高中數(shù)學(xué)美育的實(shí)踐研究

摘要：隨著全面育人政策的推進(jìn)，學(xué)校美育工作的開展受到越來越多的關(guān)注.本文從數(shù)學(xué)美的分類出發(fā)，以復(fù)數(shù)為例，分析了高中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)美具有簡潔、和諧和奇異等特點(diǎn)，并基于“復(fù)數(shù)的概念”的教學(xué)實(shí)踐，探究了高中數(shù)學(xué)美育的實(shí)施路徑.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)美育；核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)美

中華人民共和國教育部發(fā)布的《教育部關(guān)于全面實(shí)施學(xué)校美育浸潤行動(dòng)的通知》指出：“將美育融入教育教學(xué)活動(dòng)各環(huán)節(jié)，潛移默化地彰顯育人實(shí)效，實(shí)現(xiàn)提升審美素養(yǎng)、陶冶情操、溫潤心靈、激發(fā)創(chuàng)新創(chuàng)造活力的功能.”美育的追求是促進(jìn)個(gè)體情感生命的成長，提升個(gè)體的審美素養(yǎng)和能力.［1］新時(shí)代背景下，學(xué)科美育和數(shù)學(xué)本身的美學(xué)特質(zhì)受到越來越多的關(guān)注，數(shù)學(xué)教育不再僅僅是智育的手段，更是美育的良好載體.數(shù)學(xué)美育本質(zhì)上是一種以數(shù)學(xué)中的美為載體的文化教育，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美情趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力和創(chuàng)造能力.數(shù)學(xué)美育不僅能增加學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)知識(shí)密不可分，學(xué)生的核心素養(yǎng)是在學(xué)習(xí)知識(shí)、理解知識(shí)和應(yīng)用知識(shí)的過程中培育的.從這個(gè)意義上說，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透美育有利于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.數(shù)學(xué)教育家張奠宙以“真、善、美”的視角來研究核心素養(yǎng)，認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升和培育是在欣賞數(shù)學(xué)智慧之“美”的過程中完成的.［2］那么如何才能將數(shù)學(xué)美育落到實(shí)處，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)、欣賞、品味數(shù)學(xué)之美？本文以 “復(fù)數(shù)的概念”為例，談?wù)剬?duì)這個(gè)問題的思考.

1高中數(shù)學(xué)美的內(nèi)涵分析

無論是從形式還是內(nèi)容來看，數(shù)學(xué)美都具有簡潔、統(tǒng)一（和諧）、對(duì)稱、整齊、奇異與思辨性等基本特征.［3］為把數(shù)學(xué)美育功能真正落實(shí)在中小學(xué)的數(shù)學(xué)課堂上，張奠宙把數(shù)學(xué)美育分為美觀、美好、美妙、完美四個(gè)層次.［4］彰顯數(shù)學(xué)美的復(fù)數(shù)概念教學(xué)正是體現(xiàn)這四個(gè)層次的有效載體，其特性具體表現(xiàn)為簡潔性、和諧性、奇異性.

1.1簡潔性

數(shù)學(xué)美的簡潔性是指數(shù)學(xué)的抽象性、概括性和統(tǒng)一性.由于數(shù)學(xué)具有抽象性和統(tǒng)一性的特點(diǎn)，所以其結(jié)構(gòu)、方法、形式應(yīng)當(dāng)是簡潔的、凝練的.［5］高中數(shù)學(xué)的簡潔性主要表現(xiàn)為符號(hào)美和統(tǒng)一美.

數(shù)學(xué)符號(hào)之所以美，在于它們的簡潔性和表達(dá)力.數(shù)學(xué)符號(hào)能夠準(zhǔn)確地傳達(dá)復(fù)雜的概念和關(guān)系，不需要冗長的文字描述，如復(fù)數(shù)的代數(shù)、坐標(biāo)和三角形式分別從以下三個(gè)角度描繪了復(fù)數(shù)的特征：①通過z=a+bi可判斷該復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的位置；②通過z=（x，y）的坐標(biāo)形式可以使學(xué)生類比向量坐標(biāo)來進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算；③通過z=r（cosθ+isiNWtW7S44aKxkwxTuW8kxUk5L7syo7lg3gzqtSAOqAk0=nθ）則可以直接看出復(fù)數(shù)的輻角.同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象在不同的符號(hào)表示下能展現(xiàn)出“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的美感.

數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用，其原因在于數(shù)學(xué)的思想、方法和結(jié)論具有“放之四海而皆準(zhǔn)”的特點(diǎn).追求統(tǒng)一是數(shù)學(xué)的主要特征，由于數(shù)學(xué)具有高度抽象性，所以根據(jù)數(shù)學(xué)法則可以邏輯清晰地推出多個(gè)結(jié)論，但數(shù)學(xué)不是全部正確結(jié)論的堆砌.事實(shí)上，數(shù)學(xué)中的等式、法則、定理等所有對(duì)象都是統(tǒng)一體.高中數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美主要體現(xiàn)在知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法的統(tǒng)一，如復(fù)數(shù)的引入把自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)和實(shí)數(shù)統(tǒng)一起來，也把三角函數(shù)、向量統(tǒng)一起來；坐標(biāo)法的出現(xiàn)把幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)統(tǒng)一起來；用平面去截一對(duì)對(duì)頂圓錐的結(jié)果是把拋物線、雙曲線和橢圓統(tǒng)一起來.

1.2和諧性

美是和諧的，和諧性也是數(shù)學(xué)美的特征之一.高中數(shù)學(xué)中的和諧性主要體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)與形式上，多以對(duì)稱美、和諧美的形式顯現(xiàn).

對(duì)稱美是學(xué)生最容易感悟到的一種數(shù)學(xué)美，數(shù)學(xué)中的對(duì)稱通常是指數(shù)學(xué)符號(hào)、代數(shù)式或圖形中某個(gè)點(diǎn)、線或平面，在大小、形狀和排列上具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，如復(fù)數(shù)z=a+bi與其共軛復(fù)數(shù)z=a-bi不僅在代數(shù)式形式上具有對(duì)稱的美感，在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和向量在“形”上也體現(xiàn)出關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的美感.

數(shù)學(xué)的和諧美，指的是數(shù)學(xué)的雅致、嚴(yán)謹(jǐn)或形式結(jié)構(gòu)的相容性.從數(shù)學(xué)的角度看，雅致研究的是數(shù)學(xué)中不同部分的協(xié)調(diào)一致，如復(fù)數(shù)系對(duì)實(shí)數(shù)系運(yùn)算律的“兼容”、歐拉恒等式對(duì)自然對(duì)數(shù)、圓周率、虛數(shù)、0和1這五個(gè)不同領(lǐng)域中的數(shù)的統(tǒng)一等.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下不僅能夠體會(huì)復(fù)數(shù)的和諧美，也能從中感受到數(shù)學(xué)的雅致.

1.3奇異性

英國科學(xué)家培根（R.Bacon）曾經(jīng)說：“美在于奇特而令人驚異.”在數(shù)學(xué)中，奇異美意味著發(fā)現(xiàn)一種出乎意料，但又在情理之中的新結(jié)構(gòu)、新關(guān)系或新現(xiàn)象，在人們心靈深處產(chǎn)生愉悅，讓人感到新穎、奇特.數(shù)學(xué)中的奇異美往往存在于司空見慣而不加注意的地方，如復(fù)數(shù)運(yùn)算中，學(xué)生會(huì)類比實(shí)數(shù)乘法，從代數(shù)的角度去理解復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.但只要從形的角度理解乘法，就能產(chǎn)生新穎的感受.瑞士數(shù)學(xué)家阿爾岡（J.Argand）在《幾何作圖中虛數(shù)的表示法》中把實(shí)數(shù)乘法看作是數(shù)軸上點(diǎn)的變動(dòng)［6］，如1×（-1）=-1的結(jié)果等同于數(shù)軸上“1”對(duì)應(yīng)的點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，（-1）×（-1）=1的結(jié)果等同于“-1”對(duì)應(yīng)的點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°.既然實(shí)數(shù)乘“-1”的結(jié)果是數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，那么乘以“-1”的平方根i，結(jié)果就應(yīng)該是對(duì)應(yīng)點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，復(fù)數(shù)乘法的幾何意義就可以理解為復(fù)數(shù)的伸縮、旋轉(zhuǎn)變換.教學(xué)時(shí)使用幾何畫板將這個(gè)過程動(dòng)態(tài)展示出來，學(xué)生可以體會(huì)到奇異美，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

2彰顯數(shù)學(xué)美的教學(xué)實(shí)踐

復(fù)數(shù)理論誕生于解方程的需要，在流體力學(xué)、信號(hào)分析等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.復(fù)數(shù)既是學(xué)生深入學(xué)習(xí)其他知識(shí)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的重要工具.教學(xué)中，教師以邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展為目標(biāo)，以幾何畫板為教具，以直觀的幾何圖形為載體，引導(dǎo)學(xué)生欣賞點(diǎn)在數(shù)軸上移動(dòng)或旋轉(zhuǎn)中所展現(xiàn)出的奇異美、對(duì)稱美，在形成虛數(shù)概念的同時(shí)提高審美素養(yǎng)，在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的不同表示形式時(shí)欣賞復(fù)數(shù)的符號(hào)美、簡潔美、統(tǒng)一美，掌握核心概念和關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，發(fā)展核心素養(yǎng).

2.1復(fù)數(shù)尋蹤，培養(yǎng)理性精神

解方程的歷史最早可以追溯到古希臘時(shí)期，但人們?cè)谇蠼舛巍⑷畏匠踢^程中遇到負(fù)數(shù)開方時(shí)，通常認(rèn)為方程無解.16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（G.Cardano）在解三次方程時(shí)第一次用到虛數(shù)，但直到18世紀(jì)挪威數(shù)學(xué)家韋塞爾（C.Wessel）給出復(fù)數(shù)的幾何意義后，虛數(shù)才被人們接納.復(fù)數(shù)的產(chǎn)生經(jīng)歷了一個(gè)漫長而曲折的過程，復(fù)數(shù)的發(fā)展史體現(xiàn)出數(shù)學(xué)家們不屈不撓、精益求精的探索精神，也呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)理性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿?教師在教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史來引入復(fù)數(shù)概念，把數(shù)學(xué)家曾遇到過的問題呈現(xiàn)給學(xué)生.

問題求解x3=15x+4，用一元三次方程的求根公式得到三個(gè)根為x=-2±3和x=32+-121+32--121，用因式分解法得到方程的三個(gè)根為x=-2±3和x=4，于是32+-121+32--121=4，從而-121應(yīng)該是有意義的，而我們知道負(fù)數(shù)不能開平方，那么-1是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】教師在引入環(huán)節(jié)中簡短回顧復(fù)數(shù)發(fā)展史上的幾個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，通過提問引起學(xué)生認(rèn)知沖突，為引入復(fù)數(shù)做好鋪墊，讓學(xué)生理解引入復(fù)數(shù)的必要性和重要性，感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、和諧之美.

2.2化靜為動(dòng)，體會(huì)奇異之美

在教學(xué)中，教師使用幾何畫板展示兩數(shù)相加、相乘時(shí)數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化過程，在展示1×（-1）、2×（-1）的過程中，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的對(duì)稱美.

問題1以前我們處理兩個(gè)數(shù)相乘時(shí)，都是從代數(shù)的角度去觀察、思考的，經(jīng)過剛才的觀察，我們發(fā)現(xiàn)，實(shí)數(shù)乘法的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，數(shù)學(xué)之妙真是讓人驚嘆不已.在1×（-1）的運(yùn)算中，1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是怎樣運(yùn)動(dòng)的？點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡有什么特點(diǎn)？你能從這種點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)中找到實(shí)數(shù)1×-1的結(jié)果嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過幾何畫板展示乘法的幾何意義后，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生驚奇、新穎的感受，體會(huì)到數(shù)學(xué)的奇異美和點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡展現(xiàn)出的對(duì)稱美.類比實(shí)數(shù)乘“-1”是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，學(xué)生能想到1×-1的結(jié)果是“1”對(duì)應(yīng)的點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，從而發(fā)展了自身的邏輯推理素養(yǎng).

問題2從幾何角度看，實(shí)數(shù)乘-1對(duì)應(yīng)一個(gè)90°的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，結(jié)果是點(diǎn)離開了數(shù)軸，由于這個(gè)構(gòu)造較奇怪，就說-1是一個(gè)虛數(shù)，并稱其為虛數(shù)單位i.你能將2i、3i、-i、-2i表示出來嗎？以此類推，設(shè)b為任意實(shí)數(shù)，可以將bi表示出來嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過思考，將抽象的虛數(shù)bi用幾何的方式直觀表示出來，得到虛軸，并與實(shí)軸形成復(fù)平面.學(xué)生借助幾何直觀感知i的存在，利用圖形來理解虛數(shù)i的意義，不僅能發(fā)展直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)，也能增強(qiáng)奇異美的感受.

2.3借助直觀，感受對(duì)稱之美

數(shù)軸和虛軸共同構(gòu)成一個(gè)復(fù)平面，同平面直角坐標(biāo)系一樣，復(fù)平面中每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)數(shù)，反之，所有的復(fù)數(shù)都定義復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)，從而平面上的點(diǎn)全都變成了數(shù).

教師：把實(shí)數(shù)軸和虛數(shù)軸構(gòu)成的平面稱為復(fù)平面，復(fù)平面中的點(diǎn)可以用實(shí)軸上的數(shù)a和虛軸上的數(shù)bi來表示，記作a+bi，把形如a+bi的數(shù)叫作復(fù)數(shù)，a與b分別叫作復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.b≠0時(shí)，它叫作虛數(shù)；a=0且b≠0時(shí)，它叫作純虛數(shù).

問題1復(fù)數(shù)z什么時(shí)候表示實(shí)數(shù)？什么時(shí)候z=0？全體實(shí)數(shù)R構(gòu)成的集合叫作實(shí)數(shù)集，全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a，b∈R}可以叫作復(fù)數(shù)集，復(fù)數(shù)集和實(shí)數(shù)集有什么關(guān)系？你能用文氏圖表示學(xué)過的所有數(shù)集之間的關(guān)系嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)數(shù)是中學(xué)階段學(xué)習(xí)的兼容性最好的數(shù)系，自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集和實(shí)數(shù)集都是復(fù)數(shù)集的真子集，學(xué)生思考這些問題不僅能加深對(duì)復(fù)數(shù)的理解，也能體會(huì)到復(fù)數(shù)系向下兼容的和諧美，感受到用文氏圖表示數(shù)系間關(guān)系展現(xiàn)出的簡潔美、抽象美.

教師：由于表示平面中點(diǎn)的位置需要用到兩個(gè)數(shù)，所以說平面是二維的.現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)就能表示點(diǎn)的位置，這多不可思議.

問題2類比平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和坐標(biāo)的關(guān)系，復(fù)平面中的點(diǎn)和復(fù)數(shù)有什么關(guān)系？設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi，那么連接OZ，向量OZ和復(fù)數(shù)集中的數(shù)有什么關(guān)系？

教師：復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、平面向量OZ和復(fù)數(shù)集中的數(shù)三者之間互為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.因此我們可以用復(fù)平面內(nèi)的向量OZ表示復(fù)數(shù)，也可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系是思維上的對(duì)稱，是數(shù)學(xué)特有的美麗.

【設(shè)計(jì)意圖】在教授知識(shí)的同時(shí)，教師要有意引導(dǎo)學(xué)生欣賞隱藏在復(fù)數(shù)背后的抽象美、奇異美和對(duì)稱美.

問題3實(shí)數(shù)有相反數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上以原點(diǎn)為對(duì)稱中心.復(fù)數(shù)中也有類似的概念——共軛復(fù)數(shù)，請(qǐng)你在復(fù)平面中用向量表示出復(fù)數(shù)及其共軛復(fù)數(shù)，觀察它們的形狀，你有什么發(fā)現(xiàn)？

【設(shè)計(jì)意圖】在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)集中的數(shù)與點(diǎn)和向量具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，經(jīng)過教師引導(dǎo)，學(xué)生關(guān)注到這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，體會(huì)到數(shù)學(xué)的對(duì)稱之美，加深對(duì)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解，為復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算做準(zhǔn)備.

2.4數(shù)學(xué)寫作，體會(huì)數(shù)學(xué)之美

教師：請(qǐng)大家以數(shù)學(xué)寫作的形式回答以下問題.我們以何種方式學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？你感受到了數(shù)學(xué)哪方面的美？經(jīng)過本堂課的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為數(shù)學(xué)這門學(xué)科具有什么特點(diǎn)？

【設(shè)計(jì)意圖】在教學(xué)中，教師先借助復(fù)數(shù)的發(fā)展史，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到復(fù)數(shù)引入的必要性，然后用幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生理解虛數(shù)的幾何意義，最后給出復(fù)數(shù)相關(guān)的概念.教學(xué)過程中顯示出復(fù)數(shù)不同方面的美，教師布置數(shù)學(xué)寫作的課后作業(yè)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的體會(huì)，以及對(duì)知識(shí)的理解.

3結(jié)語

高中數(shù)學(xué)中并不缺少美的存在，而是缺少發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的眼睛.新時(shí)代背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基本知識(shí)和基本技能的掌握，更要不斷地引導(dǎo)學(xué)生感知美，為學(xué)生提供發(fā)現(xiàn)美、欣賞美的平臺(tái)，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中擺脫枯燥，在實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展目標(biāo)的過程中提高數(shù)學(xué)審美能力.就復(fù)數(shù)而言，牢記其概念和不同的表示形式固然重要，但是揭示復(fù)數(shù)背后的理性精神、文化價(jià)值和美學(xué)價(jià)值，會(huì)使學(xué)生終生受用.總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透美育的根本目的，是從關(guān)注學(xué)科向關(guān)注人的一種轉(zhuǎn)變.數(shù)學(xué)美育的深入理解，對(duì)提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量、學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力都有現(xiàn)實(shí)意義.

參考文獻(xiàn)

［1］杜衛(wèi).美育論［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2000.

［2］董志彪，馮園園，孟彩彩，等.高中數(shù)學(xué)美育的學(xué)科特征及實(shí)現(xiàn)策略［J］.教學(xué)與管理，2021（33）：107-109.

［3］徐本順，殷啟正.數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法［M］.大連：大連理工大學(xué)出版社，2023.

［4］張奠宙，木振武.數(shù)學(xué)美與課堂教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2001（4）：1-3.

［5］吳振奎，吳旻.數(shù)學(xué)中的美［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011.

［6］邱勇，何小亞.復(fù)數(shù)的歷史與教學(xué)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2020（22）：18-23.