉子的動力學耦合效應。由于機械加工誤差不可避免，中介軸承內圈、外圈滾道和滾動體表面會產生波紋度，而波紋度又是轉子?軸承系統振動的重要激勵源之一，會使雙轉子?軸承系統表現出更為復雜的動力學特性。因此，有必要對含中介軸承波紋度的雙轉子系統振動特性展開研究。

對于單轉子?軸承系統，顧曉輝等［2］考慮了球軸承內、外圈滾道波紋度、徑向游隙和非線性赫茲力，研究了波紋度最大幅值和轉速對單轉子?軸承系統非線性振動的影響，并用關聯維數判別了系統波紋度故障的程度。Wang等［3］考慮了滾子軸承的波紋度和徑向游隙，建立了轉子?滾動軸承的四自由度動力學方程，通過分岔圖、龐加萊截面圖和頻譜圖等分析了系統響應的穩定性。Zhang等［4］考慮了球軸承波紋度、不平衡力和滾動體的變柔度振動，提出了一個全面的轉子?軸承系統動力學模型，深入討論了軸承波紋度的幅值和初相角、轉子偏心、軸承預緊力和旋轉系統阻尼對系統失穩區域的影響。康鋒等［5］考慮了薄壁滾動軸承內、外圈滾道波紋度、徑向間隙等非線性因素，建立了薄壁軸承?轉子系統非線性動力學模型，分析了系統的強迫振動特性。劉永葆等［6］以某船用燃氣輪機低壓轉子系統為研究對象，建立了軸承波紋度故障下的雙跨三支承滾動軸承轉子系統的動力學模型，研究了波紋度最大幅值和波紋度個數對系統的非線性動力學特性影響規律。余登亮等［7］建立了球軸承內、外圈表面的波紋度模型，研究了含波紋度滾動軸承支撐下裂紋轉子系統發生碰摩故障時的動力學特性。Nan等［8］考慮軸承波紋度故障、不平衡激勵、非線性Hertz接觸力、變柔度振動以及軸材料的物理非線性剛度等，建立了一種新的滾動軸承支承的非線性轉子模型，研究了波紋度、間隙和質量偏心對動力學行為的影響。Harsha等［9］考慮了球軸承內、外圈滾道波紋度和滾珠與滾道之間的非線性接觸力，對球軸承支承的剛性轉子的穩定性進行了研究。

在雙轉子?軸承系統方面，考慮軸承波紋度的雙轉子系統動力學特性的研究較少，Lu等［10］、Ma等［11］基于有限元法建立了雙轉子系統的動力學方程，考慮中介軸承的徑向游隙等非線性因素，分析了徑向游隙對系統非線性振動的影響，沒有考慮中介軸承波紋度的影響。侯磊等［12］考慮了中介軸承內、外圈滾道波紋度，用單個正弦函數表達波紋度波形，應用拉格朗日方程建立了雙轉子?軸承系統的動力學模型，主要從分岔圖和龐加萊截面圖角度分析了轉速、波紋度幅值等參數對系統的非線性動力學行為。李靜等［13］建立了考慮中介軸承內圈滾道波紋度的雙轉子系統模型，將波紋度模型簡化為單個正弦函數形式，從時變剛度曲線、幅頻響應曲線、分岔圖以及龐加萊截面圖方面，對比分析了理想中介軸承和考慮內圈滾道波紋度時雙轉子?軸承系統的動力學特性，發現波紋度使雙轉子系統運動更加復雜。

上述研究工作主要分析了單轉子?軸承系統存在波紋度時的振動特性，少量工作針對雙轉子?軸承系統探索了內、外圈滾道波紋度對系統分岔和混沌特性的影響規律，對雙轉子系統振動特性的研究都鮮有考慮到滾動體波紋度的影響。本文將以雙轉子?軸承系統為研究對象，考慮中介軸承滾動體和內、外圈滾道的波紋度，將波紋度模型簡化為多個周期性的余弦函數的疊加，利用有限元法建立了含變截面外轉子的雙轉子?軸承系統的動力學模型，對波紋度激勵下雙轉子?軸承系統的振動頻譜特征和幅頻響應特性開展研究。

1 雙轉子?軸承系統的動力學建模

1.1 中介軸承波紋度模型的建立

理想滾動軸承的內、外圈滾道和滾動體表面為光滑曲面，但由于機械加工誤差，實際會產生帶波紋度的軸承表面。此時滾動體與內、外圈滾道接觸面的曲率半徑是時變的，導致接觸力也是時變的。本文研究的中介軸承為滾珠軸承，軸承外圈滾道剛性固定在外轉子上，隨外轉子同速轉動，內圈滾道剛性固定在內轉子上，隨內轉子同速轉動。如圖1所示為軸承內圈、外圈滾道和滾動體波紋度模型的示意圖。將軸承波紋度簡化為多個余弦函數的疊加［3］，疊加的數目和波紋度的階數有關。

建立波紋度模型之前，首先通過理論力學推導滾動體的自轉速度，假設滾動體與滾道之間為純滾動，無滑動，在接觸點上兩表面的線速度相等，接觸角為0°。如圖2所示為滾動體和內、外圈滾道之間的運動關系圖。

設軸承內、外圈滾道同向旋轉，外圈滾道轉速大于內圈滾道轉速；，兩點分別為滾動體與外圈滾道和內圈滾道的接觸點，為滾動體中心；，，分別為，，三點的線速度；，，分別為內圈、外圈滾道和保持架轉速，，，分別表示它們的大小；為滾動體自轉速度；CA代表由C點指向A點的矢量；CB代表由C點指向B點的矢量；，，分別為內圈、外圈滾道半徑和滾動體半徑，則由剛體平面運動可得：

（1）

則內、外圈滾道同向旋轉時滾動體自轉速度大小和保持架的旋轉速度大小分別為：

（2）

（3）

對于波紋度模型，設單個余弦函數的表達式為：

（4）

式中 j為單個余弦函數模型的波紋度階數；為波紋度的幅值；為波紋度波紋的波長；為某時刻距離參考點的弧長；為波紋度的初始接觸角；內圈、外圈滾道和滾動體的波紋度參數表達式如下：

（5）

式中 為滾動體編號；為滾動體個數；，分別為某時刻第個滾動體和內圈、外圈滾道接觸點相對滾動體參考點運動的距離；，分別為某時刻第個滾動體和內圈、外圈滾道接觸點相對內圈、外圈滾道參考點運動的距離；，，分別為內圈、外圈滾道和滾動體波紋度波紋的波長。

滾動軸承工作時，由于滾動體的旋轉路徑不可預測，假設滾動體表面波紋度僅具有平面運動，和分別為第個滾動體與內圈、外圈滾道接觸時的滾動體波紋度，和分別為第個滾動體與內圈、外圈滾道接觸時內圈和外圈滾道的波紋度，則將式（5）代入式（4），并疊加多個余弦函數可得內圈、外圈滾道以及滾動體的波紋度表達式為［3］：

（6）

式中 為多個余弦函數疊加模型的波紋度階數，在后文中簡稱為波紋度階數；，，分別為內圈、外圈滾道和滾動體的波紋度幅值；，，分別為內圈、外圈滾道和滾動體波紋度的初始接觸角度。

1.2 考慮波紋度的中介軸承彈性恢復力建模

考慮中介軸承為深溝球軸承，根據滾動軸承Hertz接觸理論，第個球與內、外圈滾道接觸時的接觸力為［14］：

（7）

式中 為第個滾動體與滾道之間的彈性變形；為滾動體與內、外圈滾道之間的等效Hertz接觸剛度；為Heaviside階躍函數。

設軸承徑向游隙為，內圈滾道在方向和方向移動了距離和，外圈滾道在方向和方向移動了距離和，則考慮軸承波紋度的彈性變形為：

（8）

式中 為中介軸承第個滾動體的位置角，即，則可得軸承的總彈性恢復力在方向和方向的分力為：

（9）

1.3 雙轉子?軸承系統動力學建模

參考文獻［15］，建立了本文的雙轉子?軸承系統模型，如圖3所示。軸承1和2為內轉子的支承軸承，軸承3為外轉子的支承軸承，軸承4為中介軸承。根據圓盤和軸承的位置，將內轉子劃分為6個節點，外轉子劃分為4個節點，其中8，9節點之間的軸段單元為變截面形式。

等截面和變截面軸段單元示意圖如圖4所示，變截面軸段采用錐形梁單元。設軸段單元的長度為，密度為，拉壓彈性模量為，泊松比為，剪切彈性模量為，橫截面面積為，截面對中性軸的慣性矩為，為截面剪切系數，即：

（10）

式中 ，分別為圓截面的內徑和外徑。

引入剪切參數，等截面軸段的剪切參數為一個常數，等截面軸段采用考慮剪切變形和轉動慣量的Timoshenko梁模型；而變截面軸段的剪切參數隨著軸向位置是變化的，不再是常數，比較復雜，由于本文模型僅考慮了一個變截面軸段，其剪切效應對計算結果影響很小可忽略，因此變截面軸段采用考慮轉動慣量的Rayleigh梁模型。

在單元上取一微元，由拉格朗日方程可得等截面梁單元移動慣性矩陣、轉動慣性矩陣和陀螺力矩矩陣、剛度矩陣分別為：

（11）

（12）

（13）

式中 ，為單元形函數［16］。

推導變截面梁單元矩陣時，橫截面面積、截面對中性軸的慣性矩不再是一個常數，而是根據截面形狀隨著軸向位置變化的。可將單元內參數隨著軸向距離的變化關系式展開為多項式的形式，再進行積分累加可得到變截面梁單元矩陣［17］。建立變截面梁問題的關鍵在于將軸段截面的變化參數展開為多項式的形式，和根據截面變化形狀可直接展開為多項式或者通過泰勒展開得到其多項式如下：

（14）

（15）

式中 和分別表示S和I展開多項式的最高次數；n表示多項式連加求和中的一個過程變量。考慮變截面梁為線性變化，由拉格朗日方程可得線性錐形梁單元移動慣性矩陣、轉動慣性矩陣、陀螺力矩矩陣、剛度矩陣分別為：

（16）

（17）

（18）

利用有限元法單元組合規則，可得雙轉子?軸承系統的運動微分方程為：

（19）

式中 ，，分別為內、外轉子的總質量矩陣、總回轉矩陣和總剛度矩陣；為瑞利阻尼矩陣；，為轉子的不平衡力；為圓盤的重力；，為軸承非線性彈性恢復力；，為內、外轉子的廣義位移向量，即：

（20）

2 有限元模型驗證及求解方法

2.1 有限元模型驗證

內、外轉子參數如表1所示。圓盤1和2的參數相同，質量、極轉動慣量和直徑轉動慣量分別為9.683 kg，0.049 kg·m2，0.0245 kg·m2；圓盤3和4的參數相同，質量、極轉動慣量和直徑轉動慣量分別為9.139 kg，0.04878 kg·m2，0.02439 kg·m2；內、外轉子材料密度為7800 kg/m3；泊松比為0.3；拉壓彈性模量為2.11011 Pa。將支承軸承線性化處理，x和y方向的剛度相同，支承軸承1，2，3的剛度分別為，， N/m。中介軸承為深溝球軸承6005，基本幾何參數如表2所示，其等效接觸剛度kb由文獻［1］中的方法計算為8.4922×109 N/m1.5。

為驗證本文所編寫的雙轉子?軸承系統有限元計算程序是有效可行的，將使用ANSYS軟件計算雙轉子?軸承系統的臨界轉速和本文編寫有限元程序計算的結果進行對比，先假設中介軸承兩個方向的剛度均為8.75106 N/m［15］，內、外轉子轉速比為1.5。如圖5所示為ANSYS建立的雙轉子?軸承系統有限元模型，轉子采用BEAM188單元模擬，軸承采用COMBI214單元模擬，圓盤采用MASS21單元模擬。如圖6所示為以內轉子轉速為橫軸的Campbell圖，圖中斜率為ki和ko的直線分別代表內、外專子的同步激勵線，A點和B點分別為內轉子主激勵的前兩階臨界轉速，C點和D點分別為外轉子主激勵的前兩階臨界轉速，臨界轉速計算結果如表3所示。可知本文求解的臨界轉速和ANSYS求解的結果最大誤差為1.31%，證明了本文所編寫的有限元計算程序的正確性。

2.2 系統動力學響應求解方法

由于系統方程中含中介軸承非線性恢復力，四階Runge?Kutta數值積分法可以直接應用于非線性系統，本文采用四階Runge?Kutta法求解方程，設系統振動微分方程為：

（21）

式中 分別為系統質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、外力向量和所求位移向量。

首先需要將方程降階，即定義一個新的向量，并對求導，即：

（22）

（23）

設步長為，在時刻處計算的遞推公式為：

（24）

3 波紋度對系統響應頻譜特征分析

為研究波紋度激勵對雙轉子?軸承系統響應頻譜特征的影響，以內圈滾道波紋度、外圈滾道波紋度和滾動體波紋度為控制變量分別分析，設內圈、外圈滾道波紋度幅值均為5 μm，滾動體波紋度幅值為2 μm，內圈、外圈滾道和滾動體波紋度初始接觸角度分別為，和，軸承徑向游隙為4 μm，內、外轉子轉速比為1.5，取圖3中內轉子節點2處的垂直方向振動響應為研究對象。

3.1 外圈滾道波紋度的影響

僅考慮外圈滾道波紋度時，取內轉子轉速為7200 r/min，波紋度階數為1～20階的三維譜圖如圖7所示。外圈滾道波紋度階數為1時，頻譜圖中會出現外圈旋轉頻率，其他頻率成分不明顯。在計算的不同階數下，隨著階數的增加，頻譜圖中均出現了相同的外圈滾道波紋度引起的特征頻率。

為進一步分析頻譜特征，取波紋度的階數為10，滾動體個數為8和10的頻譜圖如圖8所示。發現頻率成分均存在和保持架旋轉速度頻率的組合頻率以及倍頻，即，，和等頻率，這些頻率多數和滾動體的個數Z具有一定關系，這是因為軸承受載區滾動體的數目和位置變化而導致支承剛度是時變的，系統是在這種時變剛度下產生的振動響應。另外本文波紋度激勵為一個多頻激勵問題，當非線性系統受到多頻激勵時，系統出現了激勵頻率倍數之和或者之差的組合振動現象。繪制兩種工況下的時域曲線如圖9所示。對比頻譜和時域曲線可知滾動體個數為10時的振動響應相對滾動體個數為8時更劇烈，這是因為此時波紋度階數為10，與滾動體個數相等，這和文獻［18］單轉子?軸承系統得出的結論相同，即波紋度階數與滾動體個數相等時，系統會出現較大振動。

為更一般化分析系統頻譜特征，如圖10所示為10階外圈滾道波紋度下的三維譜圖。低轉速時頻率成分復雜，特征頻率不是很明顯，且振動幅值比較低，而在較高轉速時波紋度激勵產生的特征頻率能夠清晰地體現出來，這些頻率隨著轉速的逐漸增大而增大，且頻率成分主要分布在外圈旋轉頻率和波紋度激勵特征頻率的兩側，主要頻率成分可總結為，其中和為自然數。

3.2 內圈滾道波紋度的影響

僅考慮內圈滾道波紋度時，取內轉子轉速為2400 r/min，波紋度階數為10，如圖11所示為考慮內圈滾道波紋度的三維譜圖，滾動體個數為8和10的頻譜如圖12所示。和外圈滾道波紋度計算結果類似，在不同階數下均出現了波紋度引起的特征頻率，但與外圈滾道引起的特征頻率不同，此時頻率成分主要包括內圈旋轉頻率以及其和的組合頻率，即，，等頻率成分。

對比頻譜圖可知滾動體個數為10時的振動響應比滾動體個數為8時的大，這和波紋度階數有關。由圖10可知低轉速時系統的特征頻率不明顯，隨著轉速的升高，特征頻率能明顯的體現出來，主要頻率成分可總結為，其中和為自然數。另外在考慮波紋度激勵時，軸承的變柔度振動頻率（）不能明顯體現，會被波紋度激勵引起的振動所淹沒。

3.3 滾動體波紋度的影響

僅考慮滾動體波紋度時，取波紋度階數為10，認為所有滾動體具有相同的波紋度，如圖13所示為考慮滾動體波紋度的三維譜圖。系統在整個轉速范圍內存在偶數倍的球自轉頻率和一些100 Hz以內的其他低頻頻率，這些低頻頻率是系統考慮波紋度而產生的系統共振頻率，和此時刻系統的固有特性有關。繪制系統的幅頻響應曲線如圖14所示。發現系統在0～2000 r/min轉速范圍內振動比較復雜，且振動相對高轉速時較大，從瀑布圖中看出振動頻率成分主要為偶數倍的球自轉頻率，系統共振頻率的幅值較小；而在2760～3900 r/min和4920～6600 r/min區域內的振動頻率主要為系統的共振頻率，偶數倍球自轉頻率的振動幅值較小。

本文從軸承恢復力的角度分析系統在0～2000 r/min低轉速范圍內比高轉速時振動相對較大的原因，內轉子轉速分別為300 r/min和4800 r/min時考慮波紋度與不考慮波紋度的軸承恢復力時域和頻域圖如圖15，16所示。由于波紋度的存在，內轉子轉速為300 r/min時的軸承彈性恢復力會在一段時間內較平緩，然后會突然變化劇烈，類似沖擊一樣的變化趨勢，導致低轉速下系統振動過大；而在較高轉速如內轉子轉速為4800 r/min時，軸承的彈性恢復力是相對比較連續的，沒有明顯沖擊特征。另外球的自轉頻率是隨著轉速的增大而增大的，低轉速時球波紋度波峰和內、外圈滾道接觸時間間隔相對高轉速時較長，導致在相同時間段高轉速和低轉速時的軸承恢復力時域曲線特征有差別，從而影響系統的振動響應。

對軸承彈性恢復力進行傅里葉變換，不考慮軸承波紋度時的軸承恢復力頻率主要為軸承變柔度振動頻率及其倍頻，而考慮軸承波紋度比不考慮波紋度時的頻譜成分豐富且復雜，主要有系統的共振頻率，還有，，等偶數倍的球自轉頻率，出現偶數倍是因為滾動體不僅和內圈接觸，還和外圈接觸，波紋度激勵由兩部分激勵共同組成。

通過上述分析，滾動體存在波紋度時，系統響應會出現偶數倍的球自轉頻率，低轉速時頻率成分幅值較大，高轉速時頻率成分幅值較小，且會存在和系統共振的頻率成分。

4 波紋度對系統幅頻響應的影響

本節考慮內、外轉子的不平衡力，設內轉子2節點有9.68310-5的不平衡量，外轉子8節點上有9.13910-5的不平衡量，初相位均為0，波紋度模型參數同前文所述，分別對僅考慮波紋度、僅考慮不平衡力以及同時考慮兩者的幅頻響應進行計算，探究考慮波紋度激勵下系統的振動響應。

4.1 考慮外圈滾道波紋度對系統響應的影響

如圖17所示為考慮外圈滾道波紋度和轉子不平衡激勵時的幅頻曲線對比圖。高轉速時主要是由轉子不平衡引起的振動，軸承的波紋度對振動響應特性影響較小；而在低轉速時波紋度激勵會在一些轉速下引起共振，不能忽略其對系統的影響。

僅考慮轉子不平衡力時，在一定轉速范圍內，幅頻響應曲線中會出現四個共振峰，是由內、外轉子不平衡引起的共振，在線性領域內可解釋為由內轉子和外轉子主激勵的前兩階臨界轉速引起的共振，即共振峰對應的轉速可稱為臨界轉速。

僅考慮軸承外圈滾道波紋度時，低轉速下會出現幾個振動較大的區域，這是由波紋度激勵引起的，振動頻率成分主要為外圈滾道波紋度故障對應的特征頻率。但隨著轉速的升高，轉子不平衡力逐漸增大，對系統的振動響應起主導作用，而波紋度激勵引起的振動會趨于平緩，對系統振動響應影響較小。高轉速下波紋度激勵引起的振動響應中存在很多高頻成分，且可認為滾動體滾過波紋度波峰或波谷的時間較短，軸承恢復力較為連續，波紋度對系統振動影響較小。

同時考慮轉子不平衡力和外圈滾道波紋度時，圖17中出現了7個共振峰，對應轉速分別為：780，1380，1920，3000，3960，4920，7500 r/min。其中780，1380和3960 r/min時的振動主要是由保持架轉頻和外轉子轉頻的組合頻率引起的系統共振。如圖18所示為這三個共振點的頻譜分析，其主導的頻率分別為，以及。

而1920 r/min和4920 r/min時的振動是外轉子不平衡和外圈滾道波紋度激勵共同引起的，主要頻率成分為，這兩個轉速附近分別可稱為外轉子主激勵的第一次和第二次共振區域；3000 r/min和7500 r/min時主要是由內轉子不平衡引起的振動，主要頻率成分為，這兩個轉速附近分別可稱為內轉子主激勵的第一次和第二次共振區域，此時外圈滾道波紋度激勵對這兩個區域的振動幾乎沒有影響。通過上述分析，在考慮外圈滾道波紋度時，系統振動特性變得更復雜，波紋度激勵不僅會增大低轉速區域的振動，還會對外轉子主激勵的共振區域振動產生影響。

4.2 考慮內圈滾道波紋度對系統響應的影響

如圖19所示為考慮內圈滾道波紋度和轉子不平衡激勵時的幅頻曲線對比圖。和考慮外圈滾道波紋度結果類似，系統的幅頻響應曲線中也出現了多個共振峰，共振峰的出現主要由轉子的不平衡力和內圈滾道波紋度激勵引起。出現的共振峰對應的轉速分別為720，960，1320，1920，3000，4920，7500 r/min。其中720，960以及1320 r/min時的振動主要是由保持架轉頻和內轉子轉頻的組合頻率引起的系統共振，如圖20所示為這三個共振點的頻譜分析，其主導的頻率分別為，以及。

外轉子主激勵的第一次共振區域（1920 r/min附近）和第二次共振區域（4920 r/min附近）的振動主要是由外轉子不平衡引起的，內圈滾道波紋度的影響較小。而在內轉子主激勵的第一次共振區域（3000 r/min附近）和第二次共振區域（7500 r/min附近）的振動主要是由內轉子不平衡和內圈滾道波紋度引起的，但是發現在第二次共振區域內圈滾道波紋度激勵降低了轉子不平衡引起的振動，為分析這個現象，如圖21所示為7500 r/min時三種工況的時域曲線。由圖21可知僅考慮內圈滾道波紋度和僅考慮轉子不平衡力時的振動響應可近似認為同頻反相，因此兩種激勵共同作用時系統振動會降低。

通過上述分析，可知考慮內圈滾道波紋度時，共振峰同樣會在低轉速區域增多，而且內圈滾道波紋度激勵會對內轉子主激勵的共振區域振動產生較大影響，而對外轉子主激勵的共振區域影響較小。

4.3 考慮滾動體波紋度對系統響應的影響

如圖22所示為考慮滾動體波紋度影響的三種工況的幅頻響應對比圖。對比發現低轉速時系統振動響應主要是由滾動體波紋度激勵引起的，會引起系統產生幾個振動較大區域，此時轉子的不平衡力對系統響應影響較小。而高轉速情況下則相反，系統的響應主要是由轉子不平衡引起的，滾動體波紋度激勵引起的振動響應幾乎可以忽略。這是因為轉子的不平衡力是隨著轉速的升高而增大的，低轉速時轉子的不平衡力相對滾動體波紋度激勵較弱。

另外圖中共振峰對應的轉速分別為240，480，660，1320，1920，3000，4920，7500 r/min。其中前四個轉速振動過大主要是由波紋度激勵頻率與此時系統的固有頻率相近引起的系統的共振，如圖23所示為這四個共振點的頻譜分析，其主導的頻率主要為偶數倍的滾動體自轉頻率。其他四個共振峰是由轉子不平衡引起的。結合圖13三維譜圖可知，雖然滾動體波紋度激勵會引起高轉速下的一些區域產生系統共振，但是在考慮轉子不平衡力時，波紋度對高轉速區域振動的影響較小，而對低轉速區域的振動則有一定程度的影響。

5 波紋度幅值對振動響應的影響

轉子?軸承系統在正常運轉過程中，由于軸承摩擦、潤滑以及疲勞等原因，軸承波紋度的幅值可能會發生變化，因此研究波紋度幅值變化對系統振動響應的影響很有必要。

5.1 波紋度幅值對特征頻率響應的影響

為研究波紋度幅值對波紋度激勵下的響應特征頻率幅值的影響，設內圈滾道、外圈滾道和滾動體波紋度幅值分別為5，4，3，2和1 μm，考慮內、外圈滾道波紋度時的轉速與上文相同，考慮滾動體波紋度時取非共振區域內轉子轉速為2400 r/min。計算得到相應特征頻率的振動幅值隨波紋度幅值的變化規律如圖24所示。

5.2 波紋度幅值對振動幅頻響應的影響

由于滾動體波紋度對高轉速區域幅頻響應影響較小，本小節主要研究內、外圈滾道波紋度幅值對在波紋度激勵下系統振動幅頻響應的影響，設內、外圈滾道波紋度幅值分別為2，4，6，8和10 μm，如圖25所示為不同波紋度幅值下的系統幅頻響應圖，為方便比較，圖中僅繪制了三個波紋度幅值下的幅頻響應曲線。

不同波紋度幅值下幅頻響應曲線的共振響應對比如圖26所示，其中峰值偏差為位移最大值與平均值的差。發現隨著外圈滾道波紋度幅值的增加，轉速為780，1920，3960以及4920 r/min對應的振動峰值偏差會有明顯的增加，這是因為波紋度激勵對這些共振峰的形成具有較大貢獻，然而對于轉速3000 r/min和7500 r/min時的共振峰影響較小，因為產生此共振峰的原因主要是內轉子的不平衡力，外圈滾道波紋度的影響較小。隨著內圈滾道波紋度幅值的增加，低轉速區域的振動和內轉子主激勵的第一次共振區域振動會明顯增大，然而在內轉子主激勵的第二次共振區域則相反，波紋度幅值越大，響應越小。結合前文分析，這是因為在此共振區域內波紋度激勵和轉子不平衡引起的振動響應可近似認為同頻反相，波紋度激勵引起的振動響應增大，轉子不平衡振動響應不變，這將會導致系統振動降低。

總體來看，軸承波紋度幅值對系統振動會有一定的影響，可能會出現系統振動過大的現象，在一些區域也有可能會降低系統振動，因此在實際工作情況下，為減小轉子?軸承系統的振動和噪聲，控制波紋度幅值具有一定的必要性。

6 結 論

本文考慮中介軸承內圈、外圈滾道和滾動體波紋度，基于有限元法建立了含變截面外轉子的雙轉子?軸承系統，分別研究了內圈、外圈滾道和滾動體波紋度激勵下的頻譜特征，分析了波紋度激勵對系統振動特性的影響，得出如下結論：

（1）考慮內、外圈滾道波紋度時，低轉速時特征頻率成分不太明顯，而較高轉速時頻率成分會明顯體現出來，為內、外轉子轉頻和保持架轉頻的組合頻率。

（2）外圈滾道存在波紋度時，其故障特征頻率可總結為；內圈滾道存在波紋度時，其故障特征頻率可總結為；滾動體存在波紋度時，系統響應會出現偶數倍的球自轉頻率，低轉速時頻率幅值較大，高轉速時頻率成分幅值較小且會存在和系統共振的頻率成分。和為自然數，當和取較小值時，頻率成分較明顯；當和取較大值時，頻率成分存在，但不明顯。

（3）考慮轉子不平衡和軸承波紋度兩種激勵時，較低轉速時內、外圈滾道和滾動體波紋度均會對系統的振動有較大影響，會增大系統的振動。而在較高轉速時，滾動體波紋度對系統響應的影響可以忽略，外圈滾道波紋度會增大外轉子主激勵的共振區域的振動，內圈滾道波紋度會增大內轉子主激勵的第一次共振區域的振動，而在內轉子主激勵的第二次共振區域兩種激勵引起的振動響應近似同頻反相，會降低系統的振動。

（4）隨著外圈滾道波紋度幅值的增加，系統在整個轉速范圍內的振動會增大，隨著內圈滾道波紋度幅值的增加，在內轉子主激勵的第二次共振區域的振動會降低，其他轉速區域內的振動會增大。

本文以雙轉子?軸承系統為研究對象，分析了中介軸承滾動體和內、外圈滾道波紋度下系統的振動特性，并對比分析了滾動體波紋度故障與內、外圈滾道波紋度故障的特征差異，可為雙轉子?軸承系統的故障診斷、振動控制以及結構設計提供參考意見。

參考文獻：

［1］崔江. 雙轉子-滾動軸承系統的動力學特性研究［D］. 哈爾濱：哈爾濱工業大學， 2017.

Cui Jiang. Dynamic characteristic research of dual rotor-rolling bearing systems［D］. Harbin：Harbin Institute of Technology， 2017.

［2］顧曉輝，楊紹普，劉永強，等.表面波紋度對滾動軸承-轉子系統非線性振動的影響［J］.振動與沖擊， 2014，33（8）：109-114.

Gu Xiaohui， Yang Shaopu， Liu Yongqiang， et al. Effect of surface waviness on nonlinear vibration of a rotor with ball bearings［J］. Journal of Vibration and Shock， 2014， 33（8）： 109-114.

［3］Wang L， Cui L， Zheng D ， et al. Nonlinear dynamics behaviors of a rotor roller bearing system with radial clearances and waviness considered［J］. Chinese Journal of Aeronautics， 2008， 21（1）：86-96.

［4］Zhang X， Han Q， Peng Z， et al. A comprehensive dynamic model to investigate the stability problems of the rotor?bearing system due to multiple excitations［J］. Mechanical Systems & Signal Processing， 2016， 70-71：1171-1192.

［5］康鋒，張耀強，楊茹萍，等.考慮波紋度的薄壁軸承-轉子系統非線性強迫振動分析［J］.振動與沖擊，2017，36（1）：96-101.

Kang Feng， Zhang Yaoqiang， Yang Ruping， et al. Forced vibration of a thin walled bearing-rotor system considering waviness［J］. Journal of Vibration and Shock， 2017，36（1）：96-101.

［6］劉永葆，李默，黃海濤，等.波紋度故障下低壓轉子系統的非線性動力學研究［J］.海軍工程大學學報，2020，32（1）：50-56.

Liu Yongbao， Li Mo， Huang Haitao， et al. Research on nonlinear dynamics of low-pressure rotor system with waviness fault［J］. Journal of Naval University of Engineering， 2020，32（1）：50-56.

［7］余登亮，南國防，姜珊，等.滾動軸承支承下轉子系統耦合故障動力學研究［J］. 計算物理， 2022，39（6）：733-743.

Yu Dengliang， Nan Guofang， Jiang Shan， et al. Research on coupling fault dynamics of rotor system supported by rolling bearing［J］. Chinese Journal of Computational Physics， 2022，39（6）：733-743.

［8］Nan G F， Zhang Y， Zhu Y J， et al. Nonlinear dynamics of rotor system supported by bearing with waviness［J］. Science Progress， 2020， 103（3）：1-29.

［9］Harsha S P， Kankar P K. Stability analysis of a rotor bearing system due to surface waviness and number of balls［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2004， 46（7）： 1057-1081.

［10］Lu Z Y， Wang X D， Hou L， et al. Nonlinear response analysis for an aero engine dual-rotor system coupled by the inter-shaft bearing［J］. Archive of Applied Mechanics， 2019， 89（7）： 1275-1288.

［11］Ma X X， Ma H， Qin H Q， et al. Nonlinear vibration response characteristics of a dual-rotor-bearing system with squeeze film damper［J］. Chinese Journal of Aeronautics， 2021， 34（10）： 128-147.

［12］侯磊，符毅強，陳予恕.考慮中介軸承波紋度的雙轉子系統的非線性振動［J］.航空動力學報，2017，32（3）：714-722.

Hou Lei， Fu Yiqiang， Chen Yushu. Nonliner vibration of dual-rotor system with surface waviness in inter-shaft bearing［J］. Journal of Aerospace Power， 2017，32（3）：714-722.

［13］李靜，曹樹謙，郭虎倫.中介軸承波紋度對雙轉子系統動力學特性的影響［J］.機械科學與技術，2020，39（11）：1794-1804.

Li Jing， Cao Shuqian， Guo Hulun. Effects of surface waviness of intershaft bearing on dynamic characteristics of dual rotor system［J］. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering， 2020，39（11）：1794-1804.

［14］Jin Y， Lu K， Huang C， et al. Nonlinear dynamic analysis of a complex dual rotor-bearing system based on a novel model reduction method［J］. Applied Mathematical Modelling， 2019， 75： 553-571.

［15］Fei Z X， Tong S G， Wei C. Investigation of the dynamic characteristics of a dual rotor system and its start-up simulation based on finite element method［J］. Journal of Zhejiang University-SCIENCE A （Applied Physics & Engineering）， 2013， 14（4）： 268-280.

［16］張文.轉子動力學理論基礎［M］.北京：科學出版社，1990.

［17］He P， Liu Z S， Li C. An improved beam element for beams with variable axial parameters［J］. Shock and Vibration， 2013， 20（4）： 601-617.

［18］張耀強， 陳建軍， 鄧四二，等.考慮表面波紋度的滾動軸承-轉子系統非線性動力特性［J］.航空動力學報，2008，23（9）：1731-1736.

Zhang Yaoqiang， Chen Jianjun， Deng Sier， et al. Nonlinear dynamic characteristics of a rolling bearing-rotor system with surface waviness［J］.Journal of Aerospace Power， 2008， 23（9）：1731-1736.

Analysis of vibration characteristics of a dual rotor system with inter-shaft bearing waviness

LIU Kun-peng1， LIU Hong-da2， SHI Xiu-jiang1， WANG Dong-hua1， LI Wan-you1

（1.College of Power and Energy Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China； 2.No.703 Research Institute of CSSC， Harbin 150078， China）

Abstract： Aiming at the issue of inter-shaft bearing waviness in a dual rotor system， the dual rotor-bearing system of external rotor with variable cross section was taken as the research case. The dynamic model of the dual rotor-bearing system was established based on the Finite Element Modeling （FEM）. The waviness of the inner and outer ring raceways and the rolling body of the inter-shaft bearing were considered in the model. The fourth order Runge-Kutta numerical method was used to solve the equations， and the influence of waviness excitation on the amplitude-frequency response curve and spectral characteristics of the system was analyzed. The results show that when there is waviness in the inner and outer ring raceways， the system exhibits a combination frequency of the inner and outer rotor rotation speed frequency as well as cage rotation speed frequency. And when there is waviness in the rolling body， the system has an even times of the rolling body self-rotation speed frequency. When the rotor is unbalanced， the outer ring raceway waviness will amplify vibrations in the resonance region of the outer rotor main excitation. The vibration of the system will increase in the whole speed range with the increase of the waviness amplitude， while the vibration responses of the inner ring raceway waviness and the unbalanced excitation will appear similar to the same frequency and reverse phase phenomenon in the second resonance region of the inner rotor main excitation. The vibration of the system will decrease with the increase of waviness amplitude， while the vibration in other regions will increase. Compared with the high rotating speed region， the waviness of the rolling body significantly impacts on the vibration characteristics in the low rotating speed region.

Key words： dynamics of rotor；dual rotor system；inter-shaft bearing；waviness；amplitude-frequency response

作者簡介： 劉坤鵬（2000―），男，博士研究生。電話：（0451）82588833；E-mail：liukunpeng@hrbeu.edu.cn。

通訊作者： 王東華（1981―），男，博士，副教授。電話：（0451）82589199；E-mail：wangdonghua@hrbeu.edu.cn。