例析初中平面幾何問(wèn)題中的兩個(gè)拓展模型

【摘要】平面幾何問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重要板塊，考查學(xué)生對(duì)于平面幾何知識(shí)的應(yīng)用能力.縱觀(guān)近幾年的中考題，筆者發(fā)現(xiàn)在平面幾何問(wèn)題中有幾個(gè)模型常常被作為出題者命題的對(duì)象.本文收集整理解題過(guò)程中經(jīng)常遇到的兩個(gè)拓展模型，并結(jié)合例題對(duì)其進(jìn)行分析，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；平面幾何；拓展模型

模型1“胡不歸”模型

問(wèn)題如圖1所示，點(diǎn)A是直線(xiàn)l上的一點(diǎn)，點(diǎn)B是直線(xiàn)外的一點(diǎn)，點(diǎn)P則是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如何確定點(diǎn)P的位置，使得kAP+BP（0<k<1）的值最小？

模型分析求解這一類(lèi)帶有系數(shù)的折線(xiàn)段最值問(wèn)題，一般都是將折線(xiàn)段轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)段，之后利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短或者垂線(xiàn)段最短即可求解.具體步驟如下：

（1）如圖2所示，找到帶有系數(shù)k的線(xiàn)段kAP；

（2）在點(diǎn)B的異側(cè)，構(gòu)造以線(xiàn)段AP為斜邊的直角三角形，以定點(diǎn)A為頂點(diǎn)作∠PAC，使得sin∠PAC=k，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作AC的垂線(xiàn)構(gòu)造Rt△PAC；

（3）化折線(xiàn)段為直線(xiàn)段，將kAP轉(zhuǎn)化為PC；

（4）將kAP+BP轉(zhuǎn)化為PC+BP，利用“垂線(xiàn)段最短”即可轉(zhuǎn)化為求BD的長(zhǎng)度.

典例分析

例1如圖3所示，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，點(diǎn)P是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則32PD+PB的最小值為.

解依據(jù)模型進(jìn)行作圖，如圖4所示，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)，在CD上方作∠EDP=60°，

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DE于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DE于點(diǎn)F.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以AB∥CD，

則∠A=∠CDE=60°，

所以E、D、A三點(diǎn)共線(xiàn).

因?yàn)镻E⊥DE，

所以∠DPE=30°，

則DE=12PD，EP=32PD.

所以32PD+PB=EP+PB≥BF.

即當(dāng)E、P、B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，EP+PB有最小值，最小值即為BF的長(zhǎng)度.

因?yàn)椤螦=60°，

所以∠ABF=30°，

則BF=AB·sin60°=33，

所以32PD+PB的最小值為33.

模型2“費(fèi)馬點(diǎn)”模型

問(wèn)題如圖5所示，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，PA+PB+PC的和最小？

模型分析當(dāng)PA+PB+PC的和最小時(shí)，∠APB=∠BPC=∠APC=120°.

證明如圖6所示，將△CBP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CFE，連接PE、BF、AF.

所以△CBP≌△CFE，

所以PB=EF，CP=CE，CB=CF.

又因?yàn)椤螾CE=∠BCF=60°，

所以△BCF、△CEP都是等邊三角形，

所以PC=CE=PE，

所以PA+PB+PC=PA+EF+PE≥AF，

所以當(dāng)A、P、E、F四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PA+PB+PC的和最小，最小值為AF的長(zhǎng).

此時(shí)∠APC=180°－∠CPE=120°，

∠BPC=∠FEC=180°－∠CEP=120°，

∠APB=360°－（∠APC+∠BPC）=120°，

所以∠APB=∠BPC=∠APC=120°.

模型拓展

當(dāng)△ABC的最大內(nèi)角大于等于120°時(shí)，要想PA+PB+PC的和最小，點(diǎn)P與最大角頂點(diǎn)重合.

典例分析

例2如圖7所示，在△ABC中，AB=3，AC=5，∠BAC=120°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為.

解根據(jù)模型作圖，如圖8所示.

所以PA=EA，PB=DE，∠PAE=60°，

則△PAE是等邊三角形，

所以PA=PE，

即PA+PB+PC=DE+EP+PC，

當(dāng)D、E、P、C四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PA+PB+PC取得最小值，即為CD的長(zhǎng).

因?yàn)锳D=AB=3，AC=5，

所以CD=AD+AC=8，

即PA+PB+PC的最小值為8.

結(jié)語(yǔ)

掌握一些拓展模型有助于學(xué)生開(kāi)拓視野，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的共性.同時(shí)還要能夠理解模型中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，并將其運(yùn)用到其他題目中.