基于矩陣補全的圖像處理應用研究

［摘 要］近年來，矩陣補全在圖像處理中的應用備受關注，其對推動圖像處理技術的發展和應用具有重要的意義。文章分析了矩陣補全及其算法原理，概述了當前矩陣補全的應用及影響。詳細闡述了圖像處理中矩陣補全的應用，以圖像高斯去噪為例，對建立數學模型、采用奇異值分解的矩陣補全去噪進行了設計，并通過試驗進行了驗證。最后對矩陣補全技術的改進與優化及案例進行了分析，以及對基于矩陣補全的圖像處理應用進行了展望。

［關鍵詞］矩陣補全；奇異值分解；圖像去噪

［中圖分類號］TP391.41 ［文獻標志碼］A ［文章編號］2095–6487（2024）05–0154–03

1 矩陣補全技術概述

1.1 矩陣補全及其算法原理

矩陣補全指從部分觀測到的數據中，通過填補缺失數值回復完整的矩陣。矩陣補全算法包括基于奇異值分解、主成分分析等低秩模型的方法與基于L1 范數最小化、字典學習等稀疏標識模型的方法。其中奇異值分解是矩陣補全的最常用算法，其主要原理為假如給定1 個矩陣M，首先對其進行奇異值分解，將其分解為3 個矩陣的乘積，即M= U＼sigma V^T，其中U和V 是正交矩陣，Σ是對角矩陣。U 的列向量稱為左奇異向量，V 的列向量被稱為右奇異向量，Σ的對角元素被稱為奇異值。在奇異值分解過程中，奇異值按大小進行排列，一般選擇保留較大的奇異值，而將較小的奇異值設置為0，實現矩陣的低秩近似。然后根據保留的奇異值和相應的左右奇異向量相乘，重構原始矩陣M 的近似矩陣M1。在重構M1 過程中，對于未知的缺失值，采用最小二乘法技術進行缺失值評估。并將其填充到原始矩陣的相應位置上，這樣便能恢復完整的矩陣。最小二乘法是一種參數評估方法，其通過最小化觀測數據與模型預測值之間的誤差，有效地評估缺失值大小。

1.2 矩陣補全的應用及影響

矩陣補全有著十分廣泛的應用，其應用主要體現在3個方面：①圖像處理。矩陣補全可應用于圖像去噪、恢復、壓縮和重建的工作，提高圖像質量。并且還可以應用在圖像分析、特征提取和圖像編輯等方面，拓展圖像處理技術的應用范圍。②推薦系統。矩陣補全主要用于填充用戶—物品評分矩陣中的缺失值，提高推算算法準確性和個性化程度。③社交網絡分析。矩陣補充技術可填充用戶—用戶關系和用戶—物品關系矩陣中的缺失值。通過該方法，可更準確地描述和分析社交網絡的結構和動態。

2 矩陣補全在圖像處理中應用

2.1 矩陣補全在圖像處理中的常規應用

矩陣補全在圖像處理領域的中的作用十分巨大，其可在圖像數據存在殘缺或損壞的情況下，對圖像進行有效的分析和處理，通過已知的部分圖像信息來預測和恢復缺失或損壞的部分，實現對圖像的修復和重建。其應用主要包括：①圖像去噪和降噪。對于受到高斯、椒鹽等噪聲干擾的圖像，可通過矩陣補全技術對圖像進行去噪處理，提高圖像的質量和清晰度。②圖像恢復和修復。對于存在缺失、失真及受損的圖像，可采用矩陣補全技術對圖像進行恢復和修復，填補丟失的像素值，使圖片恢復到原始狀態。③圖像壓縮和重建。其通過矩陣補全技術對現有的圖像數據進行有效的填充和重建，實現對圖像數據的高效壓縮和重建，減少存儲空間和傳輸成本。④圖像處理算法改進。通過引入矩陣補全技術對圖像處理算法進行改進和優化，提高算法的魯棒性和準確性。文章接下來將對矩陣補全在圖像去噪中的應用進行詳細闡述及分析。