基于“數(shù)學理解層級”的教學設計策略思考

【摘要】數(shù)學的學習離不開數(shù)學理解，所謂“數(shù)學理解層級”是指學生在學習數(shù)學過程中，從表面理解到深入掌握的六個不同層次，這六個層次包括：記憶理解、概念理解、程序理解、方法理解、問題解決理解和探究理解，層層遞進，從記憶理解到探究理解，學生的數(shù)學理解能力也逐級加深.文章將以初中數(shù)學教學為例，對基于“數(shù)學理解層級”的教學設計策略展開探討.

【關鍵詞】“數(shù)學理解層級”；教學設計；策略；初中數(shù)學

【基金項目】本文系江蘇省中小學教學研究第十五期課題《意義建構：追求理解的初中“數(shù)學+”教學設計研究》（2023JY15-L117）的階段研究成果

“數(shù)學理解層級”是一個有層次、有規(guī)律可循的概念，是對已有知識經(jīng)驗進行歸納、整理、概括而形成的層次結(jié)構（具體劃分如圖1）.在初中數(shù)學教學中，如何有效地運用已學知識幫助學生理解數(shù)學層次，增進中學階段學生的數(shù)學文化水平，成為所有數(shù)學教育工作者必須深入考慮的課題.

一、基于學生認識基礎，確定教學目標

在教學設計時，教師要理清“數(shù)學理解層級”，明確“數(shù)學理解層級”下的教學目標.數(shù)學教學過程始于目標且終于目標，同時，數(shù)學教學的評估過程也是如此，要堅守用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)其特征和聯(lián)系，進行數(shù)與形的描述這一目標，積極引導學生觀察現(xiàn)實世界中的數(shù)學問題，發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系，幫助學生觀察現(xiàn)實生活中的幾何、代數(shù)、數(shù)量關系和空間形式等問題，找到其數(shù)學特征和規(guī)律.

案例一：如圖2，一座立體的鐵制框架呈現(xiàn)立方體狀，四條棱的中點為I，J，K，L四點，并通過鐵質(zhì)線材串聯(lián)起來.

問題一：假設有螞蟻意圖順著這些鐵質(zhì)連接從A點移動至G點，求出螞蟻抵達G點的最短路徑有哪些，同時利用字母標記出實際經(jīng)過的節(jié)點序列（例如螞蟻從A起步，途經(jīng)I，L，H點，終至G點，以字母序列AILHG形式來描述此路徑）.

問題二：螞蟻是否有可能從A點起始，沿著鐵絲經(jīng)過每個連接點恰好一次，最后到達G點？假如可行，請展示一種符合條件的路徑.反之，若無法達成，請解釋不可能的原因.

拿到這個題目后教師需要引導學生樹立解題思路和解題目標，比如有的學生的目標是第一問路線絕不遺漏等.

解析：第一問中因為是正方體，所以，求所走的距離最小可以先以某一條邊做開頭以免漏數(shù)；第二問中先假設如果可能怎么走，最后發(fā)現(xiàn)不可能到達G點.

解：（1）一共有12條：ABCKG，ABJKG，ABJFG，ADCKG，ADLKG，ADLHG，AIJKG，AIJFG，AILKG，AILHG，AIEFG，AIEHG；

（2）不可能.

用反證法證明.假設可能，將所有連接點染上黑白兩色，凡與黑點相連的都是白點，再通過黑白點的數(shù)量進一步得出與假設矛盾.若A是黑點，則黑白點的分布如下表：

由于A與G全部由黑色點標記，因此當螞蟻由A點起步，依序通過其他各位置，抵達G點時，其所經(jīng)過的路徑順序應呈現(xiàn)黑色→白色→黑色→白色→…→白色→黑色.其中黑點應有奇數(shù)個，這與圖中共有6個黑點矛盾.

∴螞蟻無法從A位置起步，沿著鐵絲經(jīng)過每個連接點恰好一次，最后到達G點.

二、基于學生知識理解，確定教學方法

課堂教學是實施數(shù)學理解的主陣地，教師在設計教學方案時要依據(jù)學生的不同程度和認知水平，選擇合適的教學方法，采用多種評價方式，促進學生的學習發(fā)展.在教學中，教師可運用以下幾種方法：

（一）情境設置法

在數(shù)學教學中，營造合適的情境，激發(fā)學生的認知矛盾，從而使學生與數(shù)學知識產(chǎn)生共鳴，例如，在“豐富的圖形世界”單元中，可以結(jié)合本單元“三視圖”這一內(nèi)容設計如下問題情境：畫出多邊形的三視圖，要求學生找到生活中的多邊形并畫出三視圖，像粉筆盒、衣柜等，通過這個情境設計可以引導學生進行觀察、思考和探究，從而激發(fā)學生學習的興趣.

（二）小組合作法

小組合作是一種常見的學習方式.在數(shù)學教學中，可將小組合作學習分為四個階段：討論階段、預習階段、嘗試階段和鞏固階段.在自主學習之后進行小組討論，形成初步觀點；然后分組嘗試并進行初步解答；最后將討論結(jié)果以書面形式呈現(xiàn)，以幫助學生理解和掌握知識.這種教學方法能夠有效地促進學生的合作與交流.

案例二：如圖3，將圖（1）長方形草地里中間寬度為1米的直道調(diào)整為圖（2）中寬度同為1米的彎曲小徑.這兩條小道的面積相等嗎？

在做這道題之前，教師可以先讓學生自由討論一下兩條小路的面積，討論完后教師進行講解.

解析：將圖（2）的草坪連接到一起（如圖4），該長方形草坪長度為（a-1）m，面積為h（a-1）m2.

解：曲徑草坪中曲徑的面積為：ah-h（a-1）=ah-ah+h=h（m2），

直道的面積為：1×h=h（m2），

所以兩條小道的面積相等.

（三）活動體驗法

在初中數(shù)學教學中可通過課堂活動來提升學生的“數(shù)學理解層級”，例如在學習“勾股定理”時，讓學生在動手實踐中體驗數(shù)學知識的運用：先讓學生畫出直角三角形或是含有直角的圖形，隨后要求學生通過小組互換圖案，將直角在圖上標出來，逐漸形成自己的數(shù)學思維方式和解決問題的能力.同時，教師也可以通過觀察學生的活動狀態(tài)，了解學生的掌握情況，及時調(diào)整教學策略，促進學生的數(shù)學理解層次的提升.

案例三：如圖5，∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，AB=3，則BC的長是多少？

拿到題目后，教師可以先讓學生按照題目條件自己親手畫出圖形，接著進行題目講解.

解析：已知AD，CD，根據(jù)∠ACD=90°可以求出AC；已知AB即可求出BC.

三、基于理解水平的教學設計，落實教學過程

數(shù)學理解是建構數(shù)學認知結(jié)構的基礎，也是檢驗認知結(jié)構的主要指標.教師需要根據(jù)學生的理解層級，設計相應的教學活動，讓學生在學習新知識時可以順利完成任務.因此，教師在設計教學活動時要注意以下幾點：

（一）基于生活情境設計教學過程

學習者在數(shù)學學習的過程中會相繼經(jīng)歷經(jīng)驗性理解、形式化理解、結(jié)構化理解和文化性理解四個發(fā)展階段，其中生活性教學設計就是經(jīng)驗性理解.在初中數(shù)學教學中，教師要從生活實際出發(fā)，將抽象的數(shù)學知識應用到具體情境中去，使學生能夠主動參與學習過程.例如，在教學“圖形的相似”這部分內(nèi)容時，教師可以先讓學生找到生活中的相似圖形，有的學生會說：國旗上的五角星、人民幣外形，還有的學生會拿三輪電動車的車輪舉例子.

案例四：圖6中直角三角形中含有一個30°角，設斜邊AB長度為8cm.△DEF位于△ABC內(nèi)部，其三條邊與△ABC各自相應的邊保持著平行狀態(tài)，三條邊與對應邊之間的間隔均為1cm.基于上述條件，求得△DEF的邊長總和即周長為（ ）.

解題前學生可以用手中的直角三角板這個生活化物品做參照.

解析：△ABC與△DEF相似.

生活是數(shù)學的來源和土壤，數(shù)學源于生活又服務于生活.為此，在中學的數(shù)學教育過程中，教師需側(cè)重于將數(shù)學概念與學生的日常生活相結(jié)合，站在學生的立場，構建與真實生活緊密相關的學習情境，讓學生在解決實際問題中獲得體驗、感悟和發(fā)展.

（二）基于教學理論融入教學實踐落實教學過程

在初中數(shù)學教學實踐中，教師要注重將“數(shù)學理解層級”的理念融入教學過程中，引導學生對數(shù)學知識進行深入的理解，并在理解的基礎上掌握知識.教師應當把學生放在教學的核心位置，密切關注學生對所學知識的理解和掌握程度，及時地給予指導和幫助，從而讓學生能更好地理解和掌握知識.教師在課堂上要充分運用情境教學法、小組合作學習法、問題教學法等多種教學方法，讓學生在愉悅的氛圍中進行學習.另外，教師在課堂上還要關注學生的實踐過程，及時對學生的學習情況和學習態(tài)度進行反饋，并根據(jù)反饋結(jié)果對學生進行指導和幫助.例如，在教學“統(tǒng)計和概率的簡單應用”時，教師需要先將理論知識描述清楚，像概率的計算過程、統(tǒng)計的生活應用等，熟練掌握公式法和樹狀圖畫法，學會利用簡單直觀的方式判斷概率問題，接著教師可以向?qū)W生提問生活中有哪些問題可以利用概率知識進行解決，像視力表、工資表、小球概率、拋硬幣等都可以用概率知識來解決.

案例五：投擲一個質(zhì)地均勻的六面體骰子，每個面上分別寫有1～6這6個數(shù)字，朝上一面的數(shù)字是1有多少可能性？2呢？3呢？4呢？5呢？6呢？

四、基于理解水平的評價過程，形成學習成果

在評價環(huán)節(jié)，教師首先要知道初中數(shù)學學習不是一個簡單的線性過程，而是一個復雜、煩瑣的非線性過程.在初中階段，學生的數(shù)學理解水平是隨著做題數(shù)量的積累和知識的堆積不斷發(fā)展和提高的，學生學習的成效也是時刻變化的.因此，教師要基于學生的學習情況進行真實的教學評價，以評價結(jié)果為依據(jù)對教學活動進行調(diào)整.

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，在初中數(shù)學教學中利用評價機制培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學理解能力是義務教育階段的重要目標.在數(shù)學教學中，評價機制的建立是至關重要的，它不僅能夠及時反映學生的學習狀況，還能為教師的教學設計提供有利的參考.教師在設計教學方案時，需要考慮學生的學習成果，以促進學生全面發(fā)展，基于“數(shù)學理解層級”設計評價策略：一方面，教師要組織學生進行討論，使學生在自主思考、主動探究的過程中查漏補缺；另一方面，教師要鼓勵學生大膽質(zhì)疑，并努力提出有價值的問題，針對這些問題教師要做出進一步指導，對于指導效果好的學生，教師需要給予優(yōu)秀評級.

結(jié) 語

綜上，基于“數(shù)學理解層級”的教學設計策略，旨在幫助學生逐步深入地理解數(shù)學知識，提高數(shù)學素養(yǎng).在初中數(shù)學教學中，教師應根據(jù)學生的實際情況和需求，有針對性地設計教學策略，引導學生逐步達到更高的理解層次，為學生未來的發(fā)展打下根基.

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