初中數學復習課教學研究

摘要：復習課作為教學體系中不可或缺的環節，在鞏固學生基礎知識、增強學生運用知識解決問題能力方面發揮著至關重要的作用.通過對初中數學復習課的精心優化，學生得以運用數學視角洞察現實，運用數學語言描述現實，以及運用數學邏輯思考現實問題.

關鍵詞：復習課；初中數學；教學類型；數學教學法

本文以初中數學中的“圓”作為研究核心，深入探討各類復習課的教學設計及執行方法，以期為教師提供了初中數學復習課教學的指引和實用性建議.同時，本文也關注復習課對學生學習的深遠影響.初中數學復習課不僅有助于學生構建全面的知識體系，提升其學習能力，還有助于學生加強數學思維方法的掌握，拓寬知識深度與廣度，培育學生的核心素養.本文提出的初中數學復習課教學策略，旨在能夠協助師生共同提升復習課的效率，以實現復習課的最大教學效益.

1“圓”的拓展深化型復習課教學設計

由美國教育心理學家加涅（R. M. Gagne）的“信息加工”原理可知，在“再教”過程中，教師所教授的內容主要是面向已學會并已掌握基本要領的學生.這一階段的學生要對已學過的知識進行再思考，加深對知識的理解.具有深度和擴展性的復習課恰恰可以滿足這種需要，它通過深入剖析已學知識，在拓寬視野的同時，進一步鞏固和深化對原有知識的理解.

“圓”的拓展深化型復習課旨在對章節內容進行更深層次的探討與開發，這些拓展性的知識不僅能有效訓練學生的思維方式，還能夠協助學生深化對教材的理解，達到“溫故而知新”的教學效果.［1］學生對“圓”相關概念的理解構成了本課程的學習基石，同時，學生對“變式”思考方式的理解，是學生在教學實踐中所遇到的一個重要問題.在這一節課程中，最大的困難就是怎樣對假設進行嚴謹的探索與證明.學生必須能夠清楚合理地表述整個論證的過程.因此，這節課的教學關鍵是要讓學生對推理的真實性產生濃厚的興趣，讓他們以猜測為依據，進行推理，掌握推理方法，并學會用文字來表述推理過程，以此來培養學生的推理意識，使學生體會數學探索的理性魅力.

2“圓”的拓展“變式”教學策略

教師能夠運用“多樣化”策略，緊扣“演變”這一核心，建構問題情境，引領學生深入體驗“假設、檢驗、總結”這一嚴密邏輯推理的歷程.

2.1溫故而知新

師：請各位同學共同探討以下題目.

如圖1所示，直線AB、CD、BC分別在點E、G、F與⊙O相切，且AB∥CD，假設OB的長度為6厘米，OC的長度為8厘米，那么BE與CG的總長度是多少？

師：本題所依托的核心概念是哪些？

現在請大家跟隨我一同復習切線長定理的詳細內容.

教師展示切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角，即PA=PB，∠BPO=∠APO（如圖2）.

【設計意圖】復習過程對于鞏固學習效果至關重要，它不僅幫助學生加深對已有知識的記憶，同時也為后續的深入學習奠定牢固基礎.

2.2假定檢驗

問題1大家來討論一下，關于切線長定理所反映的幾何元素之間的空間聯系是什么？

問題2這道題主要研究的是哪些點與圓周的相對位置關系？

問題3這兩條線在相互間表現出什么樣的空間關系？

師：切線長定理就是反映出兩條線在圓周上的相對位置.除此情形外，還有沒有其他兩條切線和圓周的幾何聯系？讓我們一起來想一想，盡量歸納出各種情況.

教師讓學生自己動手做題，畫出對應的圖形.

教師可以提出一些問題來指導，如“在這一課中，我們不但學習了線和圓周之間的距離，還探索了它們之間的相互影響.我們先前研究的問題，即切線長定理中的交點與圓周的位置關系如何？在其他情形中，位置的關系是否會發生變化”.

教師通過小組合作的方式，讓學生在小組內互相交流.在這個過程中，教師要關注學生

的繪畫進度，并針對有問題的學生進行一對一的指導.在學生完成探究后，教師將學生的探究結果用投影儀進行展示（如圖3）.

筆者依據建構主義理論，基于學生現有的知識結構與思想方式進行課程設置.該課程倡導以問題為中心，通過對關鍵問題的提取來激勵學生進行獨立探究.［2］在對點與圓、直線與圓的位置關系有初步認識之后，采取問題導向法，逐步引導學生去探索，去設想.

問題4根據交點和圓周之間的關系，可以把它們劃分成哪些類別？

【設計意圖】

教師引導學生對問題進行歸類研究，并將其應用到對問題進行歸類分析的過程中，這在數學問題的求解中起到了至關重要的作用.

同時，教師引導學生通過對不同的直線段進行對比分析，發現直線段與直線段有一定的對應關系.

探究一：兩個在圓周內相交的線段之間有什么關系.

師生活動：教師帶領學生一起研究圖4中PA、PB、PC、PD這四條線段存在什么比例關系.

教學互動：在完成圖4結論的探討之后，激發學生探究圖5中的線段是否也遵循相同比例定律的興趣.

假定該定律成立，教師鼓勵學生獨立進行證明.教師挑選兩位學生在黑板上展示證明過程，同時要求其他學生在練習本上完成證明（證明過程中可參考圖6中的輔助線畫法）.

教師歸納：根據探究結果，我們可以總結出這樣一個定理，即當圓內兩條線段相交時，交點將這兩條線段分割成的各部分長度乘積是相等的.

探究二：探討交點位于圓外的三種情形，其中一種即切線長定理，將其排除在外，重點分析剩余兩種情形中線段之間的關系.

教學互動：師生共同探討，先識別圖中的元素（如圖7），然后深入分析它們之間的比例關系，并進行相應的證明.

教師挑選一位學生上臺展示其解題步驟并予以講解，其余學生則在數學練習本上完成證明（輔助線的繪制方式如圖8所示）.

教學評價：教師對該學生的證明邏輯、書寫過程以及字跡整潔度進行具體評價，并在必要時給予鼓勵或表揚.

教學歸納：從圓周外部一點引出切線和割線，切線長度為

該點至割線與圓交點的兩段線長

比例的中項.這一結論涉及切線和割線，因此被稱為切割線定理.

接下來，教師指導學生探討交點位于圓外的另一種情形（如圖9）.

學生參照多媒體上展示的圖形，嘗試獨立證明.教師邀請一位學生上臺展示其解題步驟并進行講解，其他學生則在練習本上完成證明過程（輔助線的繪制方式如圖10所示）.

教學環節：教師先對學生的證明步驟和書寫格式進行點評.接著，教師概括指出，當兩條直線均與圓有交點時，這兩條直線可視作圓的割線，并詳細講解割線定理，即從圓外一點引出兩條割線，該點到每條割線與圓交點所形成的線段長度乘積是相等的.

教學環節：教師引導學生關注第三種情況，即交點位于圓周上，這是圓周角的情況.由于本單元已對圓周角的相關知識進行了學習，故此部分不再贅述.

【設計意圖】有效的數學學習，不能只靠死記硬背，還要靠思維、動手、自主探索.數學學習應該具有探索性、思考性，在教學中，教師要充分考慮數學知識本身的特性，給予學生適當的啟發與指導，激發他們主動探究欲.［3］在對定理進行探索的過程中，學生也是在進行類比思考，利用結構相似度來進行推理，這樣可以找到各種數學知識的共通點，提高學習效率.

2.3實踐鞏固

運用圓的知識，來解決下面的例題.

例1由圖11可知，圓內一條弦CD與直徑AB以30度的角度相交，AB被分成2厘米、5厘米的兩部分，那么這條弦的弦心距離是多少？

例2如圖12所示，半圓O中AB＝9，兩弦AC、BD交于點E，弦CD＝7，那么DE的長度是多少？

例3如圖13所示，PT與⊙O切于點T，PA交⊙O于點A和B，并與CT相交于點D，CD＝2，AD＝4，那么PB的長度是多少？

例4如圖14所示，設P在四邊形ABCD邊AB的延長線上，DP與AC、BC交于點E、F，EG與過B、F、P三點的圓相切，G是切點，證明：EG＝DE.

【設計意圖】學生解決這些題是對新知識的延伸探索，對所學的綜合運用.在數學教學中，例題練習能使學生掌握數學知識，形成解題技能，對學生提高數學素養，掌握數學思想與技能有重要作用.

2.4教學歸納總結

教師帶領學生回顧探究過程，共同梳理歸納所學知識，使學生深刻體會數學思想和方法，鼓勵學生在今后的學習過程中自主地運用所學知識和技能.

3結語

在進行了實踐后，筆者對其效果進行了測試和分析.結果表明，實行分級復習可以明顯地提高學生的積極性，有利于學生掌握基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，充分顯示了其重要意義，使復習課程向高質量發展.

參考文獻

［1］楊樹艷.著眼素養培育的問題化學習——以初中數學復習課教學為例［J］.中學數學，2024（8）：83－84.

［2］吳曉鋒.借助閱讀，智慧教學——以初中數學復習課閱讀教學為例［J］.中學數學，2020（24）：30－31.

［3］王永固，肖鐳，莫世榮，等.電子書包賦能的精準教學模式有效性研究——以初中數學復習課為例［J］.中國電化教育，2019（5）：106－113＋119.