“動點最值問題”在初中幾何中的分類解析

【摘要】動點問題是當前中考的熱門問題，其中動點產生的幾何最值問題是常考題型之一.所謂“動點最值問題”就是指在幾何圖形中，存在一個或者多個確定的點，隨著時間的推移其位置和速度發生偏移，在這一運動過程中產生的兩點、點線、線段等的最值問題.動點問題的涵蓋內容非常廣泛，由于其復雜的動態變化，在解題中極為考驗學生的邏輯推理能力，因此成為中考的難點.解決這類問題的關鍵就是在動態變化中找到不變的量，本文以幾何動點中求一條邊的最值為例，分析總結幾種常見的動點類型，幫助學生形成解決動點問題的思路.

【關鍵詞】動點問題；初中數學；解題思路

1將軍飲馬模型

將軍飲馬通常是兩條線段之和的最值問題，基礎數學模型為：直線l同側有兩個定點A，B，請在直線l上找一點C，使AC+BC最小.這類模型在幾何中的應用十分廣泛，可以與三角形、矩形、圓形等幾何圖形結合出現.

例1如圖1，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一動點，則DN+MN的最小值為.

分析本題是將軍飲馬模式在四邊形中的應用，這類問題的解題思路為：先找對稱點，化折線為直線段，再利用點線之間的定理判斷其最值.在正方形中，點B和點D關于AC對稱、首先確定對稱點，DN+MN取最小值時，即B，N，M三點一線時，所以（DN+MN）min=BM.

解析連接BM，因為點B與點D關于線段AC對稱，

所以BN=DN，當B，N，M三點一線時，DN+MN取最小值.

已知正方形ABCD的邊長為8，DM=2，

可得CM=DC－DM=6，

根據勾股定理，在Rt△BCM中BM2=BC2+CM2=82+62=100，

所以BM=10，

所以（DN+MN）min=BM=10.

2費馬點模型

所謂的“費馬點”是指位于三角形內且到三角形三個頂點距離之和最短的點.費馬點問題主要隱藏在求PA+PB+PC的最小值問題中，一般會將三角形繞點旋轉一定的角度，從而將三條線段轉化在同一條直線上，再利用兩點之間線段最短解決問題.

例2如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，點P為△ABC內的一點，以點A為旋轉中心，將△ABP順時針旋轉60°得到△AMN，連接PA，PB，PC，當AC=3，AB=6時，則PA+PB+PC的最小值為.

分析本題就是標準的“費馬點”模型，因此，解題時可以直接利用模型.其解題思路為：畫出四點一線時候的圖形，利用旋轉圖形全等的定理進行求值.

解析連接BN，PM，當點P移動到P，C，M，N四點共線時，PA+PB+PC取最小值.

因為△AMN由△ABP順時針旋轉60°所得，

所以，△AMN≌△APB，

所以AP=AM，AB=AN，

又因為∠PAM=60°，∠BAN=60°，

所以△APM，△BAN均為等邊三角形，

所以PA+PB+PC=PM+MN+PC，

所以∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°，

所以∠CBN=90°，在Rt△ABC中，根據勾股定理，BC2=AB2－AC2=62－32=27，

可得BC=33，

在Rt△BCN中，CN2=BC2+BN2=27+36=63，

所以CN=37，

綜上，PA+PB+PC的最小值為37.

3隱圓模型

隱圓最值問題在中考的選擇填空題中，經常以壓軸題的形式出現，其中運用的原理為圓外一點到圓上的距離取最小值時，即圓外點到圓心的距離減圓的半徑長度，取最大值時為圓外一點的距離加上圓的半徑長度.隱圓模型可分為定點+定長類，定角+定長類.解決隱圓問題的關鍵思路：抓圖形中的不變量，畫出動點軌跡，再利用幾何圖形的性質求解.

例3如圖3，AC為邊長為2的菱形ABCD的對角線，∠ABC=60°，點M，N分別從點B，C同時出發，以相同的速度沿BC，CA向終點C和A運動，連接AM和BN相交于點P，則△APB周長的最大值為.

分析根據題意分析可知△ABM≌△BCN，所以∠PBA+∠PAB=∠ABC=60°，∠BPA=120°，線段AB=2為定值，動點P的運動軌跡是以AB為定弦的圓，在圓的內接三角形中，當△ABP為等腰三角形時，周長最大.

解析因為AC為邊長為2的菱形ABCD的對角線，∠ABC=60°，

所以△ABC為等邊三角形，

所以AB=BC=AC，

因為點M，N分別從點B，C同時出發，以相同的速度沿BC，CA向終點C和A運動，

所以BM=CN，可得△ABM≌△BCN，

所以∠CBN=∠BAM，

所以∠PBA+∠PAB=∠ABC=60°，∠BPA=120°，繼而可畫出點P的運動軌跡為定弦為AB，與點P形成的角∠APB=120°的內接三角形形成的圓.

當△APB為等腰三角形時，其周長取最大值.取AB的中點為點H，連接PH，

∠HPA=60°，∠PAH=30°，

所以∠PHA=90°，PH=12AP=12，

根據勾股定理，在Rt△PHA中，AP2=PH2+AH2，

代入數值可得，AP=233，

因為△APB為等腰三角形，

所以C△ABP=AP+BP+AB=2+433.

參考文獻：

［1］王涵.初中數學動態幾何問題的解題方法[J].數理化解題研究，2022（26）：2-4.

［2］李遠旺.常見平面中動點問題的分類討論[J].數理化解題研究（初中版），2012（11）：7-8.