基于深度學習的高中數學建模教學設計研究

摘要：新課標指出數學建模是核心素養的重要組成部分，且基于新課標的新教材將“數學建模活動”設置為專題內容，旨在培養學生數學建模思維，提升學生運用數學建模思維解決數學問題和生活問題的能力.深度學習為構建“數學建模活動”專題教學課堂提供理論支撐，成為學生深入了解數學知識規律和關聯的支點，也是促進學生核心素養發展的根本路徑.

關鍵詞：深度學習；數學建模活動；教學設計

目前，我國高中陸續開展“數學建模活動”教學，旨在通過多元化、多維度呈現數學知識，引導學生從不同角度學習數學知識，提高學生學業水平，在發展學生核心素養的同時，使學生從容應對新高考.深度學習指向數學課程性質和課程理念，旨在引導學生有計劃、有邏輯的學習，通過逐步探究數學知識，了解數學知識的深層內涵、性質、規則，指向核心素養發展.本文旨在通過運用深度學習思維以一道易拉罐設計的問題為例，進行“數學建模活動”教學設計，驗證深度學習模式對學生核心素養的發展起到賦能作用.

1建模問題提出

現在看見的易拉罐可以稱之為二代易拉罐，其材質、形狀、制作工藝與一代易拉罐完全不同.一代易拉罐在20世紀初期產生，由罐底、罐身和罐蓋三個部分組成，材質主要以馬口鐵皮為主.20世紀中葉，由于工業生產水平大幅度提升，易拉罐的制作工藝也迭代升級，易拉罐由罐身和罐蓋兩部分組成.又因化學材料的迅速發展，易拉罐制作材質也隨之更換，主要材質由鋁取代鐵.目前，有很多飲品由易拉罐盛裝，如飲料、啤酒、水等，易拉罐具有較好的保密性和防腐蝕性，也應用于盛裝罐頭和乳制品.易拉罐外形美觀、輕巧，深受人們的喜愛.易拉罐制作材料主要成分為鋁，生產成本較高.為節省易拉罐用料資金，易拉罐設計單位或生產單位注重優化瓶身設計，通過改變瓶身的角度降低用料，實現降低用料成本目標.因此，在保證易拉罐容積不變的前提下，易拉罐形狀和尺寸設計成為減少用料的主要路徑.

2建模問題分析

以可樂易拉罐為例，目前易拉罐形狀有兩種，即常規性和細長型.雖然形狀不同，但是容積相同，均為330mL.形狀不同導致尺寸不同，所以易拉罐的用料成本也不相同.為了探究哪種易拉罐用料成本最少，可以針對問題提出假設.

（1）基本假設.

假設一：易拉罐整體材質相同、厚度相同.

假設二：易拉罐整體材質的厚度遠遠小于底和蓋的半徑，且遠遠小于易拉罐的高度.

假設三：易拉罐底部和蓋部的接口處的厚度與蓋、底、身的厚度相同.

假設四：拉環與蓋重合，忽略不計.

假設五：任何情況下易拉罐的體積和表面積不變.

易拉罐用料與表面積有關.

根據建模問題和基本假設，易拉罐可以抽象為空心圓柱（如圖1），所以只要明確圓柱的高（h）和底面半徑（r）即可.

（2）符號說明.

“易拉罐設計”數學建模的符號說明，如表1所示.

（3）模型建立.

一般情況下易拉罐的頂、底、體的材料厚度和材料密度數值為定值，通常用常數表示.根據圓柱體的體積公式，明確易拉罐的體積為

V＝πr2h.①

易拉罐罐頂（罐底）質量為

m1＝ρπr2d.②

易拉罐展開后可以看作長方體，所以易拉罐的罐體質量為

m2＝2ρπrhd.③

易拉罐總質量由公式②③組成為

M＝ρd（2πrh＋2πr2）.④

d、ρ分別表示易拉罐材質的厚度和密度.通過觀察公式④可知h和r是變量，所以易拉罐的總質量與（2πrh＋2πr2）的取值范圍有關，（2πrh＋2πr2）數值越小，M值則越小，表示易拉罐的總質量越小，所以可以得到關于易拉罐質量的數學模型.［1］由于易拉罐的體積設定不變，所以V＝πr2h不變，只要求解未知數底面半徑r和高h，即可求解出易拉罐的最小質量.所以易拉罐質量的數學模型為

S＝2πrh＋2πr2.⑤

3建模問題求解

將公式①變形，得到πrh＝Vr，將其代入⑤，得

S（r）＝2πr2＋2Vr.⑥

對⑥進行一階導數求導，得

S′（r）＝4πr－2Vr2.

令S′（r）＝0，求解r，得

r＝3V2π⑦

對

S′（r）＝4πr－2Vr2

進行求導，得S″（r）＝4π＋4Vr3＞0，得出

S′（r）＝4πr－2Vr2

是單調增函數，只有一個零點，所以函數S（r）的單調性表示如下.

當0＜r＜3V2π時，S′（r）＜0，函數S（r）單調遞減；

當r＞3V2π時，S′（r）＞0，函數S（r）單調遞增，則當

r＝3V2π

時，S（r）取到最小值，S（r）min＝3·32πV2.將⑦代入公式①中得到

h＝Vπr2＝34Vπ.⑧

將⑧化簡，并對比⑦，得

h＝2r.

由此可知，當易拉罐的高度和罐頂直徑相等時，易拉罐的表面積最小，并且易拉罐用料最少，花費的成本最少.

4改進模型

常見易拉罐的高比直徑大，所以上述易拉罐數學模型需要優化.

為方便數學模型構建，假設二至假設五不變，假設一重新做出調整，即易拉罐的底部與頂部厚度相同，側壁厚度不同，且三者的材質相同.由于假設一發生變化，其他假設沒有發生變化，所以在假設一的基礎上重新建立數學模型（用料最少）.［2］

關于易拉罐的相關數值假設如表2所示.

V易拉罐側面＝π（r＋q）2（h＋2p）－πr2（h＋2p），則m罐體＝m1，得

m1＝ρ［π（r＋q）2（h＋2p）－πr2（h＋2p）］.⑨

V易拉罐頂（罐底）＝πr2p，m罐頂（罐底）＝m2，得

m2＝ρπr2p.⑩

由于易拉罐總質量等于頂、底、體的總質量，所以M＝m1＋2m2，得

M＝ρ［π（r＋q）2（h＋2p）－πr2（h＋2p）＋2πr2p］.B11

通過觀察公式B11發現，當π（r＋q）2（h＋2p）－πr2（h＋2p）＋2πr2p的數值越小，M的數值越小.所以可以得到易拉罐的總質量數學模型，為

T＝π（r＋q）2（h＋2p）－πr2（h＋2p）＋2πr2p.B12

約束條件V易拉罐＝πr2h不變，求解出r和h，得到易拉罐最小表面積，此時易拉罐用料最少，成本最少.

由容積V＝πr2h，得

h＝Vπr2.B13

將公式B13代入公式B12中，得到T關于r的表達式，

T（r）＝π（r＋q）2Vπr2＋2p－V.

對表達式T（r）進行一階求導，得T′（r）＝（r＋q）4πp－2qVr3.

令T′（r）＝0，得

r＝3qV2πp，r＝－q（舍去）.

對T′（r）再次進行求導，得T″（r）＝4πp＋4qVr3＋6q2Vr4＞0.

當0＜r＜3qV2πp時，T′（r）＞0，則T（r）單調遞減；當

r＞3qV2πp時，T′（r）＞0，則T（r）單調遞增，則

當r＝3qV2πp時，T（r）取到最小值，T（r）min＝π·

3qV2πp＋q2

34p2Vπq2＋2p－V.

將r＝3qV2πp代入公式B13，得h＝34p2Vπq2.

因此，當hr＝2pq時，易拉罐的質量可以得到最小值，同時易拉罐的表面積達到最小值，所以易拉罐的用料最少.

通過對若干易拉罐的各個部位進行數值測量，可以得到一個均值數據，易拉罐的各項均值數據如表3所示.

通過觀察表3的各項均值數值發現，易拉罐的頂、底的厚度存在差異，但是數值差較小，為方便構建易拉罐體積數學模型，所以假設易拉罐的底和蓋的厚度相同.為方便檢驗數學模型，設定p＝0.278mm.

當h≈2.5（2r）時，易拉罐的質量最小，表面積也最小，用的耗材最少.330mL易拉罐尺寸如表4所示，并與理論值比較.

通過觀察表4發現，常規罐尺寸數值與數學模型數值具有較大的差異，細長罐與數學模型數值差異較小，所以細長罐的表面積較小，用的材料較少，成本較低.細長罐的外形相較于常規罐更具美觀，但是細長罐的缺點極為明顯.［3］細長罐的中心較高，在運輸過程中搖擺的程度較大，容易損壞，所以細長罐不耐用，綜合產量較少.從理論的角度分析，細長罐相較于常規管的成本較低，但是由于細長罐本身所呈現的缺點，導致細長罐在實際運輸過程中破損率較高，消耗的運輸成本提升.

5模型問題討論

通過實際測量易拉罐實體的各項數值，發現易拉罐的頂和底的材料的厚度并不相同，并且易拉罐的實際形狀并不是圓柱體，是圓臺和圓柱體的組合體（如圖2）.根據易拉罐的實際物體形狀，可以進一步提出假設：圖2中的易拉罐比圖1中的易拉罐的表面積要小，且運用材料較少，成本較低.

通過觀察公式可知M值的大小與［π（r2＋n1）2p1＋π（r1＋n1）2q1＋π（2r2＋n1）n1h1＋π（r1＋r2＋n1）n1h2］有關，［π（r2＋n1）2p1＋π（r1＋n1）2q1＋π（2r2＋n1）n1h1＋π（r1＋r2＋n1）n1h2］越小，易拉罐的總質量越小，易拉罐的表面積越小，所以易拉罐的用料就越小，成本越低.易拉罐的體積數學模型

為V＝πr22h1＋π（r21＋r1r2＋r22）h23

.當易拉罐的體積數值不發生變化時，

求圓臺上、下底面半徑r1、r2及下部圓柱、上部圓臺高h1、h2.

令G（r1，r2，h1，h2）＝π（r2＋n1）2p1＋π（r1＋n1）2q1＋π（2r2＋n1）n1h1＋π（r1＋r2＋n1）n1h2.

通過觀察上述模型可知，r1、r2、h1、h2是變化的量，易拉罐的體積是固定的量，G（r1，r2，h1，h2）是一個多元函數.當r1＝r2時，易拉罐整體變成了圓柱體.不難發現圓臺和圓柱融合體的易拉罐的表面積要小于圓柱體的表面積，所以形如圖2的易拉罐消耗的材料少，成本低.

6結語

數學模型需要經歷建立、優化、完善等過程，深度學習可以促進學生在主體參與學習過程中，逐漸優化和完善數學模型.學生在深度學習構建數學模型過程中，可以形成數學模型意識，學會運用數學模型解決實際以問題，這對促進學生核心素養的形成和發展起到重要推動作用.數學模型活動專題學習對學生綜合學習能力具有較高要求，教師要逐層引導學生進行深度學習，促進學生循序漸進地掌握數學模型活動學習方法和技巧，提高學生學習能力.

參考文獻

［1］戰景林.淺談基于深度學習的高中數學單元教學設計［J］.理科愛好者，2024（3）：28－30.

［2］羅羽.基于深度學習的高中數學導學案設計——以數列教學為例［J］.廣西教育，2024（5）：76－79.

［3］黃麗生.深度學習指向的高中數學建模教學設計——以“如何調節藥的劑量和用藥間隔時間”為例［J］.中小學數學（高中版），2023（9）：54－58.