高中數(shù)學與物理融合課的課例研究

摘 要：該課例是將數(shù)學知識應用到高中物理中單擺的數(shù)學建模，形成跨學科的一次教學實踐活動. 學生體會到了數(shù)學建模的基本思路和方法，也體會到了數(shù)學與物理之間的緊密聯(lián)系.

關鍵詞：數(shù)學建模；牛頓第二定律；機械能守恒；微分方程

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）05-0039-03

引用格式：李振濤，王淑玲. 高中數(shù)學與物理融合課的課例研究：利用數(shù)學建模探究單擺的周期性［J］. 中國數(shù)學教育（高中版），2024（5）：39-41.

一、概述

1. 問題分析

數(shù)學建模是建立在數(shù)學知識與實際現(xiàn)象之間的橋梁，首要的工作是設法用數(shù)學的語言表述實際現(xiàn)象，所以要把實際問題盡量地使用數(shù)學語言進行重新描述. 因此，要充分了解問題的實際背景，明確建模的目標，盡可能厘清研究對象的特征，并為此搜集必需的各種信息或數(shù)據(jù). 要善于捕捉對象特征中隱含的數(shù)學因素，初步確定用哪一類模型.

2. 模型假設

合理假設是與問題分析緊密銜接的又一個重要步驟. 根據(jù)對象的特征和建模目的，在問題分析基礎上對問題進行必要的、合理的取舍簡化，并使用精確的語言作出假設，這是數(shù)學建模過程中至關重要的一步. 一個實際問題往往是復雜多變的，如果不經(jīng)過合理的簡化假設，將很難轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型；即便轉(zhuǎn)化成功，也可能是一個復雜的難于求解的模型，從而使建模歸于失敗. 當然，假設不合理或過分簡單同樣會與實際相去甚遠. 一般地，作出假設時要充分利用與問題相關的學科知識，充分發(fā)揮想象力和觀察判斷力，分清問題的主次，抓住主要因素，舍棄次要因素.

二、問題假設

人教版《普通高中教科書·物理》選擇性必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）在處理單擺問題時，做出了如下假設.

（1）研究單擺時還有一個條件：與小球受到的重力及繩的拉力相比，空氣對它的阻力可以忽略. 為了更好地滿足這個條件，實驗時我們總要盡量選擇質(zhì)量大、體積小的球和盡可能細的線.

（2）如果細線的長度不可以改變，細線的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長度相比也可以忽略，這樣的裝置就叫作單擺. 單擺是實際擺的理想化模型.

從上面可以發(fā)現(xiàn)，單擺的運動規(guī)律和周期公式是在一系列的假設條件下得到的一個近似公式，是在實驗的基礎上得到的. 這些假設相當于數(shù)學建模中對實際問題的一系列簡化，為數(shù)學建模奠定了基礎.

三、問題研討

結(jié)合單擺的學習提出以下問題.

問題1：高中物理中研究單擺的周期性進行了哪些假設？能否說出這些假設的合理性？

問題2：知道位移怎樣求出速度？知道速度怎樣求加速度？反過來講，知道速度如何求位移？知道加速度如何求速度？

問題3：教材中采用什么方法得到了單擺的周期公式？

問題4：從牛頓第二定律和能量守恒角度，你能利用數(shù)學建模推導單擺的周期公式嗎？

學生回答問題小結(jié).

對于問題1，學生的回答如下：單擺的擺角較小；沒有考慮空氣的阻力；細繩不會發(fā)生變形.

對于問題2，學生由導數(shù)的知識很快可以解答，位移求導是瞬時速度，速度的積分是位移，這是一個逆運算；同理，速度與加速之間的關系也可以類比得到. 而且位移的二階導數(shù)是加速度.

對于問題3，學生從教材中可以得到這是一個簡諧振動，教材中給出了數(shù)學證明；單擺的周期性是通過實驗得到的，周期公式怎樣得到的沒有辦法說清楚.

對于問題4，學生表示沒有從這個角度思考過，也沒有想過還能夠從數(shù)學建模的角度進行證明，也不知道如何從數(shù)學建模的角度進行證明，教學停止在這里.

這說明數(shù)學建模和物理的結(jié)合是一個比較薄弱的環(huán)節(jié)，學生沒有從數(shù)學的角度進行過有效思考. 下面是數(shù)學教師的教學過程.

四、數(shù)學建模過程

1. 一個重要的不等式

當[0<α<π2]時，求證：[sinα<α<tanα].

證明：以單位圓O的圓心為坐標原點，建立如圖1所示的平面直角坐標系.

設角[α]的終邊OP與單位圓O交于點 P.

過點P作 x 軸的垂線，垂足為點 A，單位圓與 x 軸交點為 C，過點C 作單位圓的切線交OP于點D，

則有[S△POC<S扇形POC<S△DOC].

所以[12OC · PA<12OC2 · α<12OC · CD].

所以[sinα<α<tanα]成立.

由圖1可知，當[α→0]時，[sinα≈α].

2. 利用牛頓第二定律推導單擺周期的建模

設擺長為l，小球質(zhì)量為m，小球受力為重力mg和繩子的拉力T，建立如圖2所示的平面直角坐標系. 拉力T 可以分解為垂直方向和水平方向的兩個力.

設擺線 l 與 y 軸在某時刻的夾角為θ.

根據(jù)牛頓第二運動定律[F=ma]，可以列出小球在x 軸和 y 軸兩個方向上的運動方程.

x 軸方向的微分方程為[max=Tθsinθ].

因為[sinθ=xl]，所以[max=mx=-Tθxl].

同理， y 軸方向的微分方程為[may=my=Tθcosθ-mg.]

由重要不等式，可知cos θ ≈ 1，[y]≈ 0，方程[may=][my=Tθcosθ-mg]可以近似表示為[0=Tθ-mg].

所以[Tθ=mg].

帶入[max=mx=-Tθxl]中得到[mx+mgxl=0].

化簡，得[x+glx=0]，即為簡諧振動的微分方程.

3. 利用機械能守恒定律建模

重物的機械能可以分為動能和勢能，即E = E動 + E勢. 在重物擺動的過程中，其機械能保持不變，為一恒定常數(shù)，而動能E動 =[12]mv2（m為重物質(zhì)量，v為速度），E勢 = mgy. 建立如圖3所示的平面直角坐標系，x 軸為 0 勢能，則任意點 P 處重物高度為 y.

質(zhì)點在點P時的勢能E勢 = mgR[1-cos θ]. 其中，R[1-cos θ]即為圖3中的 y，也就是點P相對于 x 軸0勢能時的高度. 顯然，當θ = 0時，E勢 = 0，當θ =[π2]時，E勢 = mgR. 所以勢能是關于θ的函數(shù).

物體的速度也是關于θ的函數(shù)，[vθ=dsdt=Rdθdt=][rθ]，式中ds為圖3中dθ對應的弧度，有ds = Rdθ. 因為[dθdt=ω]即為角速度，所以根據(jù)機械能守恒定律有E = E動 + E勢 =[12]mv2 + mgh =[12]mR2[θ]2 + mgR[1-cos θ].

當 θ 較小時，由重要不等式知1 - cos θ =[2sin2θ2]≈[θ22].

帶入E =[12]mR2[θ]2 + mgR[1-cos θ]中，可以得到E =[12]mR2[θ]2 + mgR[θ22].

兩邊求導，得[0=mgR2 · θ · θ+mgr · θ · θ].

化簡，得[θ+gRθ=0]，即為簡諧振動的微分方程.

五、模型的求解

從簡諧振動的微分方程[x+glx=0]與[θ+gRθ=0]我們可以看到，通過合理的近似計算，從不同的角度得到了相同的表達式. 解決微分方程[x+glx=0]與[θ+][gRθ=0]是高中生的一個困難. 從學生已有認知出發(fā)，引導學生對[fx=Acosωx+φ]和[fx=Asinωx+φ]求n階導數(shù)，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

學生發(fā)現(xiàn)[fx=Acosωx+φ]和[fx=Asinωx+φ]會出現(xiàn)周期性的變化，每求導兩次，除去系數(shù)外會重復出現(xiàn)[cosωx+φ，sinωx+φ]，所以利用[fx=]

[Acosωx+φ]或[fx=Asinωx+φ]可以求解微分方程[x+glx=0]與[θ+gRθ=0].

選擇[fx=Acosωx+φ]帶入微分方程[x+glx=0]和[θ+gRθ=0]中，得到[x=Acosωt+φ]，其中，由[ω=gl]三角函數(shù)的周期求法可以求出單擺的周期[T=2πl(wèi)g]. 解的物理意義很明確，A是最大振幅，ω是角速度，φ是初相角.

六、小結(jié)

這是一次數(shù)學與物理的融合課，將數(shù)學與物理進行了有效銜接，將物理課程中能作以解釋的結(jié)果通過數(shù)學建模的方式展現(xiàn)給學生. 在推導單擺的周期公式的過程中，充分利用了三角函數(shù)的工具性作用，將重要的不等式[sinα<α<tanα0<α<π2]融入研究單擺的近似計算過程中，有效融合了物理與數(shù)學的學科知識. 從學生的反應來看，他們感覺到非常神奇，一個通過物理實驗得到的結(jié)論居然可以通過數(shù)學建模進行數(shù)學化推理與證明. 雖然在推導過程中采用了近似計算方法，看似不是很精確，但是這正是微積分的“威力”所在. 利用兩種方法進行推導的過程，最終揭示了單擺的周期 T 與擺動角度 θ 是無關的，因而該公式即為理論推導結(jié)果. 至此，學生才真正理解單擺的周期公式是怎樣推導出來的. 當學生看到簡諧振動的微分方程[x+glx=0]與[θ+gRθ=0]時，流露出非常驚訝的表情，這兩個表達式完全相同，而建模的角度不同，從中可以體會到數(shù)學的簡潔之美和揭示事物本質(zhì)的功能，啟迪學生深入理解數(shù)學在物理及其他學科和生活中的廣泛應用，從中體會到了數(shù)學與物理之間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學生的理性思維和科學精神.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］中華人民共和國教育部. 普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.