初中數(shù)學(xué)中分式函數(shù)最值問(wèn)題的求解方法

【摘要】在初中數(shù)學(xué)中，分式函數(shù)最值問(wèn)題是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，它涉及函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法以及幾何直觀等多個(gè)方面．求解這類問(wèn)題需要結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)、邏輯推理和數(shù)學(xué)方法，才能得出最值．本文以分式的最值為抓手，介紹分式函數(shù)最值問(wèn)題的求解方法，幫助初中學(xué)生更好地理解和掌握分式函數(shù)最值問(wèn)題．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；分式函數(shù)；最值問(wèn)題

分式函數(shù)的最值往往與函數(shù)的單調(diào)性、凸性等性質(zhì)有關(guān)，因此理解函數(shù)的性質(zhì)是解決最值問(wèn)題的前提．但有的分式函數(shù)在某些區(qū)間內(nèi)并沒(méi)有嚴(yán)格的單調(diào)性，所以求解時(shí)并不是想象中的那么容易．對(duì)于二次分式函數(shù)，可利用配方法求其最值，對(duì)于高次分式函數(shù)，可利用判別式法求其最值．

1判別式法求解分式函數(shù)的最值

例1求函數(shù)y=2x+2x2+3x+3的最大值和最小值．

解析將原式整理為關(guān)于x的方程：

yx2+（3y－2）x+（3y－2）=0．

若y=0，則x=－1，即y=0是函數(shù)的一個(gè)值；

若y≠0，則關(guān)于x的方程有實(shí)根，

所以Δ=（3y-2）2-4（3y-2）y=（3y-2）（3y-2-4y）≥0，

即（3y-2）（y+2）≤0，

解得-2≤y≤23．

由此可看出y=0既不是最大值也不是最小值．

當(dāng)y=－2時(shí)，由－2=2x+2x2+3x+3，

解得x=－2；

當(dāng)y=23時(shí)，由23=2x+2x2+3x+3，

解得x=0．

所以當(dāng)x=－2時(shí)，y取最小值－2；

當(dāng)x=0時(shí)，y取最大值23．

點(diǎn)評(píng)本題利用判別式法求解分式函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)解法可以看出，分式函數(shù)的最值與分式的最值內(nèi)涵相同，求解分式函數(shù)最值的思路和求解分式最值的思路也相同，學(xué)生可通過(guò)方法遷移來(lái)處理此類問(wèn)題．

2不等式法求解分式函數(shù)的最值

例2實(shí)數(shù)a，b使關(guān)于x，y的方程組

xy－x2=1xy2+ax2+bx+a=0有實(shí)數(shù)解x，y．

（1）求證y≥2；

（2）求a2+b2的最小值．

解析（1）證明由xy－x2=1，

得：x≠0，y=x+1x，

當(dāng)x>0時(shí)，

因?yàn)閤-1x2≥0，

所以x+1x-2x·1x≥0，

即x+1x-2≥0

所以x+1x≥2，

所以當(dāng)x>0時(shí)，y≥2；

當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，

因?yàn)?x-1-x2≥0

所以-x+1-x-2-x·1-x≥0，

即-x+1x-2≥0

所以-x+1x≥2，

所以x+1x≥-2

所以當(dāng)x<0時(shí)，y≥-2；

所以y≥2；

（2）由xy－x2=1，

得：x≠0，x2+1=xy，

由xy2+ax2+bx+a=0，

得：xy2+b+ax2+1=0，

即xy2+b+axy=0，

所以xy2+ay+b=0，

因?yàn)閤≠0，

所以y2+ay+b=0，

所以y2+ay+b=0有解，且滿足y≥2，

所以ay+b=－y2，

因?yàn)閍2+b2y2+1－ay+b2

=a2y2+a2+b2y2+b2－a2y2+2aby+b2

=a2y2+a2+b2y2+b2－a2y2－2aby－b2

=a2－2aby+b2y2

=a－by2，

因?yàn)閍-by2≥0

所以a2+b2y2+1≥ay+b2，

所以a2+b2≥ay+b2y2+1=y4y2+1

=y2+12－2y2+1+1y2+1

=y2+1+1y2+1－2，

因?yàn)閥≥2，

所以y2+1≥5，

令y2+1=z，

y2+1+1y2+1=w，

則w=z+1z，

因?yàn)楫?dāng)z>1時(shí)，w隨z的增大而增大，

所以當(dāng)y2+1=5時(shí)，

y2+1+1y2+1有最小值，

所以y2+1+1y2+1-2≥5+15-2=165，

當(dāng)y=2時(shí)，等號(hào)成立，

所以a2+b2有最小值165，當(dāng)且僅當(dāng)a=byy=2時(shí)等號(hào)成立，

又因?yàn)閥=x+1xy2+ay+b=0，

聯(lián)立解得：y=2x=1a=－85b=－45，

或y=－2x=－1a=85b=－45，

綜上所述，a2+b2的最小值為165．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查了基本不等式的性質(zhì)，解高次方程組．在求解a2+b2的最小值時(shí)，將求解a2+b2的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解分式函數(shù)的最值問(wèn)題，這里可以用不等式的方法求解該分式函數(shù)的最值．

3結(jié)語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)中，求解分式函數(shù)最值問(wèn)題需要結(jié)合基本的具體方法，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、邏輯推理和數(shù)學(xué)方法．通過(guò)判別式法和基本不等式等方法，可以有效地解決不同類型的分式函數(shù)最值問(wèn)題．希望本文提供的思路和方法能夠幫助初中學(xué)生更好地理解和掌握初中數(shù)學(xué)中的分式函數(shù)最值問(wèn)題．

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