分類討論思想在等腰三角形問題中的應用

【摘要】分類討論思想是解答初中數學問題的重要思想.等腰三角形問題就是一類經常需要分類討論的問題.許多學生在面對等腰三角形問題時容易出現錯解、漏解的情況，這就是因為沒有對問題進行合理分類.本文結合實例探討分類討論思想在等腰三角形問題中的應用，以供讀者參考.

【關鍵詞】分類討論；等腰三角形；初中數學

類型1依據幾何圖形的位置關系進行分類

例1如圖1所示，在△ABC中，BC>AB>AC，∠ACB=40°，若D、E兩點在直線AB上，且滿足AD=AC，BE=BC，則∠DCE=.

解分析題目條件可以發現對△ABC的描述較少，D、E兩點可以在點A的同側，也可分居點A的兩側，需要分類討論.

（1）D、E兩點都在點A的左側時，如圖2所示.

因為BE=BC，

所以∠BEC=∠BCE=12（180°－∠ABC）.

因為AD=AC，

所以∠ADC=12∠BAC.

因為∠DCE=∠BEC－∠ADC，

所以∠DCE=12（180°－∠ABC）－12∠BAC，

即∠DCE=12∠ACB=12×40°= 20°.

（2）當D、E兩點都在點A的右側時，如圖3所示.

與（1）類似可得

∠DCE=12∠ACB=12×40°=20°.

（3）當點D在點A左側，點E在點A右側時，如圖4所示.

因為BE=BC，

所以∠BEC=12（180°－∠CBE）=12∠ABC.

因為AD=AC，

所以∠ADC=12（180°－∠DAC）=12∠BAC.

在△DCE中，∠DCE=180°－（∠BEC+∠ADC），

所以∠DCE=180°－12（∠ABC+∠BAC）=180°－12（180°－∠ACB）=110°.

（4）當點E在點A左側，點D在點A右側時，如圖5所示.

因為AD=AC，

所以∠ADC=12（180°－∠DAC）=12（180°－∠BAC）.

因為BE=BC，

所以∠BEC=12（180°－∠ABC）.

于是在△DCE中，∠DCE=180°－（∠BEC+∠ADC）=70°.

綜上所述，∠DCE的度數為20°或70°或110°.

評析此G7wRsdJn3xvOFq3uZiHOfw==類問題是等腰三角形問題中較為復雜的一類題目，在解題時，要能夠對題目條件進行合理的解讀.根據點的位置將每一種情況都一一列出來進行計算，就可以得到答案.

類型2對存在性的分類

例2如圖6所示，△ABC是直角三角形，其中∠C=90°，∠A=30°，點P是直線BC或AC上的一點，且滿足△PAB是等腰三角形，求符合條件的點P的個數.

解（1）當AB為腰，點A是頂點時，如圖7所示.

以點A為圓心，AB的長為半徑畫圓分別交直線BC和AC于P1、P2、P3三點.

（2）當AB為腰，點B是頂點時，以點B為圓心，AB的長為半徑畫圓分別交直線BC和AC于P3、P4、P5三點.

（3）當AB為底時，作AB的垂直平分線分別交直線BC和AC于P3、P6兩點.

綜上所述，符合條件的點P有6個.

評析存在性問題一般都要畫出圖象來尋找，這時就需要作輔助線來明確點的位置，常用的方法有作圓、作垂直平分線等.

類型3對邊長進行分類

例3等腰三角形的一邊長為6cm，周長為20cm，求另外兩邊的長.

解此題有兩種情況.

（1）當長為6cm的邊為底邊時，則腰長為7cm，能構成三角形.

（2）當長為6cm的邊為腰時，則底邊長為8cm，能構成三角形.

綜上所述，這個三角形的另外兩邊長可能為7cm，7cm或8cm，6cm.

評析針對邊長進行分類是等腰三角形問題中較為簡單的一類題目，與針對角進行分類類似.在解答這一類問題時，學生只需要考慮到邊的兩種情況：腰和底邊，即可解出答案.

結語

上述三種類型的問題難度由高到低，學生們對于前兩種需要多加研究，熟悉不同的分類方法，明確不同位置以及不同存在條件對答案的影響.而最后一種則較為基礎，只做簡單介紹，考慮到所有情況即可.