應(yīng)用基本模型，突破解題難點

【摘要】近幾年的中考題追求題型的創(chuàng)新和與情境的融合，對學(xué)生分析問題、解決問題的能力要求越來越高.面對千變?nèi)f化的題型，刷題已不再有效，但是問題背后的基本模型是不變的，熟悉模型就相當(dāng)于洞悉了問題的本質(zhì).本文通過兩類勾股定理的典型例題分析如何應(yīng)用基本模型來突破解題難點.

【關(guān)鍵詞】基本模型；初中數(shù)學(xué)；勾股定理

模型1“勾股樹”模型

內(nèi)容“勾股樹”以直角三角形為邊分別向外作形狀相同的圖形，設(shè)這三個圖形的面積分別為S1、S2、S3，滿足S1<S2<S3，則S1+S2=S3.

證明以等邊三角形為例，如圖1所示，

過點D作DM⊥AC于點M.

因為△ACD是等邊三角形，

所以AM=MC=12b.

在Rt△ADM中，

DM=AM·tan∠DAC=AM·tan60°=32b，

所以S2=12DM·AC=12×32b×b=34b2，

同理S1=34a2，S3=34c2.

則S1+S2=34a2+34b2=34（a2+b2）.

因為在Rt△ABC中a2+b2=c2，

所以S1+S2=34（a2+b2）=34c2.

則S1+S2=S3.

注意其余的圖形的證明，均可以依據(jù)面積公式和勾股定理轉(zhuǎn)化得到.

例1如圖2所示，直線l上有三個正方形a、b、c，若b、c的面積分別為8和5，則a的面積為.

解如圖3所示，以BC為邊作正方形.

因為∠ACB+∠ECD=90°，

∠CED+∠ECD=90°，

所以∠ACB=∠CED.

在△ABC和△CDE中，∠ABC=∠CDE∠ACB=∠CEDAC=CE，

所以△ABC≌△CDE，

則BC=DE.

所以Sb=Sa+Sc，

則Sa=Sb－Sc=8－5=3.

模型2趙爽弦圖

內(nèi)容如圖4所示，已知大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形EFGH組成.

則：①S正方形ABCD=S正方形EFGH+4S△ABE.

②正方形EFGH的邊長為圍成小正方形的直角三角形的兩直角邊之差，即EF=BE－BF.

拓展如圖5所示，在趙爽弦圖外作正方形，則2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形IJKL.

證明因為趙爽弦圖中四個直角三角形是全等的，結(jié)合正方形的性質(zhì)即可得到.

例2中國是發(fā)現(xiàn)勾股定理最古老的國家之一，三國時期趙爽創(chuàng)造了“勾股方圓圖”，如圖6所示，證明了勾股定理.在這幅圖中，大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形EFGH組成，連接AG.若AB=10，EF=2，則sin∠GAF的值為.

解依據(jù)模型可得AF=BF+EF.

在Rt△ABF中，AB2=BF2+AF2，

所以102=BF2+（BF+2）2，

解得BF=6.

則AF=6+2=8，

所以AG=AF2+FG2=217.

則sin∠GAF=FGAG=2217=1717.

結(jié)語

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，應(yīng)制訂以學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo).因此，在平時的教學(xué)過程中，教師應(yīng)該避免讓學(xué)生盲目的刷題，而是有針對性地對問題進行總結(jié)歸納，探索其共性，尋找規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生在分析模型的過程中獨立思考，實現(xiàn)知識體系的逐步形成.同時在這個過程中，學(xué)生的核心素養(yǎng)也在不斷提高.