挖掘問題內涵，發散思維應用

摘要：涉及雙變元代數式的最值或取值范圍問題，是高考數學命題中比較常見的一類基本考查題型，能夠有效考查考生的“四基”與“四能”，具有較高的區分度與選拔性.

本文借助一道模擬題中雙變元最值的設置，從平面解析幾何思維、函數與方程思維、三角函數思維等視角切入來分析，剖析解題的技巧方法，以期全面發散學生數學思維，引領并指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：最值問題；發散思維；解題技巧

涉及雙變元代數式的最值或取值范圍的問題，綜合性強，難度較大，對學生能力要求高，成為高考數學試卷中一類比較重要的綜合應用題.

正確把握問題的切入思維，掌握解決問題的技巧方法成為解決此類“雙變元”或“雙參”綜合問題的基本技能之一.

1問題呈現

問題設正實數x、y滿足2x+y＝1，則x+x2+y2的最小值為（）.

A. 45

B. 25

C. 1

D. 1+23

此題以雙變元所滿足的代數式為條件來創設場景，結合雙變元關系式的取值情況作出一個正確的分析與判斷，確定對應關系式的最小值的取值情況.

解決此類問題，最為基本的方式是回歸平面解析幾何本質，通過幾何意義來分析與處理.依托代數式的本質，利用函數與方程思維來處理，是處理此類問題的“通性通法”，這往往離不開函數與方程、不等式等相關知識.抓住代數式的結構特征，合理進行換元處理，特別是三角換元法的運用，是解決此類問題的“巧技妙法”之一.

2問題破解

2.1平面解析幾何思維

方法：幾何意義法.

依題，由正實數x、y滿足2x+y＝1，知x+x2+y2的幾何意義為直線2x+y＝1在第一象限的點P（x，y）到y軸的距離d與到坐標原點的距離|OP|的和的最值

問題.

設坐標原點關于直線2x+y＝1的對稱點為M（a，b），則有ba＝12，

2×a2+b2＝1，解得a＝45，

b＝25，即M45，25.

如圖1所示，由對稱性可得|OP|＝|PM|，所以x+x2+y2的幾何意義為|PM|+d，數形結合可知當PM⊥y軸時，該代數式的取值為最小值，即當且僅當x＝310，y＝25時，x+x2+y2取得最小值45，故選擇A.

點評：根據題設中雙變元代數式的結構特征與形式關系，挖掘代數式的幾何意義，回歸平面解析幾何本質來分析與處理，是解決此類問題

的一種基本方法.

2.2函數與方程思維

方法1：判別式法1.

依題，由正實數x、y滿足2x+y＝1，可得y＝1－2x.

設t＝x+x2+y2＞0，則有t＝x+x2+（1-2x）2＝x+5x2-4x+1，即5x2-4x+1＝t－x.

兩邊平方并整理可得4x2+2（t－2）x+1－t2＝0，根據題設知關于變量t的二次方程有實根，則有判別式Δ＝4（t－2）2－16（1－t2）≥0，整理有5t2－4t≥0，解得t≥45或t≤0（舍去），當且僅當x＝310，y＝25時，等號成立，

所以x+x2+y2的最小值為45，故選擇A.

方法2：判別式法2.

依題，由正實數x、y滿足2x+y＝1，由于x＞0，則x+x2+y2＝x+x2+y22x+y＝1+1+y2x22+yx，令t＝yx＞0，設s＝1+1+t22+t，t＞0.

恒等變形并整理可得（s2－1）t2+（4s2－2s）t+（4s2－4s）＝0，根據題設知關于變量t的二次方程有實根，則有判別式Δ＝（4s2－2s）2－4（s2－1）（4s2－4s）≥0，整理并解得s≥45或s≤0（舍去），當且僅當x＝310，y＝25時，等號成立，所以x+x2+y2的最小值為45，故選擇A.

點評：根據題設中雙變元代數式的結構特征，結合所求代數式的形式進行合理

換元處理，利用

消元思維并結合代數式的恒等變形與轉化，合理構建關于相應變量的二次方程，為進一步利用方程的判別式法處理提供條件.判別式法處理一些代數式的最值或取值范圍

問題時，整體思維與消參思維是解題的

關鍵步驟，通過方程有實根的信息來合理構建判別式，給問題的轉化與解決創造條件.

方法3：導數法.

依題，由正實數x、y滿足2x+y＝1，由于x＞0，x+x2+y2＝x+x2+y22x+y＝1+1+y2x22+yx，令t＝yx＞0，則有函數s（t）＝1+1+t22+t，t＞0.

求導可得s′（t）＝2t-1-1+t21+t2（2+t）2，令s′（t）＝0，解得t＝43，所以當t∈0，43時，s′（t）＜0，函數s（t）單調遞減；當t∈43，+∞時，s′（t）＞0，函數s（t）單調遞增，所以s（t）min＝s43＝45，即x+x2+y2的最小值為45，故選擇A.

點評：根據題設中雙變元代數式的巧妙轉化，構建所要求解的代數式所對應的函數關系式，回歸函數與導數的應用本質，利用函數的構建，導數的運算，并結合函數的單調性判斷

函數的極值或最值，是處理此類綜合問題中的一種“通性通法”.

2.3三角函數思維

方法：三角換元法.

依題，設x＝rcosθ，y＝rsinθ，其中r＞0，θ∈0，π2.

由正實數x、y滿足2x+y＝1，代入可得r（2cosθ+sinθ）＝1，即r＝12cosθ+sinθ.

設t＝x+x2+y2≥0，則有t＝r（cosθ+1）＝1+cosθ2cosθ+sinθ，整理可得1＝tsinθ+（2t－1）cosθ.

結合三角函數的輔助角公式，可得tsinθ+（2t－1）cosθ＝t2+（2t-1）2sin（θ+φ）≤t2+（2t-1）2，其中tanφ＝2t-1t.

1≤t2+（2t-1）2，兩邊平方并整理可得5t2－4t≥0，解得t≥45或t≤0（舍去），當且僅當x＝310，y＝25時，等號成立，所以x+x2+y2的最小值為45，故選擇A.

點評：根據題設中雙變元代數式的結構特征，合理進行三角換元處理，將相應的代數問題轉化為三角函數問題來

處理，也是解決此類復雜代數式的最值

或取值范圍

問題中比較常用的一種技巧方法.三角換元法就是借助三角換元進行代換處理，將問題轉化為三角函數問題，結合三角函數中的基本公式與基礎知識來分析與求解，往往需要結合輔助角公式的變形、三角函數有界性的放縮等知識點.

3變式拓展

變式設正實數x、y滿足2x+y＝1，則（）.

A. xy的最大值為18

B. 2x+1y的最小值為9

C. 4x2+y2的最小值為1

D. 2x+y的最大值為2

解析：依題，正實數x、y滿足2x+y＝1，利用基本不等式，可得1＝2x+y≥22xy，當且僅當2x＝y，即x＝14，y＝12時，等號成立，解得xy≤18，即xy的最大值為18，故選項A正確.

利用基本不等式，可得2x+1y＝4x+2yx+2x+yy＝5+2yx+2xy≥5+22yx×2xy＝9，當且僅當2yx＝2xy，即x＝y＝13時，等號成立，即2x+1y的最小值為9，故選項B正確.

利用基本不等式，可得4x2+y2≥2×2x+y22＝12，當且僅當2x＝y，即x＝14，y＝12時，等號成立，即4x2+y2的最小值為12，故選項C錯誤.

利用基本不等式，可得2x+y22≤2x+y2＝12，當且僅當2x＝y，即2x＝y，亦即x＝14，y＝12時，等號成立，解得2x+y≤2，即2x+y的最大值為2，故選項D正確.

綜上分析，答案為ABD.

4教學啟示

涉及“雙變元”或“雙參”的代數式的最值

或取值范圍

問題，問題的設置形式多樣，聯系的知識面廣，數學思維的層面可以從代數式的結構特征與形式

入手，或回歸平面解析幾何，或聯系函數與方程，抑或借助三角函數轉化等，再

結合消元、換元、齊次化以及同構等方式進行

切入，綜合利用基本不等式、函數與方程、三角函數、函數與導數的應用等來放縮與變形，實現知識的交匯、方法的融合，成為高考命題考查的一個基本方向與趨勢.

此類涉及“雙變元”或“雙參”的代數式的最值或取值范圍

問題，可以很好地融合平面解析幾何、函數與方程、函數與導數、不等式、三角函數等相關的數學知識，其知識融合度高，能力交匯度強，難度往往都比較大，對學生數學思維要求高

.這類題基于數學“四基”的有效落實，能夠很好地考查學生的“四能”情況，給學生提供更多的機會與展示空間，有利于學生的選拔與區分，以及培養學生思維的發散性與開拓性，全面開拓學生的視野，提升學生的數學能力與數學品質，培養學生的核心素養.