“隱圓”在初中幾何解題中的應(yīng)用

【摘要】 在平面幾何解題過(guò)程中，學(xué)生常利用三角形、四邊形等常規(guī)性質(zhì)進(jìn)行求解，但部分題型利用傳統(tǒng)思路求解比較繁瑣.本文將圓的基本性質(zhì)引入多邊形的解題過(guò)程中，在題中尋找與“隱圓”相關(guān)特征構(gòu)造圓，變通思路，解決問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】平面幾何；隱圓；最值；解題技巧

義務(wù)教育階段《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將幾何直觀作為數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)眼光”的重要組成.運(yùn)用圖形描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣，是核心素養(yǎng)的一種具體表現(xiàn).“圓”的相關(guān)知識(shí)是初中數(shù)學(xué)，尤其是“圖形與幾何”知識(shí)的深度融合.近年來(lái)有些中考數(shù)學(xué)試題，如果仔細(xì)審題、分析題干，成功找出題中“隱形”的圓，就可以突破難點(diǎn)，達(dá)到“撥開(kāi)云霧見(jiàn)天日，守得云開(kāi)見(jiàn)月明”的效果，對(duì)問(wèn)題的解決起著重要的作用.

1 隱形圓概念及模型

隱形圓是一種圓形的輔助線，這種圓形的輔助線，可以包覆幾何圖形的整體，也可以包覆幾何圖形的部分.在教學(xué)中，教師將圓的概念引進(jìn)到幾何解題之中，是一種直觀有效的解題方法，得到了廣泛的應(yīng)用.

隱圓常見(jiàn)的有以下形式，動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)、定弦對(duì)直角、定弦對(duì)定角、四點(diǎn)共圓（對(duì)角互補(bǔ)或等弦對(duì)等角），上述動(dòng)態(tài)問(wèn)題的軌跡是圓.各地中考選擇題和填空題，甚至解答題中常出現(xiàn).有點(diǎn)、線的運(yùn)動(dòng)，或者圖形的折疊、旋轉(zhuǎn)等，此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，隱蔽性強(qiáng)，學(xué)生很容易“卡殼”.

1.1 動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)模型

利用“定點(diǎn)加定長(zhǎng)”，做“隱形圓”，若圖形中出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)不動(dòng)，為定點(diǎn)，由這個(gè)點(diǎn)出發(fā)的線段是定值，則利用圓的定義，得到這個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，所以破解此類題的核心是利用“定點(diǎn)加定長(zhǎng)”.如圖1，若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB = AC = AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，A為圓心，AB為半徑.

1.2 定弦定角

利用“定邊對(duì)定角”，做“隱形圓”，若幾何動(dòng)態(tài)圖形中始終有一條邊是定值，且它所對(duì)的角度數(shù)不變，那么這個(gè)角的頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是“隱形圓”的雙弧，所以破解此類題的核心是利用“定邊對(duì)定角”.如圖2，固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠P為定值，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡為過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓.

1.3 四點(diǎn)共圓

（1）如圖3，若動(dòng)角∠A+動(dòng)角∠C =180°，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓.

（2）如圖4，固定線段AB所對(duì)同側(cè)動(dòng)角∠P =∠C，則A，B，C，P四點(diǎn)共圓.

2 隱形圓的應(yīng)用

2.1 在動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題中的應(yīng)用

活用“隱圓”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，可以幫助解決一些最值問(wèn)題.

例1 （安徽中考題）如圖5，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC ＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為 .

分析 由已知條件：∠ABC = 90°，∠PAB＝∠PBC，得∠PAB+∠PBA = 90°，則∠APB=90°，利用“90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”，則動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，且要在△ABC內(nèi)部.取AB中點(diǎn)O，連接OC交⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)O，P，C三點(diǎn)在同一條直線上，CP的長(zhǎng)最小.由勾股定理得OC = 5，則CP最小值=OC- OP=2.

2.2 在多邊形證明中的應(yīng)用

幾何題目包羅萬(wàn)象，教師在隱形圓解題教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)對(duì)可利用隱形圓方法解的幾何題進(jìn)行細(xì)致的分類，讓學(xué)生有直觀的印象，幫助學(xué)生更好地掌握隱圓解題的思路.達(dá)到“撥開(kāi)云霧見(jiàn)天日，守得云開(kāi)見(jiàn)月明”的效果.

例2 （安徽中考）在Rt△ABC中，M是斜邊AB的中點(diǎn)，將線段MA繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到MD的位置，點(diǎn)D在直線AB外，連接AD，BD.

（1）如圖6，求∠ADB的大小；

（2）已知點(diǎn)D和邊AC上的點(diǎn)E滿足ME垂直AD，DE平行AB.

①如圖7，連接CD，求證：BD =CD；

②如圖8，連接BE，若AC=8，BC = 6，∠ABE的正切值.

分析 從表面看，本題好像與圓無(wú)關(guān)，學(xué)生審題后，也很難找到突破口，但如果引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)都和點(diǎn)M有關(guān)，聯(lián)想“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形”.如此則可找出題干中的潛在條件，構(gòu)造出符合題意的輔助圓圖形，然后再根據(jù)圓的性質(zhì)，問(wèn)題便迎刃而解了.

解 （1）如圖6，由MA = MD = MB，

可得A，D，B在以AB為直徑的⊙M上，

故∠ADB = 90°.

（2）①圖7，因?yàn)椤螦CB =∠ADB =90°，

所以A，C，D，B在以M為圓心，AB為直徑的⊙M上.

然后運(yùn)用垂徑定理、平行線性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)和“等圓周角對(duì)等弦”等幾何知識(shí).

②圖8，由①知菱形AEDM且邊長(zhǎng)為5，

則CE = 3，AE = 5.延長(zhǎng)BE交圓與F，連接AF，則∠F = 90°，

在Rt△ECB中，

BE=CE2+BC2=32+62=35，

由∠FAE =∠CBE，

得EFAF=CECB=36=12，

設(shè)EF = x，則AF = 2x，

所以x2+（2x）2=25，

解得x =5，

故tan∠ABE=AFBF=12.

3 結(jié)語(yǔ)

隱形圓雖然“隱形”，但是由于某些幾何圖形中包含圓的構(gòu)成原理，通過(guò)構(gòu)造符合題干隱含條件的輔助圓，可以化繁為簡(jiǎn)，幫助學(xué)生順利答疑解惑.這樣不僅利于培養(yǎng)學(xué)生探究未知領(lǐng)域的積極性，還可以有效地提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維與應(yīng)用能力，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的無(wú)窮樂(lè)趣.

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