洞察變換知來路，衍生方法知去路

【摘要】圖形變換問題是平面幾何問題中的一類難點問題，體現了運動變換的數學思想，對學生空間觀念的形成有著很大的作用.解答圖形變換問題，首先要明確幾種主要的變換類型，并理解其內涵.本文對一道圖形變換問題的解題方法進行分析，幫助學生攻克難點，達到深刻理解和靈活掌握的目的.

【關鍵詞】圖形變換；初中數學；解題技巧

1例題呈現

如圖1所示，在四邊形ABCD中，AD=BC，E、F兩點分別是DC、AB的中點，射線FE與AD、BC的延長線交于點H、G，求證：∠AHF=∠BGF.

2解法分析

2.1構造中位線

證明如圖2所示，連接AC，取AC的中點M，連接ME、MF.

因為E、F兩點分別是DC、AB的中點，

所以EM∥AD，EM=12AD，

FM∥BC，FM=12BC.

所以∠AHF=∠MEF，∠BGF=∠MFE.

因為AD=BC，

所以EM=FM，

則∠MEF=∠MFE.

所以∠AHF=∠BGF.

評注本題中“E、F兩點分別是DC、AB的中點”是一個重要的幾何條件，聯想到構造中位線.利用中位線的性質可以實現角和線段的平移，從而使條件更為集中化，建立已知條件和結論之間的聯系.

2.2平移線段

證明如圖3所示，平移AD、CB到EK、ET的位置，則可以組成平行四邊形ADEK，平行四邊形BCET.

所以AK∥DE∥EC∥BT，AK=DE=EC=BT，則四邊形AKBT是平行四邊形.

所以KT必然經過AB的中點F.

因為KE=AD=BC=ET，

所以△EKT是等腰三角形.

則EF是等腰三角形EKT底邊上的中線，

所以∠KEF=∠TEF.

因為∠KEF=∠AHF，∠TEF=∠BGF，

所以∠AHF=∠BGF.

評注若圖形中相等的線段較多，則可以考慮平移線段，同樣可以實現角的平移.同時若平移后的線段構成了三角形，也可以利用等腰三角形的性質簡化問題.

2.3利用軸對稱變換

證明如圖4所示，以EF為對稱軸作GB關于EF的對稱線段GK，

則∠KGF=∠BGF.

過點D作DP⊥EF于點P，過點A作AQ⊥EF于點Q.

過點C作CM⊥EF于點M，并延長CM交GK于點T.

連接BK交EF的延長線于點N，連接AK.

易證PQ=MN，

所以PM=QN.

所以可證明四邊形DPMT和四邊形AQNK都是平行四邊形.

所以DT∥AK，DT=AK，

則GK=HA，

所以∠AHF=∠KGF.

所以∠AHF=∠BGF.

評注軸對稱變換體現了數學思想中的對稱思想.通過軸對稱變換可以得到圖形全等的性質，對應的點和線段也實現了位置的變化.

2.4利用旋轉變換

證明如圖5所示，連接DF，將△ADF繞AB的中點F旋轉180°到△BKF的位置.

連接CK，則有BK=AD=BC，

所以∠BCK=∠BKC.

因為DF=FK，DE=EC，

所以EF∥CK，

所以∠BGF=∠BCK.

因為∠ADF=∠AHF+∠DFH，

∠BKF=∠BKC+∠FKC，

同時∠DFH=∠FKC，∠ADF=∠BKF，

所以∠AHF=∠BKC.

所以∠AHF=∠BGF.

評注旋轉變換可以保持圖形的全等性，同時可以改變圖形的方向.在解題時，可以利用旋轉變換構造相應的輔助線，幫助解決復雜問題.通過旋轉變換，可以使圖形之間形成特殊的角度或關系，從而揭示出在問題中隱藏的幾何性質.

3結語

圖形變換問題的關鍵在于如何“變”，根據題目的特點對知識進行系統性的提煉，以不變應萬變.同時要能夠正確識別變換的類型，回歸基本的性質，靈活運用對稱思想、旋轉思想等數學思想簡化問題，從而真正提高學生的數學素養和問題解決能力.