韋達定理在初中數學中的應用

【摘要】韋達定理是初中數學中的一個重要工具，可用來解決一元二次方程問題中的兩根關系問題.初中數學中許多問題經常與二次函數結合對知識點進行考查，所以就需要構造一元二次方程求解相關量的大小，這時韋達定理就對根的求解起到了重要作用.本文結合例題談韋達定理在初中數學中的應用.

【關鍵詞】韋達定理；初中數學；解題技巧

典例分析

類型1求解反比例函數中k的大小

例1如圖1所示，平面直角坐標系中，直線y=－2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，與雙曲線y=kx（x>0）交于C、D兩點，且滿足∠AOC=∠ADO，則k的大小為.

解如圖2所示，因為△AOC∽△ADO，

所以OA2=AC·AD.

因為AO∶BO∶AB=2∶4∶25，

所以AC=52CF，AD=52DE.

所以4=52CF·52DE=54CF·DE.

因為CF、DE分別代表著點C、D的縱坐標yC、yD，

所以4=54yC·yD.

因為是縱坐標乘積的形式，所以考慮使用韋達定理.

聯立y=－2x+4，y=kx，

可得y2－4y+2k=0，

所以yC·yD=2k，

則4=54·2k，

所以k=85.

評析反比例函數常常和直線結合進行考查，所以有時需要將直線和反比例函數的方程聯立來求解相關問題.聯立得到的方程是與兩者交點坐標有關的方程，如果此方程是一元二次方程，就可以利用韋達定理求解其中相關參數的大小.最后要注意對結果進行檢驗.

類型2求圖形邊長的范圍

例2如圖3所示，在△ABC中，AC+BC=a，M是AB的中點，MC=MA=5，則a的取值范圍.

解設AC=x，BC=y，

所以x+y=a.

因為點M是AB的中點，

所以MC=MA=MB=5，△ABC是直角三角形.

在Rt△ABC中，x2+y2=100，

所以xy=（x+y）2－（x2+y2）2=a2－1002.

所以x，y是方程t2－at+a2－1002=0的兩個實根，

所以Δ=a2－2（a2－100）≥0，解得a≤102.

又因為a=x+y=AC+BC>AB=10，

所以a的取值范圍是10<a≤102.

評析求解圖形邊長的問題，可以將幾何量代數化，從而利用代數解析式解答問題.在求解代數解析式的過程中，如果遇到一元二次方程，方程的根就是幾何量的大小，也可以利用根的判別式來得到幾何量大小的范圍.再結合韋達定理即可具體求解出參數的值，并根據之前的范圍進行取舍.

類型3求函數的解析式

例3方程x2－2x－1=0的兩根是α和β，方程x2+mx+n=0的兩根是α2和β2，點（m，n）在一次函數y=kx+（n－3）的圖象上，則此函數的解析式為，其圖象與坐標軸圍成的圖形的面積是.

解因為α和β是方程x2－2x－1=0的兩根，

所以由韋達定理得α+β=2，αβ=－1.

又因為α2和β2是方程x2+mx+n=0的兩根，

所以m=－（α2+β2）=－（α+β）2+2αβ=-6，

n=α2β2=（－1）2=1.

將（－6，1）代入y=kx－2，

得到－6k－2=1，

解得k=－12.

所以函數的解析式為y=－12x－2.

在y=－12x－2，

令x=0，得y=－2.

令y=0，得x=－4，

所以函數圖象與坐標軸圍成的圖形的面積是4.

評析韋達定理最直接的應用就是解方程，而函數的零點問題可以轉化為方程問題.因此，對于函數解析式問題可以代入韋達定理求得解析式中系數的大小.有時還可以利用韋達定理的其中一個關系式來得到函數圖象中某兩點的中點的坐標.

結語

總的來說，韋達定理作為初中數學中的重要內容之一，其應用價值是不可忽視的.本文深入探討了韋達定理在求解反比例函數中k的大小、求圖形邊長的范圍和求函數的解析式三個方面的應用，在一定程度上拓寬了解題的視野.同時，在解題的過程中能夠培養學生的邏輯思維能力和解決問題的能力，提高數學學科的核心素養.在筆者看來，韋達定理更為重要的是考查了學生的檢驗意識，許多學生經常只會背公式解題，而忽略了韋達定理成立的條件，即方程有實根，養成良好的習慣，才能成為更完美的人.

參考文獻：

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