初中數學函數圖象中數形結合思想的應用

【摘要】隨著教育改革的深入，培養學生的數學思維和解題能力成為初中數學教學的重要目標.本文以一道二次函數動點問題為例，探討在初中數學教學中應用數形結合思想的重要性.通過分析二次函數的圖象和代數表達式之間的關系，學生能夠更深入地理解二次函數的性質，并提高解決實際問題的能力.

【關鍵詞】初中數學；數形結合；二次函數

1引言

二次函數作為初中數學教學的重點內容，其圖象的幾何性質與代數表達式的內在聯系，為學生提供了一個直觀理解，抽象數學概念的平臺.本文以一道二次函數動點問題為例，探討如何在教學中融入數形結合思想，幫助學生通過觀察圖象、分析性質、解決具體問題，從而深化對二次函數知識的理解.

2試題呈現

已知二次函數y=ax2+bx－3.

（1）若函數圖象經過點1，－4，－1，0，求拋物線的解析式；

（2）若2a－b=1，對于任意不為零的實數a，是否存在一條直線y=kx+tk≠0，始終與函數圖象交于A，B兩個定點，若存在，求出該直線的表達式；若不存在，請說明理由；

（3）如圖1，在（2）的條件下，若a>0，M、A兩點關于拋物線的對稱軸對稱，點P為A，B之間的拋物線上一動點，連接MP交AB于點Q，且PQMQ的最大值為13，求拋物線的函數解析式.

3思路分析

第一問為函數基礎題，通過把定點坐標代入函數，構建等式求解未知量，即可求出函數表達式.

第二問難度略有提高，但依然為常規函數題，關于“定”值，顧名思義，即不隨著未知量變化而變化，因此只需將含有未知量的系數設為0，構建等式或者方程組進行求解，若有解即為存在，無解即為不存在.

第三問需要運用數形結合思想，根據對稱性求出點M的坐標為1a，－1，設P（x，ax2+2ax－x－3），過點P作PH∥y軸交直線AB于點H，過點M作MN∥y軸交直線AB于點N，則Hx，－x－3，N1a，－1a－3，求出PH、MN，再證△PQH∽△MQN，推出PQMQ=PHMN，根據PQMQ=13列出方程，由于點P為A，B之間的拋物線上一動點，所以滿足方程的x值只有一個，所以Δ=0，由此求出a的值.

4解題探究

（1）把1，－4，－1，0代入y=ax2+bx－3中，

得a+b－3=－4a－b－3=0，

解得a=1b=－2，

所以拋物線的解析式為y=x2－2x－3中.

（2）因為2a-b=1，

所以b=2a－1，

把b=2a－1代入y=ax2+bx－3，

得y=ax2+2a－1x－3=x2+2xa－x－3，

令x2+2x=0，則x1=0，x2=－2，

所以當x1=0時，

y=0－0－3=－3，

當x2=－2時，y=0－－2－3=－1，

所以對于任意不為零的實數a，二次函數y=ax2+bx－3的圖象都經過兩個定點（－2，－1）和（0，－3）.

把－2，－1和0，－3代入y=kx+t中，

得－2k+t=－1t=－3，

解得k=－1t=－3，

所以該直線的表達式為y=－x－3.

（3）由（2）得y=ax2+2ax－x－3，

所以拋物線的對稱軸為直線x=－2a－12a=－1+12a，

因為M、A兩點關于拋物線的對稱軸對稱，

由2得A－2，－1，B0，－3，

所以點M的坐標為1a，－1.

設Px，ax2+2ax－x－3，過點P作PH∥y軸交直線AB于點H，過點M作MN∥y軸交直線AB于點N，如圖2所示，

則Hx，－x－3，N1a，－1a－3，

所以PH=－x－3－（ax2+2ax－x－3）=－ax2－2ax，MN=－1+1a+3=1a+2.

因為PH∥y軸，MN∥y軸，

所以PH∥MN，

所以△PQH∽△MQN，

所以PQMQ=PHMN，

所以當PQMQ=13時，有－ax2－2ax1a+2=13.

整理得，3a2x2+6a2x+2a+1=0，

因為點P為A，B之間的拋物線上一動點，

所以滿足方程3a2x2+6a2x+2a+1=0的x值只有一個，

即方程3a2x2+6a2x+2a+1=0有兩個相等的實數根，

所以Δ=6a22－4×3a2×2a+1=0，

解得a=0（舍去）或a=1或a=－13（舍去），

所以b=1，

所以拋物線的解析式為y=x2+x－3.

5結語

本題是一次函數與二次函數的綜合題，主要考查二次函數的圖象與性質，二次函數與一次函數的交點，用待定系數法求二次函數和一次函數的解析式，相似三角形的判定與性質等知識.第三問中添加輔助線構造相似三角形，靈活運用相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.通過在初中數學函數圖象中應用數形結合思想，特別是針對二次函數動點問題的教學實踐，可以看到這種方法在提高學生數學理解能力、培養邏輯思維和解題技巧方面的重要作用.通過觀察和分析二次函數圖象，學生能夠更加直觀地理解二次函數的性質，并將其與代數表達式聯系起來，從而在實際問題中靈活運用.