基于模型的初中數學創新教學實踐

一、模型可以啟發思考，凸顯思維的高階屬性——始于模型來創新

（一）關于模型及其認識

對于數學模型和如何開展基于模型的初中數學創新教學，人們經歷了一個不斷重視與加深認識的過程。

比如，完全平方公式，它本質上就是（a+b）·（a+b）=a2+ab+ba+b2。在這個意義下，完全平方公式就是一個模型。直接運用完全平方公式而跳過運用多項式乘法法則再進行運算的思想、方法和過程等就是運用（完全平方公式模型）數學模型進行思維與運算的過程。同樣，幾何里的許多定理亦如是。以上過程正好體現了模型的發現、歸納、提煉、推導或證明再到應用的完整思維過程。

（二）基于真實案例的模型探究

在中考前多次模擬測試中，當客觀題難題涉及到正方形時，我班的一位平時成績中等的學生多次正確解答，這引起了我的研究興趣。在交流中他說：“凡涉及正方形的題目一般都是12345模型，按結論去套就行了。”那么，什么是12345模型呢？他說：“只要碰到正方形，如果有一個以正方形的頂點為頂點的45°角，那就一定會有一個角的正切是1∶2，以及一定svJNNB7O+jCr+hG3CDxemQ==會有另一個角的正切是1∶3。然后再按照這個規律一個個去套，一般都是對的。”

這里至少含有兩個信息：1.基于數學模型，按圖索驥地去探尋解題思路和進行解答往往效果明顯；2.學生運用模型解題時可能會知其然不知其所以然，只是套用了模型結論而未真正理解和掌握模型所涉及的數學知識方法。

（三）基于模型的初中數學教學實踐

如圖1，已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2，連接CE，以CE為底作直角三角形CDE，且CD＝DE。F是AE邊上的一點，連接BD和BF，且∠FBD＝45°，則AF長為 .

分析：當我們看到題目的已知條件里有等腰直角三角形的時候，聯想到與它關系密切的“手拉手”模型，繼而構造出“手拉手”模型，是此題的解題關鍵所在。如圖2，將線段BD繞點D順時針旋轉90°，得到線段HD，連接BH，構造出“手拉手”模型。

（四）模型教學的幾點思考

第一，基于模型的數學創新教學主題鮮明、重點突出。既能培養學生的直觀想象能力、發散思維能力，又可以改進學生的數學學習方法，還可以積累數學學習經驗、提升數學解題能力。

第二，基于模型的初中數學創新教學方法多、效果明顯。既可以根據常見的題型、結合教材內容進行分類教學，又可以從典型而基礎的模型出發，逐級展開聯想，從而尋找圖形間的內在聯系，并利用學生們已有的數學解題經驗，創造性地搭建緊密相聯、科學高效的相關數學模型框架。

第三，教師在平時的解題教學中，要從學生的實際情況與相關數學教學內容出發，充分挖掘教材與習題的內在育人價值，鼓勵學生對數學的知識方法與問題都進行深入研究，引導并總結出一般化的解題思路、方法、策略與解題模型。

二、數學模型教學呼喚從模仿到創造——止于模型去創造

（一） 模型教學的心理機制

如圖3，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD、CE是角平分線，若BE=AC，BD=2，則CE= .

發散思考問題：哪些模型或定理是與90°有關的呢？聯想到半弦圖或者叫做一線三垂直模型，我們可以巧妙地啟發學生們以半弦圖為目標或向導去嘗試是否可以通過添補兩個直角，來成功地構造出半弦圖（見圖4），具體解法此處略。

在這個教學的過程中，我們看到學生經歷了發散—聯想—嘗試的過程。何克抗教授認為，實現創造性思維離不開兩個關鍵環節：創造想象思維和復雜直覺思維。而“隨意創造思維”，通過“發散— 聯想—想象”等環節，按當前的指令要求進行串并存線性加工。此題解題的思維過程，正是何克抗教授指出的“隨意創造思維”過程。如果只知道半弦圖的模型，想著直接套用，幾乎是不可能解出此題的。

（二） 模型教學的教學要旨

基于模型的數學創新教學致力于追求“無招勝有招”的教學境界。當基本模型經過提煉并熟練應用后，教師應引導學生對該模型的變式與拓展進行更深層次地探究，讓學生在變式訓練的過程中，感悟模型的精髓與本質，學習數學建模的思想與方法，真正實現思維品質尤其是創新思維品質的培養與提升。

責任編輯 鐘嘉儀