感知﹑抽象﹑推理﹑表達

摘要：提升作業(yè)的質(zhì)量，控制作業(yè)的數(shù)量可以在減輕學生的學習負擔的同時實現(xiàn)學科素養(yǎng)的提升.本文以《立體幾何初步》為例，討論單元主題作業(yè)設計的一般過程，關注作業(yè)的整體性、探究性、多樣性、開放性、可選擇性特點．

關鍵詞：立體幾何初步；單元主題；作業(yè)設計

作業(yè)設計是教學設計的重要環(huán)節(jié)之一，它除了能幫助學生鞏固所學知識之外，在培養(yǎng)學生獨立的學習能力、促使學生養(yǎng)成良好的學習習慣和心理品質(zhì)等方面也有著重要的作用.［1］《國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》指出，提高作業(yè)設計質(zhì)量，精心設計基礎性作業(yè)，適當增加探究性、實踐性、綜合性作業(yè).但目前的高中數(shù)學作業(yè)設計，往往存在如下問題：①作業(yè)在形式上大多是以知識點掌握為目的的練習題，缺少對以數(shù)學思想方法領悟和應用為目的的探索性作業(yè)；②作業(yè)在內(nèi)容上主要針對單課課時教學中零散知識的鞏固，題目之間缺乏聯(lián)系，不利于能力提升，難以發(fā)揮作業(yè)在核心素養(yǎng)培養(yǎng)中的積極作用.［2］崔允漷教授指出，只有當我們著眼于單元進行整體教學設計的時候，才能看到指向核心素養(yǎng)的課程改革給我們帶來的變化.可見以單元為整體進行作業(yè)設計，是挖掘教材本質(zhì)、整體把握知識結構、滲透教學價值、發(fā)展學生核心素養(yǎng)最有效的途徑.［3］因此，優(yōu)化作業(yè)結構，從整體的角度對作業(yè)進行主題化設計是高中數(shù)學作業(yè)設計研究的一個方向．

1高中數(shù)學單元主題作業(yè)的內(nèi)涵

單元主題作業(yè)是主題教學的延續(xù).“主題教學是圍繞一定的主題，充分重視個體經(jīng)驗，通過與多個文本的碰撞交融，在重過程的生成理解中，實現(xiàn)課程主題意義建構的一種開放性教學”［4］

，它可以將零碎散落的，甚至單一的內(nèi)容統(tǒng)整起來.數(shù)學單元主題作業(yè)將主題教學的思想融入作業(yè)設計，在單元視角下，以一個特定的主題統(tǒng)攝整份作業(yè)，將一系列與該主題關聯(lián)緊密的問題以習題的形式呈現(xiàn)，再以一定的編排思路對習題進行整合的作業(yè)設計模式，一般可分為確定主題、學情分析、目標分析、主題作業(yè)設計、評價修改五個環(huán)節(jié).單元主題作業(yè)具有整體性、開放性、多樣性、探究性等特征，可以滿足學生個性化學習的需要，能有效促進學生創(chuàng)造性思維和批判性思維的發(fā)展.下面將以《立體幾何初步》這一單元的主題作業(yè)設計為例進行闡述．

2高中數(shù)學單元主題作業(yè)設計案例

2.1確定主題

立體幾何屬于幾何與代數(shù)主題，該主題突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，即通過形與數(shù)的結合，感悟數(shù)學知識之間的關聯(lián)，加強對數(shù)學整體性的理解.［5］立體幾何內(nèi)容分為兩個部分，第一部分為必修課程，包括基本立體圖形、基本圖形位置關系、幾何學的發(fā)展等內(nèi)容；第二部分為選擇性必修內(nèi)容，主要是用空間向量方法研究線線、線面、面面的夾角及垂直和平行關系.本文主要討論的是在第一部分立體幾何初步的教學過程中主題作業(yè)的設計.

人教A版《普通高中教科書數(shù)學必修第二冊》第八章第3節(jié)例題1和習題1分別提到正四面體和正八面體這兩種正多面體.［6］蘇教版《普通高中教科書數(shù)學必修第二冊》第13章第1節(jié)介紹了多面體的概念后給出了食鹽、明礬晶體的實物插圖，說明自然界中一些晶體有著規(guī)則的幾何結構.［7］所以在尊重教材的基礎上，教師可以充分挖掘教學中有利于學生發(fā)展的要素，靈活地對教材內(nèi)容進行拓展、調(diào)整和優(yōu)化.［8］正多面體作為特殊的多面體，是幾何學從二維空間過渡到三維空間的重要內(nèi)容，對于剛剛接觸空間幾何體的學生來講，是一個適宜的橋梁.［9］

正多面體有著重要的教育價值，但現(xiàn)在蘇教版、人教A版等教材對此沒有專題研究.作為教材和課堂教學的補充，以正多面體為主題實施作業(yè)設計能讓學生體會數(shù)學的廣泛應用，豐富學生對空間幾何圖形的認知，促進學生空間觀念的形成，培養(yǎng)學生的學習興趣，提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)．

2.2學情分析

學生已經(jīng)能夠借助實物認識長方體、正方體、圓柱、圓錐等立體圖形，能說出這些圖形的特征，能辨認這些圖形的展開圖，會計算這些圖形的體積和表面積，初步形成了空間觀念.初中階段的幾何課程主要研究了平面圖形的平移、旋轉、軸對稱、相似和投影，以及性質(zhì)的證明等問題.因此，高中階段學生需要借助基本平面圖形展開對立體幾何的學習，其所運用的數(shù)學思想方法與平面幾何沒有本質(zhì)差別，不同的是研究對象，特別是要在一張紙上處理空間圖形，對直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算等方面都有著更高的要求.［10］根據(jù)多元智能理論，不同的學生在不同的領域認知水平存在差異性.因此，作業(yè)的設計應該體現(xiàn)層次性、多樣性、可選擇性，以滿足不同層次學生的發(fā)展需要．

2.3目標分析

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標”）在幾何與代數(shù)主題下的學業(yè)要求中指出，要能夠通過直觀圖理解空間圖形，掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征，解決簡單的實際問題；能夠運用圖形的概念描述圖形的基本關系和基本結果；能夠證明簡單的幾何命題（平行、垂直的性質(zhì)定理），并會進行簡單應用.重點提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算和教學抽象素養(yǎng).［5］據(jù)此，本單元主題性作業(yè)目標是以正多面體為研究對象，遵循從具體到抽象的原則，促進學生對基礎知識的理解和掌握，提升其綜合應用能力，領悟數(shù)學家堅持不懈、追求真理的精神，感悟數(shù)學之美.具體地說，就是通過尋找生活中的正多面體.教師引導學生學會用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界［5］，形成對這一類幾何體的直觀感知；引導學生通過畫圖和制作模型作業(yè)，加強“理念作圖”的訓練，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)；通過對正多面體點線面數(shù)量的探究，引導學生發(fā)現(xiàn)變化中的不變量以及正多面體之間的關聯(lián)，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理等素養(yǎng)．

2.4“立體幾何初步”主題作業(yè)的設計

作業(yè)1人教A版《普通高中教科書數(shù)學必修第二冊》第八章第3節(jié)例題1和習題1分別提到兩種特殊的多面體，我們稱之為正四面體和正八面體，還有我們熟悉的正方體也可叫作正六面體；蘇教版

《普通高中教科書數(shù)學必修第二冊》第13章第1節(jié)提到食鹽晶體就是正六面體，明礬晶體是正八面體，我們將這種類型的多面體都稱為正多面體.除了前面提到的3種正多面體，自然中還有其他類型的正多面體嗎？你認為什么樣的幾何體能稱之為正多面體？請給正多面體下定義．

【設計意圖】 學生在尋找正多面體的過程中感受復雜多樣的大千世界中存在著千絲萬縷的聯(lián)系.例如，學生通過查閱資料，可以發(fā)現(xiàn)最小的富勒烯C20分子結構為正十二面體，黃鐵礦礦石晶體也呈現(xiàn)正十二面體形狀，晶體硼（B12）的結構單元是正二十面體，甲肝、乙肝等多種病毒衣殼也是正二十面

體.在此過程中，學生充分體會到大自然是數(shù)學寫成的書.在作業(yè)反饋環(huán)節(jié)，學生相互交流，對大量的案例歸納，可以發(fā)現(xiàn)自然界中存在正四、六、八、十二、二十面體這5種類型的正多面體，從而發(fā)展了學生邏輯推理的學科核心素養(yǎng).在課堂學習中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了棱柱、棱錐等空間幾何體的學習過程.本題讓學生在直觀感知的基礎上，通過抽象圖形的組成元素及其形狀和位置關系定義正多面體，再次體會定義幾何圖形的一般方法，從而學會用數(shù)學的語言進行表達．

作業(yè)2通過作業(yè)1的學習，我們發(fā)現(xiàn)了5種類型的正多面體，接下來你打算研究什么問題？

【設計意圖】本項作業(yè)讓學生根據(jù)已有的學習經(jīng)驗思考正多面體可能的研究方向.在作業(yè)反饋時，師生共同討論評估其可行性，篩選出在學生“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)的問題，據(jù)此設計后面的作業(yè).

課標提出：“學生能有意識地用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學與現(xiàn)實之間的關聯(lián).”［5］問題是解決問題的起點，與解決問題相比，發(fā)現(xiàn)并提出問題顯然要更具有挑戰(zhàn)性，這也是培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的關鍵．

作業(yè)3（1）觀察正多面體模型，將相關數(shù)據(jù)填入表1.

（2）畫出五種正多面體的平面展開圖.

（3）正多面體的表面可能是哪幾種類型的正多邊形？請通過正多邊形的卡片拼湊說明理由？

（4）選擇合適材料，制作一個正多面體．

【設計意圖】 作業(yè)3（1）、3（2）引導學生進一步觀察正多面體的結構特征，為制作正多面體做準備；作業(yè)3（3）引導學生通過操作確認正多面體的每個面正多邊形的邊數(shù)最小為3，最大為5，這是因為正多面體是凸多面體，每個頂點處的面角之和必然小于360°.若每個面都為正三角形，那么每個頂點的正三角形最少為3個，最多為5個；若每個面都為正方形，每個頂點處的正方形只能為3個；若每個面都為正五邊形，每個頂點處的正五邊形只能為3個.通過本題，學生可以直觀地認識到正多面體最多只有5種類型.

作業(yè)4（1）分析作業(yè)3（1）表格中的數(shù)據(jù)，它們之間有什么規(guī)律？一般的凸多面體也滿足這個規(guī)律嗎？請嘗試給出證明．

（2）只有5種類型的正多面體嗎？請嘗試給出證明，并確定每一種正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)．

【設計意圖】 作業(yè)4（1）引導學生先歸納猜想，再嚴格證明，從感性認識上升到理性認識，經(jīng)歷數(shù)學發(fā)現(xiàn)的一般過程，讓學生體驗研究數(shù)學問題的一般方法.

本題的證明過程對學生而言有一定的挑戰(zhàn)性，適合具有較強思維能力的學生解答.教師可以根據(jù)學生實際情況給出適當提示，如對歐拉公式的證明，可以提供問題支架，提示學生可想象將凸多面體想象成用橡皮薄膜做成的中空體，然后將多面體變形，攤成一個平面多邊形，這個多邊形有m個頂點，為m邊形，這個多邊形內(nèi)還有V-m個點，以多面體的面角和為等量關系可得

（n1-2）×180°+…+（nF-2）×180°＝2×（m-2）×180°+（V-m）×360°，

即（2E-2F）×180°＝（-4+2V）×180°，

所以V+F-E＝2.

對于作業(yè)4（2），設正多面體每個面都是n邊形，每個頂點處有m個面，而頂點處面角和小于360°，即

m×（n-2）×180°÷n＜360°，

化簡可得m＜2+4（n-2）.

因為m，n為大于等于3的正整數(shù)，可得n，m的整數(shù)解只有n＝3，m＝3；n＝3，m＝4；n＝3，m＝5；n＝4，m＝3；n＝5，m＝3這5種情況.再根據(jù)nF＝2E，mV＝2E，V+F-2＝E，可得5種正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)．

作業(yè)5正多面體的嵌套.如圖1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連結B、D、C1、A1這四個頂點，就構成一個正四面體，再連結該正四面體各條棱的中點，就得到一個正八面體，若能在正八面體內(nèi)找到一個正方體，就能構成一個循環(huán)，有人認為將正八面體各條棱的中點連起來就可以得到正方體，你認為對嗎？為什么？

【設計意圖】 作業(yè)5引導學生從圖形的嵌套角度探求其相互之間的關系，需要學生從圖形直觀感知，從代數(shù)角度計算論證，在此過程中，能很好地培養(yǎng)學生的直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

本題答案并不唯一，連接正八面體各面的中心可以得到正方體，也可以在棱上取點得到正方體，但不是棱的中點，如圖2所示，不妨設正八面體棱長為2，內(nèi)接正方體棱長為x，TE＝y(tǒng).由x＝2y，x+y＝2，可得x＝4-22，y＝22-2，由此可見，點T并不是中點．

作業(yè)6撰寫數(shù)學小論文（下面2個主題二選一）．

主題1閱讀關于正多面體研究的歷史資料，撰寫小論文，論述數(shù)學家研究正多面體的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻．

主題2請你圍繞某一種類型的正多面體，從線面的平行垂直關系、空間角、空間距離、幾何體的表面和體積、與球的內(nèi)切外接、在生活中的應用等角度進行全面的研究，撰寫小論文．

【設計意圖】 在作業(yè)6中，學生根據(jù)興趣選擇一個主題進行寫作，賦予學生對作業(yè)的選擇權可以激發(fā)學生自我責任感和對作業(yè)的主動認知投入.［1］主題1引導學生系統(tǒng)地梳理人類對正多面體的認知過程，在此過程中，學生不僅需要關注數(shù)字和符號，而且要考慮數(shù)學背后的邏輯、思維方式和歷史背景，領悟數(shù)學家們研究問題的方法，體會數(shù)學家嚴謹、刻苦、專注等良好的科學品質(zhì)，充分體現(xiàn)數(shù)學學科育人的價值.

主題2中，學生根據(jù)自己的能力從5種類型的正多面體中選擇一種進行研究，可以系統(tǒng)地梳理本章節(jié)的基礎知識和基本方法，經(jīng)歷系統(tǒng)研究數(shù)學對象的一般過程.

2.5多元評價、全面發(fā)展

作業(yè)類型的多樣性導致了評價標準和評價方式的多樣性，作業(yè)1和作業(yè)2為實踐類作業(yè)，考慮學生發(fā)現(xiàn)材料的豐富性、思維的發(fā)散性和深刻性、數(shù)學語言的科學性和嚴謹性等，采用學生相互評價與教師評價相結合的方式；作業(yè)3為操作類作業(yè)，主要考慮展開圖的科學性、說理的全面性、制作正多面體的美觀性等，采用學生相互評價的方式；作業(yè)4和作業(yè)5為紙筆作業(yè)，主要考慮學生邏輯推理的嚴謹性、思維的全面性計算的準確性，以教師評價為主；作業(yè)6為閱讀寫作類作業(yè)，考慮論文的科學性、真實性、數(shù)學性、新穎性、流暢性等，采用自評與教師評價相結合的形式，優(yōu)秀的作品張貼供其他同學賞析.作業(yè)6的評價表見表2.

3結語

在正多面體這個主題進行整體設計中，學生不僅僅是作業(yè)的完成者，還是問題的發(fā)現(xiàn)者和提出者、作業(yè)成果的展示者和評價者，體現(xiàn)了學生在作業(yè)活動中的主體性地位.學生經(jīng)歷直觀感知、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學表達等一系列的過程，能很好地發(fā)展其數(shù)學學科核心素養(yǎng).

那些以機械記憶和簡單模仿為目的的作業(yè)已經(jīng)不能適應時代的需求，教師提供給學生的學習材料應該具有多樣性、探究性、拓展性等特點，要能夠促使知識發(fā)生遷移，使學生在完成作業(yè)的過程中學會探究，學會學習，能夠培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和合作交流能力，能激發(fā)學生的學習興趣和探究欲．

參考文獻

［1］方臻，夏雪梅.作業(yè)設計 基于學生心理機制的學習反饋［M］.北京：教育科學出版社，2014．

［2］馬超周，高宇.“雙減”背景下指向素養(yǎng)發(fā)展的高中數(shù)學單元作業(yè)設計［J］.數(shù)學通訊，2022（22）：24-27+56．

［3］侯學萍，陳琳.小學數(shù)學單元教學的整體設計［J］.教學與管理，2018（29）：43-45．

［4］竇桂梅.“主題教學”的思考與實踐［J］.人民教育，2004（12）：32-34．

［5］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［6］人民教育出版社課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書數(shù)學必修第二冊［M］.北京：人民教育出版社，2019．

［7］單墫，李善良.普通高中教科書數(shù)學必修第二冊［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020．

［8］李祎，王逸勤.基于核心素養(yǎng)的數(shù)學教學設計及其點評——以“橢圓及其標準方程”的教學為例［J］.數(shù)學通報，2023（5）：1-6．

［9］張曉雪，代欽.正多面體的歷史及其現(xiàn)代教育價值［J］.數(shù)學通報，2019（2）：5-12.

［10］章建躍.核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學出版社，2021．

*基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃2021年度課題“高中數(shù)學單元作業(yè)設計研究”（項目編號：D/2021/02/463）.