剖析拋物線上的動點平行四邊形問題

【摘要】動點是命題的常見素材，往往設置成：通過點的不確定性，對應的圖形存在不同情形.它與分類討論緊密相連，考查學生的思維縝密程度.本文對一道二次函數與平行四邊形結合的綜合題進行分析與解答，幫助學生加深對概念的理解，方法的掌握與運用，培養學生的分析問題、解決問題能力與應變能力.促進學生思維的活躍性與思考深度，提高學生的數學核心素養.

【關鍵詞】初中數學；分類討論；二次函數

1試題呈現

如圖1，平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c與x軸交于點A－1，0，B3，0，與y軸交于點C，作直線BC，點P是拋物線上一個動點（點P不與點B，C重合），連接PB，PC，以PB，PC為邊作CPBD，設CPBD的面積為S，點P的橫坐標為m .

（1）求拋物線對應的函數表達式；

（2）當點P在第四象限，且CPBD有兩個頂點在x軸上時，求點P的坐標；

（3）求S與m之間的函數關系式；

（4）當x軸將CPBD的面積分成1∶7兩部分時，直接寫出m的值.

2試題分析

（1）將點A－1，0，B3，0分別代入二次函數y=x2+bx+c，建立方程組求得b，c；或利用二次函數的交點式，求拋物線的解析式；

（2）由平行四邊形的性質及平行四邊形頂點的位置，確定點D在x軸上，再利用平行四邊形的性質可判斷PC∥x軸，然后根據拋物線的對稱性確定點P的坐標；

（3）首先明確CPBD的面積S=2S△PBC，所以求得S△PBC即可.又因為平面直角坐標系中，三角形面積與鉛垂高、水平寬的關系密切.

利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=x－3，設Pm，m2－2m－3，作PQ∥y軸交直線BC于Q，則Qm，m－3，則鉛垂高PQ用含m的式子表示.

由“點P是拋物線上一個動點”，已知點P既可在直線BC的上方的拋物線上，也可在直線BC的下方的拋物線上，進行分類討論，表示PQ的長即可.

（4）點P為動點，則CPBD的形狀不確定，要根據點P的不同位置，畫出不同的圖形，再根據平行四邊形的性質，將所求問題轉化為“點的平移”來求解.

3試題解答

解（1）因為點A－1，0，B3，0在拋物線上，

所以拋物線的解析式為y=（x+1）（x－3），

即y=x2－2x－3．

（2）因為CPBD有兩個頂點在x軸上，點C，點P分別在拋物線上，不可能在x軸上．

所以點D在x軸上，

而BD∥PC，所以點P和點C為拋物線上的對稱點，

而拋物線的對稱軸為直線x=1，點C（0，－3），

所以點P的坐標為2，－3．

（3）作PQ∥y軸交直線BC于Q．

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把C0，－3，B3，0，代入上式，

得b=－3，3k+b=0，

解得k=1，b=－3.

所以直線BC的解析式為y=x－3．

設Pm，m2－2m－3，

則Qm，m－3．

①當0＜m＜3時，如圖2，

PQ=m－3－m2－2m－3=－m2+3m，

所以S=2S△PBC=2S△PQC+S△PQB=2×12×3－m2+3m=－3m2+9m.

②當m＜0或m＞3時，如圖3，

PQ=m2－2m－3－m－3=m2－3m，

S=2S△PBC=2S△PBQ－S△PQC=2×12×3m2－3m=3m2－9m．

（4）①當點P在x軸下方，如圖4，設CD交x軸于E．

因為x軸將CPBD的面積分成1∶7兩部分，

所以S△DEB∶SCPBD=1∶8，

所以S△DEB∶S△BCD=1∶4，

所以S△DEB∶S△BCE=1∶3．

而OC=3，由同底的三角形面積之比等于它的高之比，得點D到x軸的距離為1，即D點的縱坐標為1．

因為四邊形CPBD為平行四邊形，BD與CP是對應邊，將點D向下平移1個單位，則點D與點B的縱坐標相等．

所以將點C向下平移1個單位，則點C與點P的縱坐標相等，

即P點的縱坐標為－4．

當x=－4時，

x2－2x－3=－4，

解得x1=x2=1，

則P點坐標為1，－4，

所以m=1．

②當點P在x軸上方，如圖5，設CP交x軸于E．

因為x軸將CPBD的面積分成1∶7兩部分，

所以S△PEB∶SCPBD=1∶8，

所以S△PEB∶S△BCP=1∶4，

所以S△PEB∶S△BCE=1∶3，

而OC=3，

所以點P到x軸的距離為1，即P點的縱坐標為1，

當y=1時，x2－2x－3=1，

解得x1=1+5，x2=1－5，

則P點坐標為1+5，1或1－5，1，

所以m=1或1+5或1－5.

4試題評價

基于平面直角坐標系中的平行四邊形求點的坐標問題的解法多樣，有平移法、中點法、對點法，當然也能用距離法、平行法解答.但是不管怎樣，都是根據平行四邊形的判定來解答，主要從對邊相等、對邊平行、一組對邊平行且相等，或者對角線互相平分四個角度來得出各種解法.

本題是二次函數的綜合題，通過拋物線上的動點與平行四邊形結合，設置成求平行四邊形面積與三角形面積問題，需熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質和平行四邊形的性質；會利用待定系數法求一次函數和二次函數的解析式；理解坐標與圖形的性質；會運用分類討論的思想解決數學問題.本題的難點在于：（1）運用分類討論思想，讓動點“動”起來，得出符合題意的不同情形與位置的圖形.（2）面積問題的轉化.將平行四邊形的面積轉化為三角形面積，進而轉化為線段長問題，需綜合不同知識與方法，進行推理、計算.