基于隨機場模型的土石壩失效概率分析研究進展

摘 要：土石壩內部巖土體物理力學參數具有較強的空間變異性，隨機場模型能夠通過科學的方法對其進行準確建模和失效概率分析，有助于更好地評估大壩滲流、穩定和抗震性能?；仡櫫穗S機場模型的相關理論，總結了以往研究中常用的協方差和自相關函數，介紹了7種隨機場模型的生成方法及其優缺點，并對隨機場統計特征的含義進行了說明。從滲流、穩定、靜力和動力分析4個方面綜述了隨機場模型在土石壩失效概率分析中的國內外應用實例，包括獲取更準確的滲流、穩定和靜動力計算結果，分析土石壩材料參數的敏感性，以及對于參數反演問題和建立大壩監控模型等方面的重要作用。未來的研究包括考慮非達西滲流、三維精細化建模以及應用新的采樣技術等。相關成果可為基于隨機場模型的土石壩失效概率分析研究提供參考。

關鍵詞：隨機場；土石壩；空間變異性；失效概率分析

中圖分類號：TV41 文獻標識碼：A 文章編號：1001-9235（2024）10-0114-10

Research Progress on Failure Probability Analysis of Earth-Rockfill Dams Based onRandom Field Models

WANG Wei， LIAO Zhihao， LIAO Jielin

（Guangzhou Pearl Institute Engineering Survey and Design Co.， Ltd.， Guangzhou 510610， China）

Abstract： The physical and mechanical parameters of rock and soil inside earth-rockfill dams have strong spatial variability. Random field models can accurately model and analyze failure probability through scientific methods， which helps to better evaluate dam seepage， stability， and seismic performance. This paper reviewed relevant theories of random field models， summarized commonly used covariance and autocorrelation functions in previous research， introduced se0ba63abc964c3cad56a91b0e9e0a6ec4ea9b78ce09d1be7dcdcffd3592bd957bven methods for generating random field models and their advantages and disadvantages， and explained the meaning of random field statistical characteristics. This paper summarized domestic and international application examples of random field models in failure probability analysis of earth-rockfill dams from four aspects： seepage， stability， static， and dynamic analysis， including obtaining more accurate seepage， stability， and static dynamic calculation results， analyzing the sensitivity of material parameters of earth-rockfill dams， and playing an important role in parameter inversion problems and establishing dam monitoring models. Future research includes considering non-Darcy flow， 3D fine modeling， and applying new sampling techniques. The relevant achievements can provide a reference for the failure probability analysis of earth-rockfill dams based on random field models.

Keywords： random field; earth-rockfill dam; spatial variability; failure probability analysis

土石壩是世界上應用最廣泛的一類壩型，具有適應性強、施工周期短、建設成本低等優點。受多種因素的綜合影響，土石壩內部巖土體物理力學參數具有較強的空間變異性［1］。首先，地質構造、巖石類型和成因等因素會影響巖土體內部的結構和性質，導致其非均質化。其次，巖土體在沉積過程中受到水流、風化、侵蝕等自然力的作用，會導致不同深度的土層性質差異。同時，巖土體還會受到外界荷載的作用而發生變形，導致內部結構的變化。最后，在工程施工中，開挖回填也會導致巖土體結構受到干擾和變形。通過科學的方法對土石壩空間變異性進行準確建模和失效概率分析，有助于更好地評估土石壩的滲流、穩定和抗震性能。

隨機場模型作為一種有效的數學工具，已經被廣泛應用于土石壩工程的失效概率分析研究中［2］。隨機場模型可以通過對材料參數（如滲透系數、抗剪強度、內摩擦角等）進行隨機建模來描述土石壩的材料性質和空間變異特性，結合蒙特卡洛模擬分析滲流、穩定及靜動力響應等指標的敏感性和概率分布，確定關鍵參數和敏感區域，有助于識別潛在的破壞機制和可能導致大壩安全問題的因素，評估不同概率水平下土石壩的失效風險［3-5］，從而制定相應的風險管理策略。此外，通過對材料參數進行隨機場模擬，還可以生成多個可能的大壩運行場景，并對建筑物的性態進行模擬和預測，進而指導監測和改進土石壩的控制措施。

隨機場模型的引入為土石壩工程領域帶來了新的研究思路和方法，促進了土石壩數值計算的技術創新，推動了行業的進步和發展。本文總結了隨機場模型的相關理論，綜述了隨機場模型在大壩滲流、穩定、靜力和動力分析中的應用，展望了未來隨機場在土石壩失效概率分析中的研究方向，旨在為土石壩失效概率分析研究提供全面參考，促進土石壩工程的安全設計和可靠運行。

1 隨機場理論概述

1. 1 隨機場的定義

隨機場是概率論和統計學中的一個重要概念，用于描述具有空間或時間相關性的隨機變量的集合，它可以被視為在空間或時間上分布的一組隨機變量［6］。由樣本空間Ω={0，1，. . .，G- 1}n取樣構成的隨機變量Xi所組成的S={X1，. . .，Xn}，若對所有的ω∈Ω，π（ω） > 0均成立，則稱π為1個隨機場。

對于離散的隨機場，假設存在一個由離散隨機變量組成的集合或格點網絡，每個隨機變量都與某個格點相關聯，這些隨機變量在不同的格點上服從不同的概率分布，并且彼此之間可能存在相關性［7］。對于連續的隨機場，考慮定義在連續空間或時間域上的隨機變量集合，通常使用概率密度函數來描述隨機場的概率分布，并通過相關函數（如協方差函數）來描述不同位置之間的相關性［8］。土石壩工程中的巖土體材料參數如土層強度、密實度、滲透系數等通常具有空間變異性，即在空間上存在不規則的變化。隨機場模型可以用來描述這種變異性的規律，幫助工程師了解不同位置處材料性質的差異，從而更準確地評估工程風險。

1. 2 空間相關性

空間相關性是指在空間中相鄰位置的隨機變量之間存在某種關聯或依賴關系，當一個位置的隨機變量值發生改變時，其附近位置的隨機變量值也可能發生相應的變化［9-10］。在土石壩工程中，如果巖土材料參數在空間上具有較強的相關性，那么意味著相鄰位置的材料性質可能會有較大的相似性。在隨機場模型中，空間相關性通常通過相關函數來描述，相關函數衡量了不同位置之間的相似性或相關程度，常見的相關函數包括協方差函數和自相關函數。

協方差函數表示兩個位置隨機變量之間的協方差與它們各自方差之間的比例關系。當協方差函數的值大于零時，表示2個位置之間存在正相關性；當協方差函數的值小于零時，表示2個位置之間存在負相關性；當協方差函數的值等于零時，表示2個位置之間不存在線性關系［11］。隨機場常用協方差函數及特點見表1。

自相關函數衡量了一個位置上隨機變量與該位置周圍其他位置隨機變量之間的相關性，通常表現為隨距離增加而遞減的趨勢，即距離越遠，相關性越低［12］。隨機場常用自相關函數及其特點見表2。

1. 3 隨機場模型的生成

1. 3. 1 旋轉帶法

旋轉帶法用于生成具有平穩空間相關性的隨機場，其基本思想是將二維或三維空間劃分為一系列旋轉的帶狀區域，然后在每個帶狀區域內生成相互獨立且具有平穩空間相關性的隨機變量［13-14］。在生成隨機變量時，可以利用傅里葉變換將空間相關性轉化為頻率相關性，然后通過設定頻譜密度函數來控制空間相關性的特征［15-17］。旋轉帶法的優點是計算效率較高，然而，對于非平穩空間相關性和復雜空間結構的情況，效果可能不理想。

1. 3. 2 譜方法

譜方法是一種基于頻域分析的數值計算方法，常用于解決偏微分方程、信號處理和隨機過程等問題［18-20］。該方法利用傅里葉變換或其他相關變換將問題從時域或空域轉換到頻域，通過對頻率成分進行分析和處理，得到問題的解或近似解，可以用于生成具有所需空間相關性的隨機場［21-22］。譜方法生成隨機場具有多種優勢，包括精度高、易于實現并行計算和可擴展性強等，然而，譜方法僅適用于具有平穩空間相關性的隨機場。

1. 3. 3 矩陣分解法

矩陣分解法使用一組基函數來表示所需隨機場，通過擬合樣本數據，可以計算出每個基函數的系數，使用所選擇的概率分布函數生成隨機變量，將生成的隨機變量與基函數的系數相乘并求和，即可得到所需隨機場的一個實現［23-24］。矩陣分解法是一種基于矩陣運算的數值方法，其算法實現相對簡單，易于應用和擴展，缺點是只能處理具有簡單空間相關性的隨機場［25-26］。

1. 3. 4 Karhunen-Loeve展開法

Karhunen-Loeve展開法基于隨機場的統計特性，使用已知樣本數據或一些經驗數據，計算隨機場的協方差函數或自相關函數，對其進行特征分解得到一組特征值和對應的特征函數，根據特征值的大小選擇保留最重要的特征，生成一組獨立同分布的正態隨機變量，將生成的隨機變量與保留的特征函數相乘并求和，即可得到所需隨機場的一個實現［27-30］。Karhunen-Loeve展開法的優勢在于它能夠提供一種有效的降維技術，可以通過保留較少數量的特征來近似描述整個隨機場，提高隨機場生成的效率。然而，該方法通常假設隨機場服從高斯分布，對于非高斯分布或復雜空間相關性的隨機場效果不佳［25，31］。

1. 3. 5 移動平均法

移動平均法通過使用1個窗口在樣本數據上滑動，從第一個位置開始，計算窗口內數據的平均值，并將其作為生成的隨機場的一個實現［32-35］。然后，向右移動窗口，重復此過程，直到覆蓋整個空間。窗口大小決定了空間相關性的尺度，較小的窗口會產生更細節化和局部化的隨機場，而較大的窗口會產生平滑且整體性較強的隨機場。移動平均法生成的隨機場具有平滑的特性，然而，在應用中需要注意邊界效應和長度相關性的限制。

1. 3. 6 序貫模擬法

序貫模擬法基于模擬樣本路徑的思想，在空間范圍上設置一些采樣點，作為樣本路徑的起點，確定樣本路徑在空間中的前進方向。依次沿著樣本路徑方向，根據已知的樣本數據和空間相關性，模擬出每個采樣點處的隨機場值。通過調整樣本路徑和參數設置，可以獲得不同尺度、形態和相關性的隨機場實現［36-38］。序貫模擬法的優勢是可以用于模擬一些非線性或非高斯分布的隨機場，然而在計算過程中可能存在計算量大、計算時間長等問題。

1. 3. 7 局部平均法

局部平均法通過在空間范圍上創建一個初始的規則網格，計算每個網格點周圍鄰居點的隨機場平均值，作為該點的局部平均值，將初始網格細分為更小的網格，計算每個新網格點處的局部平均值，通過不斷地細分網格和計算局部平均值，生成具有不同尺度和空間相關性的隨機場［39-41］。局部平均法在邊界處可能存在一些偏差，因為在邊界上沒有足夠的鄰居點進行平均計算。此外，網格細分的程度和細分算法的選擇會影響生成隨機場的精細程度和準確性。

在進行土石壩失效概率分析時，選擇合適的隨機場生成方法是1個綜合性問題，需要結合數據特性、計算復雜度、精度要求等多方面考慮?？筛鶕こ虒嶋H需求和可接受的計算復雜度，在精度和計算效率之間進行權衡，選擇適當的隨機場生成方法，達到事半功倍的效果。

1. 4 隨機場的統計特性

隨機場的統計特性是指描述和表征隨機場性質的一組統計量或屬性，包括均值、變異系數、相關距離、概率分布等［42］。在土石壩工程中，隨機場的均值是指巖土材料參數在每個空間位置上的平均值，是進行工程設計和分析的基礎。隨機場的變異系數代表了巖土材料參數的離散程度相對于其均值的大小，反映了材料性質在空間上的不均勻性。隨機場相關距離是描述巖土材料參數空間相關性的尺度，它表示在一定距離內，巖土體性質之間的相關性較高，超過該距離后相關性逐漸減弱至接近零［43］。隨機場的概率分布描述了巖土材料參數值出現的頻率和可能性，常見的概率分布包括正態分布、對數正態分布等。

1. 5 土石壩工程中隨機場模型參數的選取

選擇合適的隨機場模型參數對于土石壩失效概率分析至關重要。首先，需要收集與工程相關的地質勘探數據，通過對這些數據的分析，了解巖土體性質的空間變異性和相關性，包括均值、變異系數、相關距離等信息。然后，根據數據分析的結果，選擇適合描述巖土體性質空間變異性的概率分布函數。最后，建立數值模型，根據實際監測數據驗證所選參數的準確性和適用性。確定隨機場模型參數是一項復雜的任務，在實際工程中往往無法獲取足夠和高質量的地質勘探數據，無疑會增加模型建立的難度，可以借助工程類比、專家咨詢或相關文獻資料等資源，進行綜合分析和判斷，以選擇最合適的隨機場模型參數。

2 隨機場模型在土石壩失效概率分析中的應用

土石壩工程受到材料參數空間變異性等不確定因素的影響，隨機場模型能夠綜合考慮這些不確定性，通過概率分析得到不同條件下的水力坡降、穩定性指標、應力響應、振動響應等概率分布特性，有助于工程師更全面地了解土石壩在不同情況下的行為特性，從而指導工程設計和管理決策。近年來，國內外學者基于隨機場模型在土石壩滲流穩定和靜動力分析方面進行了大量研究，部分研究實例總結見表3。

2. 1 滲流分析

使用隨機場模型來考慮土石壩滲流參數的空間變異性和隨機性，可以獲取更準確的滲流預測結果。例如，黃偉杰等［5］為探究某超高心墻堆石壩防滲材料空間變異性對滲流安全的影響，建立了隨機滲流分析模型，對大壩滲透系數進行空間離散，系統研究了滲流控制指標的演變規律，發現忽略防滲體的空間變異性會高估大壩的滲流安全狀態。

隨機場模型還可以用于分析土石壩滲流參數的敏感性，并識別對滲流響應量貢獻最大的關鍵參數。例如，Tan等［44］采用van Genuchten模型描述堤壩材料的土水特征曲線，通過矩陣分解法生成水力參數的對數正態隨機場，研究了不同水力參數變異性和相關性對堤壩滲流量的影響，結果發現相較于van Genuchten模型擬合參數，飽和滲透系數的變異性對滲流量有更顯著的影響。

自相關函數衡量了土石壩滲流參數的空間變化，選擇合適的函數形式對于隨機滲流分析至關重要。例如，Liu等［45］采用隨機有限元法研究了自相關函數類型對堤壩滲流的影響，發現平方指數型自相關函數對于滲流量的計算結果更偏保守，而單指數型自相關函數對于水力梯度的計算結果更偏保守。

傳統平穩隨機場假設整個研究區域的材料參數統計特征是恒定的，忽略了巖土參數的各向異性。為克服這一缺陷，一些學者考慮工程實測數據，使用參數均值隨深度變化的條件隨機場或非平穩隨機場來描述土石壩構造的空間變異性。例如，Chi等［46］比較了經典平穩隨機場，條件隨機場和非平穩隨機場對土石壩滲流概率分析結果的影響，發現不同滲透系數隨機場的滲流分析結果存在一定差異，穩定隨機場分析結果的離散度最大，條件隨機場分析結果的離散度最小，這種差異對于流速最為顯著，其次是水力梯度，對于孔隙壓力不太顯著。

2. 2 穩定分析

土石壩邊坡失穩是其重要破壞模式之一，傳統的確定性分析方法沒有合理考慮參數空間變異性，計算結果往往偏離客觀實際，概率分析能夠有效克服這一缺陷。例如，肖金紅等［50］以安全系數和失效概率為評價指標，考慮土石壩材料的空間變異性，建立隨機場模型對其邊坡穩定進行概率分析，發現與確定性分析相比，土石壩安全系數降低，失效概率提高，邊坡穩定性分析結果更加合理。

隨機場模型還可以用于分析土石壩邊坡穩定參數的敏感性，并識別對邊坡失穩影響最大的關鍵參數。例如，為了有效分析考慮空間變異性的土石壩邊坡穩定問題，蔣水華等［51］發展了土石壩邊坡可靠度非侵入式隨機分析方法，并通過參數敏感性分析探討了飽和滲透系數、黏聚力及內摩擦角變異性對土石壩邊坡穩定的影響，研究發現土石壩邊坡失效概率與3個參數的變異系數之間呈正相關，其中黏聚力變異性的影響最顯著，飽和滲透系數變異性的影響最不顯著。

土石壩邊坡的可靠度分析通常需要進行大量的數值計算，這些計算非常耗時，采用代理模型可以通過對原始模型進行合理的簡化和逼近，從而顯著減少計算量，提高計算效率。例如，鄧志平等［52］為準確高效地開展小失效概率的邊坡可靠度分析，在考慮材料參數空間變異性的前提下，提出了一種基于分段逆回歸的主動學習多元自適應回歸樣條法與子集模擬結合的邊坡可靠度分析方法，不僅增加了計算結果的精確度，而且避免了內存溢出情況。

土石壩材料參數的空間變異性在水平方向和垂直方向上的差異顯著，將土性參數的空間分布模擬為各向異性隨機場，可以得到更為精確的計算結果。例如，舒蘇荀等［53］利用各向異性隨機場模擬土性參數的空間變異性，將有限元法和蒙特卡洛模擬相結合，計算各參數組合對應的可靠度指標，發現與水平方向的空間變異性相比，垂直方向的空間變異性對邊坡可靠度的影響更為顯著。

2. 3 靜力分析

材料參數的空間變異性會導致土石壩體內部的應力和變形分布具有差異性，考慮空間變異性可以更真實地模擬土石壩的實際情況，提高靜力計算結果的準確性。例如，Chen等［55］通過大規模三軸試驗，確定了大壩壓實質量與Duncan-Chang本構模型參數的定量關系，并基于這種發展關系，得到力學參數的約束隨機場進行有限元靜力計算，發現考慮土體材料的空間變異性能夠得到更接近實際情況的應力和變形計算結果。

合理定義隨機場模型的統計特征是獲得準確計算結果的前提，然而土石壩材料參數的實測數據往往較難獲取，反分析是解決這一問題的有效手段。例如，楊杰等［56］將相關向量機與隨機有限元相結合， 對面板堆石壩材料參數的變異系數進行不確定性反分析，通過對面板堆石壩應用實例進行計算，證明所建立的不確定性反分析模型綜合考慮了數值計算以及輸入-輸出間的不確定性，可快速、精確地確定筑壩材料參數的變異系數。

隨機場模型還可以用于分析土石壩靜力學參數的敏感性，并識別對大壩應力和變形影響最大的關鍵參數。例如，Chi等［57］根據原位監測值確定土壤干密度的自相關距離和分布函數，利用三軸試驗結果建立干密度與Duncan E-B模型參數之間的回歸函數，根據干密度分布函數和回歸函數確定E-B模型參數的累積分布函數，并采用等概率變換方法建立土壤參數隨機場進行土石壩靜力計算，并討論了E-B模型參數的敏感性，發現Kb對隨機有限元計算結果的影響最大，Rf對隨機有限元計算結果的影響最小。

土石壩安全監控模型能夠通過分析監測數據，準確預測大壩力學性態，為大壩安全評價提供參考，隨機場模型在該領域也被廣泛應用。例如，Ran等［58］為進一步提高大壩監控模型的預測精度，增強監控指標確定方法的合理性，考慮堆石材料空間變異性對大壩位移的影響，基于隨機有限元法建立了一種新的堆石壩位移監控混合模型，提出了一種多指標合并的堆石壩位移監控混合指標確定方法，實例分析表明所提模型和指標確定方法科學合理且精度顯著提高。

2. 4 動力分析

地震是土石壩安全性評估的重要因素之一，考慮空間變異性對于大壩地震響應特性的分析和抗震設計具有重要意義。例如，Chen等［59］以某100 m高的土石壩為例，考慮填土質量密度、楊氏模量和抗拉強度的非均質性，采用隨機有限元方法進行動力響應計算，研究了土石壩地震響應與材料參數具體空間分布的關系，研究結果證實了在土石壩地震評估中考慮填料參數空間變異性的重要性。

隨機場模型還可以用于分析土石壩動力學參數的敏感性，并識別對大壩動力響應影響最大的關鍵參數。羅博華等［60］將空間隨機場模擬技術與有限元方法相結合，選取土石壩動力隨機參數進行敏感性分析，研究發現對加速度放大系數而言，阻尼比隨剪應變變化的參數、最大動剪切模量的參數和最大阻尼比的敏感性較高，對計算結果影響顯著；對永久變形而言，阻尼比隨剪應變變化的參數、最大動剪切模量隨圍壓變化的參數和泊松比的敏感性較高。

除了土石壩體本身，覆蓋層土體類型復雜，結構松散，有時存在透鏡體，材料參數同樣具有較強的空間變異性，地震作用下對壩基防滲墻應力變形的影響引起了許多學者的重視。例如，Song等［61］考慮覆蓋層材料參數的空間變異性和相關性，研究了靜力和動力參數隨機性對瀝青心墻壩地震響應的影響，發現材料參數的空間變異性對峰值加速度的影響大于對大壩永久變形的影響，且覆蓋層響應的離散度大于壩體和瀝青心墻。

3 結論與展望

隨機場模型可以通過對材料參數進行隨機建模來描述土石壩的空間變異特性，從而獲取更準確的滲流穩定和靜動力計算結果，還可以用于分析土石壩材料參數的敏感性，識別對大壩響應影響最大的關鍵參數，此外，對于解決參數反分析問題和建立大壩監控模型也起到了至關重要的作用。在利用隨機場模型進行土石壩概率分析的領域，盡管國內外學者已經進行了大量研究并取得了顯著成果，但仍存在諸多不足之處，可以考慮從以下3個方面開展未來的研究。

a）在土石壩滲流概率分析中，以前的大多數研究都是基于層流和達西定律的假設，然而，土石壩在使用過程中會受到荷載、水位、地震等多種因素的影響，壩體可能會發生變形和裂隙發育，這些因素會導致壩體的滲透性發生改變，從而使滲流規律與達西定律不一致。對于未來的研究，可以考慮非達西流的假設，通過孔隙度和土壤顆粒直徑等變量的隨機性來進行非達西滲流的概率分析。

b）土石壩失效概率分析往往基于二維隨機場，忽視了三維效應的影響，常規計算機算力不足是導致這一問題的主要原因。隨著硬件設施水平的不斷提高，在未來有必要考慮土石壩失效概率分析的三維精細化建模，與二維分析相比，其能夠更加準確地描述土石壩的實際行為，提高分析的準確性和可靠性。

c）傳統的采樣方法，如簡單的隨機采樣和分層采樣，在處理復雜系統或高維空間時往往是無效和不準確的。新采樣技術的發展，例如重要性采樣、自適應抑制采樣和馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法可以更有效地探索參數空間，更準確地進行期望值預測。除了提高精度外，新的采樣技術還大大提高了精細化建模的可能性。因此，在未來的研究中，有必要結合新的采樣技術進行土石壩失效概率分析。

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