動(dòng)態(tài)立體幾何問題中的“動(dòng)中尋定”

在空間幾何體中，由于點(diǎn)、線、面位置的不確定引起的距離、角度、面積、體積的變化問題，我們稱為動(dòng)態(tài)問題．這類問題在高考中常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，能有效考查學(xué)生的知識(shí)綜合應(yīng)用能力、推理論證以及空間想象能力．解決此類問題的一種重要策略是從動(dòng)量中尋找不變量，即動(dòng)中尋定，其中主要涉及尋找定點(diǎn)、定線、定面或定體，下面舉例分析．

１ 定點(diǎn)

動(dòng)態(tài)立體幾何問題常見的題型有求角度的取值范圍、距離的最值等，這類問題往往與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有關(guān)，只要我們能夠根據(jù)題目條件中所給的幾何體的相關(guān)性質(zhì)，找到對(duì)應(yīng)的定點(diǎn)或臨界點(diǎn)，即可解決問題．

例１ 在正方體ABCDＧA１B１C１D１ 中，點(diǎn)P 在A１C 上運(yùn)動(dòng)（包含端點(diǎn)），則直線D１P 與AD１ 所成角的取值范圍是____．

解析 如圖１ 所示，連接AB１ 交A１B 于點(diǎn)M ，由正方體的性質(zhì)可知AB１⊥A１B，AB１⊥A１D１，所以AM ⊥ 平面A１BCD１，點(diǎn)M 為點(diǎn)A 在平面A１BCD１內(nèi)的投影．連接D１M 交A１C于點(diǎn)N ，所以當(dāng)點(diǎn)P 與點(diǎn)N 重合時(shí)，D１P 與AD１ 所成角（即∠AD１M ）最小．在Rt △AD１M 中，sin∠AD１M ＝AM／AD１＝１／２，所以∠AD１M ＝π／６，即D１P與AD１ 所成角的最小值為π／６．

當(dāng)點(diǎn)P 向點(diǎn)N 的兩端移動(dòng)時(shí)，直線D１Pe5hbuFB8+HXLhHmpCtzdUg== 與AD１所成角逐漸變大，并在端點(diǎn)取得最大值．當(dāng)點(diǎn)P 與點(diǎn)C 重合時(shí)，直線D１P 與AD１ 所成角為π／３．當(dāng)點(diǎn)P 與點(diǎn)A１ 重合時(shí)，直線D１P 與AD１ 所成角為π／４．

綜上，直線D１P 與AD１ 所成角的取值范圍是[π／６，π／３]．

點(diǎn)評(píng) 求解本題的關(guān)鍵是尋找定點(diǎn)，即點(diǎn)A 在平面A１BCD１ 內(nèi)的投影，再結(jié)合直線與其在平面內(nèi)投影所成角最小的原理，即可得到所求角的最小值，進(jìn)一步通過尋找臨界位置點(diǎn)，得到所求角的最大值．

２ 定線

長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等都是比較規(guī)則的幾何體，這些幾何體中的點(diǎn)、線、面大多具有平行或垂直關(guān)系，解題中利用這些關(guān)系往往能快速找到解題的切入點(diǎn)．

例２ 如圖２所示，在棱長為２ 的正方體ABCDＧA１B１C１D１ 中，點(diǎn)E 是棱CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F 是底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），現(xiàn)給出如下３個(gè)論斷：

３個(gè)論斷：

①A１F⊥BE;

②A１F＝３;

③S△ADF ＝２S△ABF ．

以其中的一個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，可得到的正確的命題是____．

解析 選擇① A１F ⊥BE作為條件．由正方體的性質(zhì)可知AA１ ⊥BE，又A１F ⊥BE，所以BE ⊥ 平面A１AF，則BE⊥AF．如圖３所示，取BC 的中點(diǎn)M ，由正方形的性質(zhì)可知BE⊥AM ，所以點(diǎn)F 在AM 上，但AF 的長度不確定，故不能得出論斷②．

過點(diǎn)F 作FH 垂直AD 于點(diǎn)H ，F(xiàn)N 垂直AB 于點(diǎn)N ．在Rt△AMB 中，tan∠MAB ＝BM／AB ＝１／２．在Rt△AFN 中，tan∠FAN ＝tan∠MAB ＝１／２，即FN／AN ＝１／２．又AN ＝HF，所以FN／HF ＝１／２，S△ADF ＝１／２ADFH ，S△ABF ＝１／２ABFN ，且AD ＝AB，所以S△ADF ＝２S△ABF ，即得出論斷③．

類似地，也可由③得出①．

綜上，本題的答案為若A１F ⊥BE，則S△ADF ＝２S△ABF ;若S△ADF ＝２S△ABF ，則A１F⊥BE．

點(diǎn)評(píng) 本題中F 為正方形ABCD 內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，A１F是動(dòng)線，若A１F 與定線BE 垂直，則BE 垂直A１F 所在的平面，進(jìn)而可得BE ⊥AF，所以點(diǎn)F在與BE 垂直的直線上，找到這條定線即可找到解題的切入點(diǎn)．由正方形的性質(zhì)找到與BE 垂直的直線AM ，從而確定了點(diǎn)F 的位置，使問題迎刃而解．

３ 定面

若一條動(dòng)線與一個(gè)定面平行，則該直線在與已知平面平行的平面上運(yùn)動(dòng)．若一條動(dòng)線與一條定線垂直，則動(dòng)線在與定線垂直的平面上運(yùn)動(dòng)，只要找到相應(yīng)的定面即可解決問題．

例３ 如圖４所示，已知正方體ABCDＧA１B１C１D１的棱長為２，E 是棱D１C１ 上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)M在正方體內(nèi)部或正方體的表面上．若EM ∥平面A１BC１，則動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡所形成的區(qū)域面積的最大值為（ ）．

A．９／２ B．２根號(hào)下３ C．３根號(hào)下３ D．４根號(hào)下 ２

解析 如圖５所示，在平面DCC１D１ 內(nèi)過點(diǎn)E作EF∥A１B 交C１C 于點(diǎn)F;在平面BCC１B１ 內(nèi)過點(diǎn)F 作FG ∥BC１ 交BC 于點(diǎn)G;在平面ABCD 內(nèi)過點(diǎn)G 作HG∥A１C１ 交AB 于點(diǎn)H ;在平面ABB１A１ 內(nèi)過點(diǎn)H 作HI∥A１B 交A１A 于點(diǎn)I;在平面ADD１A１ 內(nèi)過點(diǎn)I 作IJ∥BC１ 交A１D１于點(diǎn)J，連接JE．

由空間基本事實(shí)：兩條平行線確定一個(gè)平面，可知E，F(xiàn)，G，H ，I，J 六點(diǎn)共面，所以平面EFGHIJ∥平面A１BC１，故M 為六邊形EFGHIJ 的內(nèi)部及邊界上的點(diǎn)．結(jié)合正方體的性質(zhì)可知六邊形EFGHIJ 的周長為定值，故當(dāng)其為正六邊形時(shí)面積最大，此時(shí)正六邊形的邊長為根號(hào)下２，進(jìn)而可求得其面積為３根號(hào)下３，故選C．

點(diǎn)評(píng) 在本題中，點(diǎn)M 為動(dòng)點(diǎn)，故EM 為動(dòng)線，且EM 與定面A１BC１ 平行，所以EM 在與平面A１BC１ 平行的平面內(nèi)，因此構(gòu)造出這個(gè)定面是解題的關(guān)鍵．

４ 定體

空間中到一個(gè)定點(diǎn)的距離為定值的點(diǎn)的軌跡是球．如果題目條件中出現(xiàn)類似的定值，我們可以構(gòu)造相應(yīng)的幾何體來解決問題．

例４ 在棱長為３的正方體ABCDＧA１B１C１D１中，M 是棱DD１ 上的動(dòng)點(diǎn)，N 是平面ABCD 內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且MN ＝２．設(shè)線段MN 的中點(diǎn)為P ，則點(diǎn)P 的軌跡與正方體的面所圍成的幾何體的體積為（ ）．

A．１ B．π／６ C．π／４ D．π／３

解析 如圖６ 所示，連接DN ，DP ，由正方體的性質(zhì)可知MD ⊥DN ，所以△MDN 為直角三角形．因?yàn)镻 為斜邊MN 的中點(diǎn)，所以DP ＝１／２MN ＝１，即點(diǎn)P 到定點(diǎn)D 的距離為定值，所以點(diǎn)P 的軌跡是以點(diǎn)D 為球心、１為半徑的球．正方體的表面截球所得幾何體的體積為１／８V球＝１／８×４π／３×１３＝π／６，故選B．

點(diǎn)評(píng) 求解本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P 到定點(diǎn)D 的距離為定值，由空間球的定義可知點(diǎn)P 在以D 為球心的球面上，從而找到定體

綜上，處理空間動(dòng)態(tài)問題，要弄清問題的本質(zhì)，明確動(dòng)的原因，尋找確定關(guān)系．除本文所述的“動(dòng)中尋定”策略外，我們?cè)诮忸}時(shí)還可以引入變量、構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，通過求函數(shù)的最值來處理．

（完）