初中數學中分式函數最值問題求解策略

【摘要】本文以分式最值的求解為切入點，探討初中數學中分式函數最值問題求解策略，以提高解題效率和正確率.通過對典型問題的分析，呈現這些策略的應用效果，并提出進一步的研究方向.

【關鍵詞】初中數學；分式函數；最值

分式函數最值問題是初中數學中的重要內容之一，涉及函數的性質、圖象、不等式等多個知識點.由于其綜合性強、難度較大，一直是學生學習的難點.因此，研究初中數學中分式函數最值問題的求解策略，對于提高學生的解題能力具有重要意義.

1分式最值的求解

例1已知a，b，c是不全相等的正整數，且5a+b5b+c為有理數，求a2+b2+c2a+b+c的最小值．

解析因為b，c是正整數，5是無理數，

故5b－c≠0．

而5a+b5b+c=5a+b5b－c5b2－c2

=5ab－bc+5b2－ac5b2－c2為有理數，

所以b2－ac=0，故b2=ac，

又a，b，c不全相等，

不妨設a>b>c．

又a2+b2+c2=a2+2ac+c2-b2=a+c2－b2=a+c+ba+c－b，

所以a2+b2+c2a+b+c=a+c－b為整數．

當c=1時，a=b2為完全平方數，

則a≥4，

a+c－b=a+c－ac=c－a22+3a4≥0+3=3；

當c≥2時，a+c－b≥1+c≥3．

所以a+c－b≥3，

且當a=4，b=2，c=1時，

a+c－b=3．

因此，a2+b2+6d196873823d290b8b01373c66279b28c2a+b+c的最小值為3．

點評本題為求解分式最值的問題，而分式函數的最值問題的本質是在函數定義域范圍內求解分式的最值.5a+b5b+c為有理數，而5是無理數，這就需要在分式5a+b5b+c中分離出5，找到a，b，c的關系，將分式a2+b2+c2a+b+c化簡后求最值.

2根據新定義求解分式函數最值

例2已知x，y為非負實數，因x+y－2xy=x2+y2－2x·y=x－y2≥0，所以x+y≥2xy，當且僅當“x=y”時，等號成立．

（1）當x>0時，求y=x2+x+1x的最小值.

（2）隨著人們生活水平的快速提高，小轎車已成為越來越多家庭的交通工具，假設某種小轎車的購車費用為10萬元，每年應繳保險費等各類費用共計0.4萬元，n年的保養、維護費用總和為n2+n10萬元．問：這種小轎車使用多少年報廢最合算（即：使用多少年的年平均費用最少，年平均費用=所有費用之和年數n）？最少年平均費用為多少萬元？

解析（1）因為y=x2+x+1x

=x+1x+1

≥2x·1x+1

=3，

所以當x=1x，

即x=1時，y的最小值為3.

（2）年平均費用=（n2+n10+0.4n+10）÷n

=n10+10n+12

≥2n10·10n+12

≥2+0.5

≥2.5，

所以當n10=10n，即n=10時，報廢最合算，且最少年平均費用為2.5萬元．

點評本題給出了新定義（當x，y為非負實數時，x+y≥2xy），將y=x2+x+1x轉化為y=x+1x+1，然后根據上述新定義求解最值問題；第（2）問就是將這個規律應用于實際生活中，考查學生數學應用能力．

3根據函數圖象探究分式函數最值

例3給定一個函數：y=x+1x+1（x>0），為了研究它的圖象與性質，并運用它的圖象與性質解決實際問題，進行了探索，先取值并列表（如表1）.

將表1中的點描在平面直角坐標系中，并用平滑的曲線畫出該函數的圖象，如圖1所示．

請結合函數的圖象，寫出當x=，y有最小值為.

解析觀察圖象知，圖象的最低點坐標為（1，3），

即當x=1時，y有最小值3.

點評本題是函數的綜合應用問題，考查了函數圖象的畫法、性質及函數的應用，靈活應用所學函數知識是解決問題的關鍵，根據數形結合，由函數圖象找到了分式函數最值并靈活應用于日常生活中．

4結語

本文研究了初中數學中部分分式函數最值問題的求解策略，并通過典型問題分析展示了這些策略的應用效果.分式函數的類型非常多，給出的條件也很靈活，需要進一步研究如何將更多解題技巧應用于實際問題中，以提高解題效率和正確率.同時，也要關注分式函數最值問題在中考、競賽等考試中的趨勢和變化，為教師和學生提供更有針對性的指導.

參考文獻：

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