一道三角形不等關系問題的解析

【摘要】三角形不等關系問題是中考數學中的經典題型之一，對學生的思維能力和幾何直覺有較高要求.在初中階段的解題教學中，常常是就題論題，重視解題的最終結果而忽略方法的由來和解后的總結與反思.本文通過一道典型例題，就三角形不等關系問題的解題策略提出看法，并舉一反三.

【關鍵詞】三角形；不等關系；解題策略

例題如圖1所示，已知△ABC.

（1）試在BC上找到D、E兩點（不包括BC的中點），使得連接AD、AE，此圖中只存在兩對面積相等的三角形？若能，表示出面積相等的三角形；若不能，說明理由.

（2）在（1）的基礎上，試證明：AB+AC>AD+AE.

解題策略

（1）因為D、E兩點都在BC邊上，所以圖中的三角形都可以看做是“等高”的三角形，它們的高是點A到BC邊的垂線段，底是BC邊上的線段，要滿足只存在兩對面積相等的三角形，畫圖分析，可以發現需要滿足BD=CE，且B、D兩點不是線段BC的三等分點.

（2）要證明此不等關系，聯想到三角形三邊的大小關系，通過平移的方法構造三角形即可得證.

解（1）如圖2所示，當BD=CE≠DE時，因為高相等，所以△ABD和△ACE、△ABE和△ACD的面積相等.

（2）證法1如圖3所示，過D、B分別作CA、EA的平行線交于點F，DF與AB交于點G，

則∠ACE=∠FDB，∠AEC=∠FBD.

在△AEC和△FBD中，∠ACE=∠FDBCE=BD∠AEC=∠FBD，

所以△AEC≌△FBD，AC=FD，AE=FB.

在△AGD中，AG+DG>AD，

在△BFG中，BG+FG>FB.

所以AG+DG+BG+FG>AD+FB，

AB+FD>AD+FB.

所以AB+AC>AD+AE.

證法2如圖4所示，過A、E分別作CB、CA的平行線交于點F，EF與AB交于點G，連接BF.

易得四邊形EFAC是平行四邊形，

所以FE=AC，AF=CE.

因為BD=CE，

所以BD=AF，四邊形FBDA是平行四邊形，FB=AD.

在△AGE中，AG+EG>AE，

在△BFG中，BG+FG>FB，

兩式相加得AG+EG+BG+FG>AE+FB，

所以AB+AC>AD+AE.

證法3如圖5所示，取DE的中點為O，連接AO并延長至點F，使FO=AO，連接EF、CF，延長AE，交CF于點G.

在△ADO和△FEO中，

因為∠AOD=∠FOE，DO=EO，

所以△ADO≌△FEO，AD=FE.

又因為BD=CE，DO=EO，

所以BO=CO.

同理△ABO≌△FCO，

所以AB=FC.

在△ACG中，AC+CG>AG，

即AC+CG>AE+EG.

在△EFG中，EG+FG>EF，兩式相加得

AC+CG+EG+FG>AE+EG+EF，

所以AC+CF>AE+EF，

AB+AC>AD+AE.

解后反思

在研究線段間的不等關系時，一般考慮以下幾種方法：（1）利用三角形性質：三角形的任意兩邊之和大于第三邊；（2）利用在同一個三角形中的邊角關系：大邊對大角，大角對大邊；（3）利用直角三角形中斜邊和直角邊之間的關系：斜邊大于直角邊；（4）利用公理“兩點之間，線段最短”.

此題的三種證法其實本質上都來自對上述方法（1）的考慮，其中如何構造合適的三角形是關鍵.借助圖形變換構造三角形是常用的方法，如本題證法1、2中使用了平移變換，證法3中使用了旋轉變換（△FOC可以由△AOB繞點O旋轉180°得到）.

舉一反三

如圖6所示，點D是△ABC內任意一點，求證：AB+AC>DB+DC.

證法1如圖7所示，延長CD與AB交于點E.

在△ACE中，AC+AE>CE，

在△BDE中，BE+DE>BD.

兩式相加，得AC+AE+BE+DE>CE+BD.

又因為CE=CD+DE，AE+BE=AB，

所以AB+AC+DE>CD+DE+BD.

所以AB+AC>BD+DC.

證法2如圖8所示，過點D作任意直線與AB交于點E，與AC交于點F.

在△AEF中，AE+AF>EF，

在△CDF中，DF+FC>DC，

在△BDE中，BE+DE>BD，

將上述三式相加可得：

（AE+BE）+（AF+FC）+（DE+DF）>EF+DC+BD，

所以AB+AC+EF>EF+DC+DB，

AB+AC>DB+DC.

評注此題中點D是△ABC內一點，在此背景下，解題思路難以開展，所以必然要適當添加輔助線，而最終所求式是關于三角形邊長的不等關系式，則只能從三角形三邊關系入手.圖7和圖8是典型的兩種構造方法，其特點是作完輔助線后，出現了更多的三角形，其中的邊長不等關系也就得到了拓展，在每個三角形中分別得到相應條件后相加即可得到最終的關系.

結語

著名的數學教育家趙憲初先生曾說“先要舉三反一，才能舉一反三”，解題教學不應該局限于正確答案的尋找，而應該著重于思路的由來和方法的改進，讓學生在探究的過程中體會與理解問題的本質，而教師則承擔著點撥和總結的責任，幫助學生把握規律，并形成一套完整的解題經驗體系.兩者相互結合，才能實現教學相長，共同促進的目的.