類比與歸納：代數教學的主線

摘要：邏輯推理涉及歸納、類比推理和演繹推理.代數和幾何問題的解決都需要歸納、類比和演繹推理，代數教學的主線是歸納與類比，幾何教學的主線是演繹.本文以《冪的運算性質》單元教學為例，詳細闡述歸納與類比推理在其中是如何發揮主線作用的.

關鍵詞：歸納；類比；代數教學；冪的運算性質

數學發現活動是一個不斷通過合情推理提出猜想、發現結論、探索證明思路，通過演繹推理作出證明的過程，合情推理和演繹推理相輔相成，共同推動數學發現活動的順利發展.本文以《冪的運算性質》單元教學為例，談談如何以歸納與類比為主線進行課堂教學設計.

1《冪的運算性質》單元教學流程

1.1溫故知新，抽象出相同因數的乘法的結構特征

問題能不能用更簡潔的方法表示出算式2×2×2×2？把2換成a呢？

生：24，a4.

追問1在24后面再乘3次2，你會如何計算？還有其他方法計算嗎？

生：24×2×2×2，24×23.

追問2在a4后面再乘3次a，你又會如何計算？還有其他方法計算嗎？

生：a4×a×a×a，a4×a3.

追問3仔細觀察上面兩個算式有什么共同特征？

生：底數相同，指數相加.

【設計意圖】（1）引導學生回顧乘方的意義，并通過有步驟、有依據的計算，為探索同底數冪乘法的運算性質做好知識和方法的鋪墊.（2）底數從數字2變為字母a，讓學生感悟數式通性，感悟由特殊到一般的數學思想方法.（3）發展學生數學抽象核心素養.

1.2類比學習，歸納猜想同底數冪的乘法的運算性質

問題類比從24×23到a4×a3的一般化進程，進一步一般化，我們將研究怎樣的算式？

師：既然可以把底數由數字一般化為代表數字的字母，那么指數也可以由數字一般化為字母，我們將研究算式am·an（m，n都是正整數）.

追問1am和an分別表示什么意義？

生：m個a相乘，n個a相乘.

追問2你能猜想出am·an的結果嗎？說說你是怎么想的？

生：am·an＝am＋n（m，n都是正整數）.

追問3你能用文字語言描述這個算式的關鍵特征嗎？

生：同底數冪相乘，底數不變，指數相加.

追問4你會證明這一歸納猜想嗎？

學生探索和討論，學生板演或教師板書證明過程.

追問5更一般地，如果多個同底數冪相乘，即am·an·ak（m，n，k都是正整數），結果會怎樣？

生：am·an·ak＝am＋n＋k（m，n，k都是正整數）.

【設計意圖】（1）讓學生經歷觀察、比較、抽象的過程，概括得出同底數冪的乘法運算的本質特征，并歸納猜想出其運算性質，即am·an＝am＋n，體現歸納的思想.（2）引導學生用文字語言描述同底數冪的乘法的運算性質的關鍵特征，從而培養學生的抽象概括能力.（3）引導學生認識到歸納猜想得出的結論，須通過嚴格的演繹推理加以論證，從而培養學生的邏輯推理能力.（4）學生進一步感悟數式通性和不斷推進的一般化（先是底數的一般化，然后是指數的一般化，最后是同底數冪個數的一般化）的數學思想方法.（5）發展學生數學抽象和邏輯推理核心素養.

1.3拓展延伸，類比得出冪的乘方的運算性質

問題將算式am·an·ak＝am＋n＋k（m，n，k都是正整數）中的n，k都換成m，得到怎樣的算式？

生：（am）3＝a3m（m是正整數）.

追問1類比前面經歷兩次一般化得到性質am·an＝am＋n（m，n都是正整數）的推進歷程，你能將算式（am）3＝a3m（m是正整數）進一步一般化嗎？

生：（am）n＝（an）m（m，n是正整數）.

追問2你能用文字語言描述這個一般化后算式的關鍵特征嗎？

生：冪的乘方，底數不變，指數相乘.

追問3怎樣證明這一歸納猜想？

學生探索和討論，學生板演或教師板書證明過程.

追問4類比同底數冪相乘的運算性質，冪的乘方的運算性質還可以進一步一般化嗎？即［（am）n］k＝（）（m，n，k都是正整數）.

生：［（am）n］k＝amnk（m，n，k都是正整數）.

【設計意圖】（1）將算式am·an·ak＝am＋n＋k（m，n，k都是正整數）中的n，k都換成m，得到（am）3＝a3m，體現了特殊化的數學思想方法；類比am·an＝am＋n（m，n都是正整數）得到（am）n＝（an）m（m，n是正整數）；類比am·an·ak＝am＋n＋k（m，n，k都是正整數）得到［（am）n］k＝amnk（m，n，k都是正整數），學生繼續感悟數式通性和類比的思想和一般化思想.（2）引導學生用文字語言描述冪的乘方的運算性質的關鍵特征，繼續培養學生的抽象概括能力.（3）繼續鞏固證明的意識，提升學生邏輯推理能力.（4）發展學生數學抽象和邏輯推理核心素養.

1.4提出問題，歸納發現積的乘方的運算性質

問題我們已經知道對于底數相同的冪am和an相乘，可以用同底數冪乘法的運算性質相乘，那么對于指數相同的冪an和bn相乘，有對應的性質嗎？

師：完成以下題目.

（1）a2·b2＝a·a·b·b＝（ab）·（ab）＝（ab）（）.

（2）a3·b3＝a·a·a·b·b·b＝（）·（）·（）＝（）（）.

追問1你能歸納發現一般化后的算式嗎？

生：an·bn＝（ab）n（n是正整數）.

追問2如何證明這一歸納發現？

學生板書證明過程.

追問3我們經常需要將以上算式逆過來運用，即（ab）n＝an·bn（n是正整數），你能用文字語言描述這個一般化后的算式的關鍵特征嗎？

生：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得冪相乘.

追問4類比同底數冪相乘和冪的乘方的運算性質，積的乘方的運算性質還可以進一步一般化嗎？

生：（abc）n＝an·bn·cn（n是正整數）.

【設計意圖】（1）從同底數冪相乘am·an到同指數冪相乘an·bn，意在培養學生學會發現和提出問題的能力，分析和解決問題的能力，這里重在提出問題.（2）再次增強學生由特殊到一般的歸納能力和引導學生感悟一般化的思想方法.（3）引導學生用文字語言描述積的乘方的運算性質的關鍵特征，再次培養學生的抽象概括能力.（4）再次提升學生的證明意識.（5）引導學生把（ab）n＝an·bn（n是正整數）一般化為（abc）n＝an·bn·cn（n是正整數），學生再次感悟類比和一般化思想.（6）培養學生數學抽象和邏輯推理核心素養.

1.5鞏固應用，通過辨析特征加深對性質的理解和運用

例題計算以下式子.

（1）x2·x5.（2）（103）4.（3）（2x）4.

（4）a·a6.（5）（an）3.（6）（－5x）3.

師生共同分析解答，教師板書（1）（2）（3），學生板書（4）（5）（6）.教師著重讓學生說明該算式符合哪種運算特征，引導學生運用合適的運算性質進行計算.

【設計意圖】教師引導學生運用性質進行計算，在積累解題經驗的同時，體會三種冪的運算的特征，并促使學生能正確選擇合適的運算性質解題，發展其數學運算核心素養.

1.6課堂小結，引導學生主動建構知識網絡

教師設置以下兩個問題，引導學生回顧知識點，從而幫助學生主動建構知識網絡.

問題1今天我們一起探究了冪的哪些運算性質？我們是怎樣探究的？我們進行探究的最根本的依據是什么？

問題2你認為我們后面還可能會探究哪些運算性質？

【設計意圖】引導學生從知識內容和探究過程兩個方面進行小結，把握本節課的核心內容，建構知識網絡，并在追問中反思與感悟學習冪的運算性質的重要性，進一步體會數與式的通性，以及從具體到抽象、從特殊到一般再到特殊的思想方法在數學問題解決中的應用.

2教學立意的進一步闡釋

2.1落實課標理念，踐行單元整體教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》倡導單元整體教學.對于冪的性質新授課來說，適合開展單元整體教學，筆者將《冪的運算性質》單元教學的目標構思如下.

學生經歷同底數冪的乘法、冪的乘方和積的乘方的運算性質的探究過程，體驗通過歸納與類比提出猜想、發現結論和探索證明思路的思維活動過程，感悟從特殊到一般、從特殊到特殊的數學思想，發展數學抽象和邏輯推理核心素養.學生理解冪的三個運算的性質及其結構特征，建構冪的運算的知識網絡，運用冪的運算性質進行簡單的冪的運算，體會數式通性，感悟從一般到特殊的數學思想，發展數學運算核心素養.

2.2預設追問互動，發展學生推理素養

有研究者在關于“數學意識的培育過程”的研究中曾指出：“在知識維度上，從觀察具體實例進階至建構概念內涵；在方法維度上，從表述生活經驗進階至領悟數學思想；在信念維度上，從著意學習體驗進階至濡染理性精神.”［1］對于本文中《冪的運算性質》教學來說，筆者在教學過程中預設大量的“追問”，有效促進了師生、生生之間的對話互動，發展學生推理素養.此外，在這節課中，筆者特別強調了合情推理的訓練.合情推理又包括歸納與類比推理，歸納是從個別事實中推演出一般性結論的推理，類比是根據兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同推演出它們在其他方面也相似或相同的推理.歸納是從特殊到一般的推理，類比是從特殊到特殊的推理，演繹是從一般到特殊的推理.

2.3重視反思回顧，促進學生深刻理解

涂榮豹教授在關于“反思性數學學習”的研究中曾指出：“要求學生對活動中有聯系的問題進行反思，對解題思路、推理的過程、運算的過程、語言的表述進行反思.”［2］在課例最后階段，筆者預設了課堂小結問題，組織學生對本課所學內容、涉及研究方法等進行了反思與回顧，并且讓學生展望后續可能會學習哪些內容.設計這類展望式小結的意圖還在于讓學生基于研究方法和路徑對后續所學內容準確預判.從課堂教學效果來看，學生都能基于代數學習經驗，展望后續可能學習更多的冪的運算性質以及整式乘除等內容.

參考文獻

［1］崔皓翔，寧連華.數學意識的培育：從直觀感受到理性感悟［J］.課程·教材·教法，2024（2）：119－124.

［2］涂榮豹.試論反思性數學學習［J］.數學教育學報，2000（4）：17－21.

*基金項目：江蘇省南通市教育科學“十三五”規劃課題“基于‘自學·議論·引導’的初中數學板書實踐研究”（項目編號：ZX2021006）.