七年級算術平方根的解題方法探討

【摘要】 在七年級數學中，算術平方根是重要的基礎知識之一，對學生而言具有一定的難度.在七年級習題中，具有大量算術平方根的相關題目，題目類型變化多樣，要求學生掌握一定的解題技巧與方法.本文探討七年級算術平方根的常見習題，對解題過程進行剖析，有利于促進學生掌握七年級算術平方根的解題技巧，實現快速解題.

【關鍵詞】初中數學；算術平方根；解題方法

平方根是數學中的一個基本概念，是一個數自乘能夠等于另一個給定的數.在七年級算術平方根相關題目的解題中，把握平方根的基本定義，若一個數的平方等于a，則該數叫做a的平方根，以±a表示.一個正數a的平方根有兩個，互為相反數.理解平方根的定義是解題的基礎，學生應當認識到平方根有兩個值，正的與負的，但算術平方根僅指非負的那個值.正數a的正的平方根即a的算術平方根，用a表示.在解答具體題目時，運用算術平方根的性質，提升解題效率[1].

例1 如果4a+1有意義，那么a能取的最小整數是（ ）

（A）0. （B）1. （C）－1. （D）－4.

解析 在該題中，由于4a+1有意義，因此得出4a+1≥0，結合a≥－0.25，得出a能取的最小整數是0.因此該題目答案為（A）.

當遇到復合運算、加減乘除與開方混合時，遵循運算的優先級.先進行乘除和開方運算，再進行加減運算.有理數包括整數和分數，針對有理數的平方根，需理解不是所有的有理數均有有理數的平方根.

例2 如果x+3+（x－3y）2=0，那么x＋y的值是（ ）

（A）－2. （B）－3.

（C）－4. （D）無法確定.

解析 由于x+3≥0，（x－3y）2≥0，并且x+3+（x－3y）2=0，因此得出x+3=0，（x－3y）2=0，有x＝－3，y＝－1.因此x＋y的值是－4.因此，該題目答案為（C）.

在該題目解答過程中，需要合理運用相關性質.

例3 現有x－y+3和x+y－1互為相反數，那么（x－y）2的平方根是.

解析 結合題中說兩個數互為相反數，得出x－y+3+x+y－1=0.同時結合非負數的性質，得出x－y=－3，x+y=1，有x=－1，y=2.因此（x－y）2=9.（x－y）2的平方根是±3.

例4 如果y=x－2+2－x+3，那么xy的值是.

解析 結合題目條件，有x－2≥0，2－x≥0，得出x=2，y=3.因此xy=8.

在該題目解讀過程中，運用算術平方根的性質，得出：－a+a或－a－a的值，即0.

平方根經常出現在方程中，尤其是二次方程.解這類方程時，需對方程兩邊同時開方，或利用平方根的性質對方程進行變形.平方根在初中數學相關題目解題中被大量運用，合理運用平方根，有助于快速解題，因此應當有效把握相關解題技巧.巧用被開方數的非負性求值，能夠快速解題.在a≥0情況下，a的平方根即±a，得出a是非負數[2].

對于一些較大的數，直接求出其精確平方根較為困難，可以估算得出大致范圍.

例5 如果2－x－x－2－y=6，那么yx的立方根是.

解析 結合題中式子，被開方數是非負數，得出2－x≥0，求得x≤2;x－2≥0，有x≥2.進而計算得出x=2.因此得出y=－6.

解該式子，因為2－x≥0x－2≥0，所以x≤2x≥2，

則x=2.在x=2情況下，y=－6.yx=（－6）2=36.

因此yx的立方根為336.

在解題中，利用正數的兩平方根為互為相反數，輔助解題.在a≥0情況下，a的平方根為±a，得出（+a）+（－a）=0.

例6 一個正數的平方根為2a－1和2－a，計算a的平方的相反數的立方根.

解析 在該題目解答中，結合正數的兩平方根互為相反數，計算得出（2a－1）+（2－a）=0，即求得a =－1.

因為2a－1與2－a為一個正數的平方根，

所以（2a－1）+（2－a）=0，a=－1.

那么a的平方的相反數的立方根為

3－1=－1.

運用算術平方根的最小值，有助于解決相關題目.a≥0，a=0時數值最小，即a的最小值為0，利用該特征有利于解相關題目[3].

例7 y=a－2+3（b+1），在a，b取不同的值情況下，y相應取不同的值.那么在y最小情況下，ba的非算術平方根是.

解析 該題目中，y=a－2+3（b+1），為了使得y數值最小，要求a－2與3（b+1）數值最小，并且a－2≥0，3（b+1）≥0，得出a－2=0和3（b+1）=0，計算之后，有a=2，b=－1.

因為a－2≥0，3（b+1）≥0，y=a－2+3（b+1），所以a－2=0且3（b+1）=0時，y最小.結合a－2=0與3（b+1）=0，得出a=2，b=－1.

因此ba的非算術平方根為－1=－1.

在初中方程相關題目解答中，運用平方根定義有利于促進解題，也是學生應當掌握的解題技巧.若x2=a （a≥0），則x為a的平方根，運用方程思維進行分析，x即方程x2=a （a≥0）的根[4].

例8 解方程（x+1）2=36.

解題思路 該題目中，將x+1視作36的平方根，進行解題.

解 因為（x+1）2=36，所以x+1為36的平方根.

x+1=±6.

所以x1=5，x2=－7.

平方根是一元二次方程等知識中的重要知識點之一，具有各種各樣的題型，應當加強基本題型的掌握.

例9 求下列各數的算術平方根.

（1）64；（2）（－3）2；（3）11549.

解析 （1）由于82=64，因此64的算術平方根為8，得出64=8.

（2）由于（－3）2=32=9，因此（－3）2的算術平方根為3，得出（－3）2=3.

（3）由于11549=6449，同時（87）2=6449，因此11549的算術平方根為87，得出11549=87.

例10 求下列各式的值.

（1）±81； （2）－16；

（3）925； （4）（－4）2.

解析 （1）由于92=81，

因此±81=±9.

（2）由于42=16，

因此－16=－4.

（3）由于352=925，

因此925=35.

（4）由于42=（－4）2，

因此（－4）2=4.

在該題目解答中，要求把握與平方根有關的三種符號±a，a，－a.±a是非負數a的平方根，a是非負數a的算術平方根，－a則為非負數a的負平方根，在解題時應當特別注意a≠±a.

在解題過程中，要學會識別題目的類型.算術平方根的題目涉及平方根的定義、性質、計算、比較大小、解決實際問題等方面.明確題目要求，求某個數的平方根、比較兩個平方根的大小，或者利用平方根解決實際問題.根據平方根的定義，知道一個數的平方根是另一個數，這個數的平方等于原數.利用平方根的性質，正數的平方根有兩個值（正的和負的），但算術平方根僅指非負的那個值.對于簡單的數，可以直接計算平方根.對于復雜的數或表達式，使用計算器或近似方法.如果題目要求比較兩個平方根的大小，先計算它們的值，然后進行比較，也可以利用平方根的性質和定義進行比較.在計算過程中，注意平方根的定義域，即被開方數必須是非負數.當涉及多個運算時，注意運算的順序，先進行乘除和開方運算，再進行加減運算.

例11 如果數m的平方根為2a+3和a－12，那么m的值是.

解題思路 由于負數沒有平方根，因此m是非負數，因此按照不同的情況進行求解.

解 （1）在m為正數時，平方根互為相反數，得出（2a+3）+（a－12）=0，因此有a=3，得出2a+3=2×3+3=9，a－12=3－12=－9，因此a=92=81.

（2）在m取0情況下，平方根為0，因此2a+3=0，并且3a－43=0，得出兩方程聯立無解.

因此，m的值為81.

例12 根據下式規律，第④⑤個式子應是.

①16=1×16=1×42=1×42=1×4=4；

②32=2×16=2×42=2×42=2×4=42；

③48=3×16=3×42=3×42=3×4=43.

解題思路 為了得出第④⑤個式子，要求明晰被開方數分別是什么，因此仔細觀察題目中給出的式子，

得出給出三個式子的被開方數均為序數乘以16，因此第④⑤個式子的被開方數為64，80.

解 ④64=4×16=4×42=4×42=2×4=8；

⑤80=5×16=5×42=5×42=5×42=5×4=45.

結語

在七年級算術平方根相關習題的解題過程中，應當觀察題目中給出的條件，并運用相關的性質進行解題，梳理題目中的條件，把握相關解題技巧，實現順利解題[5].

參考文獻：

[1]胡雯，熊建平.“雙減”背景下初中數學作業設計的優化策略[J].湖州師范學院學報，2022，44（08）：107-111.

[2]陳傳東，趙蘭，王浪.“雙減”背景下初中數學作業的批改與輔導[J].教學與管理，2022（10）：39-41.

[3]曲元海，賈宏宇.平方根內容教學現狀的理論分析[J].通化師范學院學報，2021，42（12）：129-132.

[4]包子雄，陳靜.問題導學法在初中數學教學的應用探析[J].科學咨詢（教育科研），2021（07）：283-284.

[5]楊輝.基于IGCSE數學培訓下的初中數學課堂活動設計[J].教育教學論壇，2020（03）：264-266.