初中數學解題中數形結合思想的應用

【摘要】隨著教育改革的深入，培養學生的數學思維能力成為初中數學教學的重要目標.在這一背景下，數形結合思想作為一種有效的教學策略，越來越受到教師的關注.數形結合思想不僅有助于學生深入理解二次函數的性質，還能提高他們的解題能力.本文以一道二次函數圖象性質題為例，探討數形結合思想在初中數學解題中的應用.同時，教師應注重培養學生的數形結合思想，提高學生的觀察力、想象力和創造力，從而促進學生更全面地掌握數學知識，為未來的學習和發展奠定基礎.

【關鍵詞】初中數學；數形結合；二次函數

1引言

在初中數學教學中，數形結合思想是一種重要的數學思想.它將數學的抽象性與形象性相結合，有助于學生更好地理解數學概念、公式和定理.二次函數是初中數學教學的重點內容之一，其圖象對于理解二次函數的性質具有重要意義.通過數形結合思想，學生可以將二次函數的公式與圖象相結合，從而更深入地理解二次函數的性質，例如二次函數的頂點、對稱軸和開口方向等性質可以通過觀察函數圖象來直觀地理解.本文將以一道二次函數圖象性質題為例，探討數形結合思想在初中數學解題中的應用.

2試題呈現

如圖1所示，拋物線y=ax2+bx－6交x軸于A2，0，B－6，0兩點，交y軸于點C，點Q為線段BC上的動點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求QA+QO的最小值；

（3）過點Q作QP∥AC交拋物線的第三象限部分于點P，連接PA，PB，記△PAQ與△PBQ的面積分別為S1，S2，設S=S1+S2，當S=152時，求點P的坐標.

3思路分析

（1）求拋物線解析式是常規題目，將A2，0，B－6，0代入y=ax2+bx－6，利用待定系數法解答即可.

（2）作點O關于直線BC的對稱點坐標為O′，求出O′的坐標，并證明O′A為QA+QO的最小值，求出Q′A即可.

（3）過點P作PM⊥x軸，交x軸于點M.連接PC.設點Pm，12m2+2m－6，由于QP∥AC，從而得到S△PAQ+S△PBQ=S△PBC=S梯形PCOM+SRt△PMB－SRt△BOC，用P點坐標將各項表示出來，從而求出m的值，進而求得P點坐標.

4解法探究

（1）將A2，0，B－6，0分別代入y=ax2+bx－6中，

得到方程組0=4a+2b－60=36a－6b－6，

解得a=12b=2.

所以拋物線的解析式為y=12x2+2x－6.

（2）作點O關于直線BC的對稱點坐標為O′.連接BO′、CO′、OO′，如圖2所示.

因為OB=OC，OO′⊥BC，

所以OO′垂直平分BC.

又因為BC垂直平分OO′，且∠BOC=90°，

所以四邊形OCO′B是正方形.

所以點O關于直線BC的對稱點坐標為O′－6，－6.

連接O′A，與BC交于點Q.

因為BC是OO′的垂直平分線，

所以QO=QO′，

所以QA+QO=QA+QO′=O′A.

在BC上任取異于點Q的點Q′，連接Q′O、Q′A、Q′O′（見圖2），

在三角形中，兩邊之和大于第三邊，

所以QA+QO的最小值為

O′A=（－6－2）2+（－6）2=10.

（3）過點P作PM⊥x軸，交x軸于點M.連接PC，如圖3所示.

因為QP∥AC，

所以S△PAQ=S△PCQ（同底等高，

所以S△PAQ+S△PBQ=S△PBC=S梯形PCOM+SRt△PMB－SRt△BOC，

設點Pm，12m2+2m－6，

所以S梯形PCOM=12MP+OC·OM

=12－12m2－2m+6+6－m

=－12m－12m2－2m+12，

SRt△PMB=12MP·BM

=12－12m2－2m+6m+6

=12m+6－12m2－2m+6，

SRt△BOC=12OB·OC=12×6×6=18.

所以S=S1+S2

=－12m－12m2－2m+12+12m+6

－12m2－2m+6－18=152，

解得m=－1或m=－5.

所以P－1，－152或－5，－72.

5結語

本文以具體的二次函數圖象性質題為例，探討了數形結合思想在初中數學解題中的應用.題目考查了二次函數的性質、圖象上的坐標特點和解析式的求法等內容，解答過程非常復雜，要求有較強的計算能力和思維能力.數形結合不僅能夠幫助學生建立起數學概念與直觀圖形之間的聯系，還能夠激發學生的學習興趣，提高他們的觀察力、想象力和創造力.通過觀察圖象，學生能夠更好地理解二次函數的性質，如頂點、對稱軸的位置以及函數的開口方向等.在未來的教學中，教師應當繼續強化數形結合思想的教學，設計更多富有啟發性的例題和練習，讓學生在實際操作中感受數學之美.同時，教師也應鼓勵學生主動探索，培養他們獨立思考和解決問題的能力.

參考文獻：

[1]童滟.數形結合在初中數學解題中的應用[J].學園，2024，17（08）：29-31.

[2]張焱.數形結合思想在初中數學教學中的應用案例探析[J].數理天地（初中版），2024（03）：78-79.

[3]王麗.數形結合思想在初中數學解題中的應用——以“二次函數與幾何圖形”問題為例[J].數理化解題研究，2024（02）：38-40.