例談一元一次不等式組解集的求解方法

【摘要】本文將通過實例，詳細介紹一元一次不等式整數解的求解方法以及根據一元一次不等式組解的情況求參數的范圍．通過案例的分析，希望能提升學生關于一元一次不等式解集的理解深度，幫助其理順解決問題的思路．

【關鍵詞】一元一次不等式組；初中數學；解題技巧

一元一次不等式組是一類重要的數學問題，求解不等式組的解集是解決相關問題的基礎．本文將通過實例，介紹如何根據不等式組的特征選擇合適的解法．

1求解一元一次不等式組的整數解

例1定義：關于x，y的二元一次方程ax+by=c（其中a≠b≠c）中的常數項c與未知數系數a，b之一互換，得到的方程叫“交換系數方程”，例如：ax+by=c的交換系數方程為cx+by=a或ax+cy=b．

（1）已知關于x，y的二元一次方程ax+by=c的系數滿足a+b+c=0，且ax+by=c與它的“交換系數方程”組成的方程組的解恰好是關于x，y的二元一次方程mx+ny=p的一個解，求代數式（m+n）m－p（n+p）+2023的值；

（2）已知整數m，n，t滿足條件t<n<8m，并且（10m－t）x+2023y=m+t是關于x，y的二元一次方程（1+n）x+2023y=2m+2的“交換系數方程”，求m的值．

解析（1）ax+by=c與它的“交換系數方程”組成的方程組為：

①ax+by=ccx+by=a，

或②ax+by=cax+cy=b，

解方程組①，得x=－1y=a+cb，

由a+b+c=0，

得y=a+cb=－bb=－1，

因此方程組①的解為x=－1y=－1，

解方程組②，得x=b+cay=－1，

由a+b+c=0，得x=b+ca=－aa=－1，

所以方程組②的BSypGlPxB3X9xpv/of2Ohg==解為x=－1y=－1，

所以ax+by=c與它的“交換系數方程”組成的方程組為x=－1y=－1，

將x=－1y=－1代入mx+ny=p，

得：－m+n=p，

所以（m+n）m－p（n+p）+2023

=－pm－pn－p2+2023

=－pm+n－p2+2023

=－p·－p－p2+2023=2023．

（2）關于x，y的二元一次方程（1+n）x+2023y=2m+2的“交換系數方程”為：

1+nx+2m+2y=2023，

或（2m+2）x+2023y=1+n，

當1+nx+2m+2y=2023與（10m－t）x+2023y=m+t的各系數相等時，

可得方程組2m+2=20231+n=10m－t2023=m+t，

解方程組可得m=20212，與m為整數不符，不合題意；

當（2m+2）x+2023y=1+n與（10m－t）x+2023y=m+t的各系數相等時，

可得2m+2=10m－t1+n=m+t，

解得t=8m－2n=9m－3，

因為t<n<8m，

所以8m－2<9m－3<8m，

即8m－2<9m－39m－3<8m，

解得1<m<3，

因為m為整數，所以m=2．

點評本題在新定義運算的背景下考查了一元一次不等式組的整數解、二元一次方程組的解、解二元一次方程組等，計算量很大，有一定難度，正確理解“交換系數方程”的定義是解題的關鍵．

2根據一元一次不等式組解的情況求參數范圍

例2定義運算：fx，y=ax+by，已知f2，3=7，f3，4=10．

（1）若關于x的不等式組fx+1，2-x≥0f2x，x-t<0無解，求t的取值范圍；

（2）若fmx+3n，2m－nx≥3m+4n的解集為x≤13，求不等式fmx-m，3n-nx≥m+n的解集．

解析（1）由題意得：

2a+3b=73a+4b=10，

解得：a=2b=1．

把a=2，b=1代入fx，y=ax+by，

得fx，y=2x+y，

所以不等式組fx+1，2-x≥0f2x，x-t<0，

可轉化為2x+1+2－x≥02×2x+x－t<0，

解得：x≥-4x<t5，

因為關于x的不等式組：

fx+1，2－x≥0f2x，x－t<0無解，

所以t5≥-4，

解得：t≥-20，

所以t≥-20；

（2）不等式fmx+3n，2m-nx≥3m+4n轉化為：

2mx+3n+2m-nx≥3m+4n，

整理，得2m-nx≥m-2n，

因為fmx+3n，2m-nx≥3m+4n的解集為x≥13，

所以2m－n<0，解得：x≥m-2n2m-n，

所以m－2n2m－n=13，所以m=5n，

所以2×5n－n<0，解得：n<0，

不等式fmx-m，3n-nx≥m+n轉化為2mx－m+3n－nx≥m+n，

整理，得：2m-nx≥3m-2n，

所以2×5n-nx≥3×5n-2n，

所以9nx≥13n，

因為n<0，

所以x≤139，

所以不等式fmx-m，3n-nx≥m+n的解集為x≤139．

點評本題通過新定義運算，考查根據一元一次不等式組解的情況求參數范圍、二元一次方程組的解法等．掌握一元一次不等式組解集的求解方法、二元一次方程組的解法是解題的關鍵．

3結語

通過實例詳細介紹了求解一元一次不等式組解集的方法，在求解過程中，需要注意符號一致、邊界處理等問題，以確保結果的正確性．通過本文的學習，讀者可以掌握一元一次不等式組解集的求解方法、整數解的求解方法以及根據一元一次不等式組解的情況求參數范圍，為解決相關問題打下基礎．通過以上案例可以看出，一元一次不等式組解集的求解方法在初中數學不同問題中應用廣泛，應予以重視．

參考文獻：

[1]陶高雅.怎樣求一元一次不等式組的解集[J].語數外學習（初中版），2023（09）：19-20.