考慮微結(jié)構(gòu)特征的陶瓷材料含損傷本構(gòu)模型

摘要： 為了研究不同微結(jié)構(gòu)陶瓷材料的沖擊破壞特征，以從微結(jié)構(gòu)角度出發(fā)、描述陶瓷材料非彈性變形和斷裂行為的Deshpande-Evan 模型為基礎(chǔ)構(gòu)建本構(gòu)模型，計算了無約束條件下材料的應(yīng)力狀態(tài)。為了驗證改進模型的有效性，將VUMAT 子程序編程方法將與ABAQUS 有限元軟件相結(jié)合，并將其應(yīng)用于典型陶瓷材料（ YAG 透明陶瓷）沖擊破壞過程的分析模擬。采用改進模型分析應(yīng)變率、應(yīng)力三軸度、晶粒尺寸及初始缺陷分布密度對YAG 透明陶瓷動態(tài)力學(xué)行為和損傷演化機制的影響規(guī)律。結(jié)果表明：隨著晶粒尺寸和裂紋分布密度的增加， YAG 透明陶瓷破壞程度隨之加劇，完全損傷區(qū)域面積也隨之增加，晶粒尺寸對YAG 透明陶瓷宏觀破壞特征的影響程度要大于裂紋分布密度；YAG 透明陶瓷失效強度以及斷裂應(yīng)變隨著晶粒尺寸以及初始缺陷分布密度的增大而減小；隨著應(yīng)變率不斷增加，YAG 透明陶瓷在不同晶粒尺寸以及初始缺陷分布密度下的峰值應(yīng)力和斷裂應(yīng)變均隨之增加；裂紋擴展速度會隨著晶粒尺寸的增加呈現(xiàn)出先增加而后平緩的趨勢，裂紋擴展速度與初始缺陷分布密度系數(shù)成線性關(guān)系。改進模型可以描述YAG 透明陶瓷微結(jié)構(gòu)對其宏觀破壞特征的影響，為進一步分析微結(jié)構(gòu)對陶瓷材料宏觀破壞特征的影響提供支撐。

關(guān)鍵詞： 含損傷本構(gòu)；陶瓷材料；沖擊破壞；YAG 透明陶瓷；微結(jié)構(gòu)特征

中圖分類號： O347.3; TQ174.7 國標(biāo)學(xué)科代碼： 13015 文獻標(biāo)志碼： A

陶瓷材料的沖擊破壞特性不僅受到宏觀外載荷條件影響，更與材料內(nèi)部微結(jié)構(gòu)[1-2] 密不可分。陶瓷微結(jié)構(gòu)是指陶瓷材料的基本組成和內(nèi)部結(jié)構(gòu)，包括晶體、晶界、相界、孿生、顆粒、缺陷等，對于材料的動態(tài)力學(xué)行為有著重要影響。上述微結(jié)構(gòu)會在外力作用下不斷演化，晶粒會因為滑移、位錯而產(chǎn)生變形，微裂紋會在初始缺陷處萌生并不斷擴展，最終形成宏觀裂紋導(dǎo)致材料斷裂。晶格變形以及裂紋擴展都會對陶瓷材料的抗沖擊性能產(chǎn)生不利影響。圖1 為陶瓷的典型微結(jié)構(gòu)特征及缺陷類型。

為深入分析微結(jié)構(gòu)對陶瓷材料宏觀破壞特征的影響規(guī)律，當(dāng)前主流手段為實驗和數(shù)值模擬。利用實驗手段進行規(guī)律分析存在不足：一方面，為觀測陶瓷材料抗沖擊過程采用的X 光、高速攝像等觀測手段增加了實驗經(jīng)費及難度；另一方面，現(xiàn)有的實驗手段無法完整記錄陶瓷材料的沖擊破壞過程。而數(shù)值模擬是解決前述問題的有效手段。陶瓷材料理論模型為模擬沖擊破壞特征與損傷演化過程提供了理論依據(jù)，故理論模型選取是否精確是影響預(yù)測結(jié)果準(zhǔn)確性和可靠性的關(guān)鍵因素。

當(dāng)前，描述陶瓷材料破壞特性的理論模型可以分為3 類。第一類為彈脆性模型，這類模型忽略陶瓷材料塑性變形行為，隨著損傷不斷累積，陶瓷材料在彈性階段發(fā)生斷裂。這類模型具有形式簡單、便于計算等優(yōu)點，但對陶瓷材料的變形及破碎機制描述不夠準(zhǔn)確。第二類為現(xiàn)象學(xué)模型，這類模型將陶瓷材料看作彈塑性材料，忽略內(nèi)部微結(jié)構(gòu)在外載荷作用下的演化過程，著重于描述材料某一點發(fā)生斷裂后對應(yīng)力傳播過程的影響。Taylor 等[ 3 ]、Rajendran 等[ 4 ]、Steinberg 等[ 5 ]、Johnson 等[ 6 - 8 ]、Wilkins 等[ 9 ]、Chakraborty 等[10]、Ren 等[11] 和唐瑞濤等[12] 均提出了不同的理論模型描述陶瓷材料破壞特征，其中Johnson-Holmquist （JH） 模型[6-8] 應(yīng)用最為廣泛。該模型基于大量實驗數(shù)據(jù)，綜合考慮大變形、高應(yīng)變率和高壓作用下材料強度、應(yīng)變率效應(yīng)和損傷軟化等力學(xué)行為，對于沖擊加載過程中材料自由面速度，沖擊波剖面、侵徹深度和彈體剩余速度均可做出預(yù)測。但JH 模型未考慮陶瓷材料微結(jié)構(gòu)對宏觀破壞特征的影響，無法從陶瓷材料微觀結(jié)構(gòu)方面深入分析陶瓷材料破壞機制。第三類模型是考慮陶瓷材料微結(jié)構(gòu)影響的損傷理論模型，Rajendran 等[13-14] 考慮了材料內(nèi)部微裂紋擴展對宏觀破壞行為的影響，但并未對壓縮條件下脆性固體初始微裂紋的發(fā)展過程進行深入分析。Espinosa 等[15] 以預(yù)置初始缺陷的方式來描述材料破碎過程并考慮外載荷作用下裂紋演化對宏觀破壞特性的影響，但破壞特征受初始缺陷分布方式的影響。任會蘭等[16-17] 用翼型裂紋擴展理論[18] 來跟蹤材料微結(jié)構(gòu)演變過程，但忽略了裂紋弱相互作用和裂紋取向，這與材料真實破壞特征之間存在誤差。Wang 等[19] 和Vigliotti 等[20] 用RVE（代表性體積單元）來描述材料晶粒隨機分布情況，但沒有考慮體積單元內(nèi)部隨機缺陷的分布情況。Deshpande 等[21-22]提出了一種考慮陶瓷材料晶粒尺寸、初始裂紋角度以及裂紋分布密度的理論模型——Deshpande-Evan（DE） 模型，以應(yīng)力三軸度和等效應(yīng)力區(qū)分內(nèi)部微裂紋的不同擴展階段，可以描述陶瓷材料微結(jié)構(gòu)對宏觀破壞特征的影響。Lahiri 等[23] 以及Gamble 等[24] 都對DE 模型進行了驗證，但是DE 模型在計算材料應(yīng)力狀態(tài)時限制了σ2的大小（σ2 = （σ1 +σ3）=2），在此條件下推導(dǎo)出的本構(gòu)關(guān)系形式簡單，在求解計算時具有優(yōu)勢，但其與實際情況存在差異。

綜上所述，針對陶瓷材料破壞特征理論模型的工作集中于現(xiàn)象學(xué)模型和微結(jié)構(gòu)驅(qū)動模型。現(xiàn)象學(xué)模型無法從微結(jié)構(gòu)角度出發(fā)深入分析陶瓷材的料破壞機制，而微結(jié)構(gòu)驅(qū)動模型為保證模型可用于大規(guī)模計算，需要對模型計算公式進行限制，部分限制條件與實際情況存在差異。

針對上述問題，本文在DE 模型的基礎(chǔ)上，對模型的限制條件進行修改，進一步考慮材料在真實工況（無限制條件）下的動態(tài)力學(xué)行為，結(jié)合二次開發(fā)并以典型陶瓷材料（YAG 透明陶瓷）為研究對象，分析不同加載條件和微結(jié)構(gòu)對陶瓷材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響，開展典型陶瓷材料沖擊實驗的數(shù)值模擬，探究微結(jié)構(gòu)對陶瓷材料破壞特征的影響。

1 考慮材料微結(jié)構(gòu)特征的陶瓷含損傷本構(gòu)模型

考慮材料微結(jié)構(gòu)特征含損傷模型的基本思路是將材料內(nèi)部微結(jié)構(gòu)（晶粒、雜質(zhì)及氣孔等）等效為晶粒間存在初始缺陷的形式，以標(biāo)量D（包含晶粒、雜志及氣孔等微結(jié)構(gòu)的影響）描述材料某一點處的損傷程度，將材料的非彈性變形行為劃分為晶格塑性、裂紋擴展及表征顆粒間相互作用的顆粒塑性三部分，如圖2 所示。

當(dāng)材料受到應(yīng)力不足以導(dǎo)致初始缺陷開始擴展時，材料內(nèi)部的位錯及孿晶會在外載荷推動下運動，材料內(nèi)部產(chǎn)生塑性變形即晶格塑性，材料產(chǎn)生的塑性應(yīng)變與等效應(yīng)力相關(guān)，屈服強度符合應(yīng)變強化規(guī)律。

當(dāng)應(yīng)力進一步增加時，材料內(nèi)部的初始缺陷會在與初始缺陷平面成一定角度的位置產(chǎn)生拉伸應(yīng)力。隨著外載荷不斷增加，初始缺陷尖端受到拉伸應(yīng)力影響的應(yīng)力強度因子會不斷接近并最終超過材料斷裂韌性。裂紋沿著晶界或者進入晶粒內(nèi)部不斷延伸并與相鄰裂紋之間產(chǎn)生相互作用，形成翼型裂紋特征，翼型裂紋在局部應(yīng)力及靜水壓力綜合作用下不斷演化，裂紋擴展方式受到材料微結(jié)構(gòu)和外載荷狀態(tài)共同影響。

材料損傷隨著裂紋的不斷擴展而累積，當(dāng)D=1 時說明材料已完全破碎。完全破碎后的材料所受應(yīng)力由顆粒間摩擦力及靜水壓力共同決定。

損傷演化公式采用文獻[21] 中的形式：

D0 =4／3π（αa）3 f （1）

D =4／3π（l+αa）3 f （2）

式中：d 為晶粒尺寸；D0 為初始損傷；α 為裂紋形狀因子；a 表征初始缺陷與晶粒的相對大小，f 描述材料內(nèi)部缺陷的分布密度；參數(shù)a 和f 均與晶粒尺寸d 相關(guān)聯(lián)，a = g1d ， 1/f 1/3 = g2d ；l 為微裂紋擴展長度；g1 為初始缺陷尺寸系數(shù)，g2 為初始缺陷分布密度系數(shù)。

靜水壓力 （σm ） 表征物體任意一點的應(yīng)力在各個方向上均相等，靜水壓力的變化，只會使受力物體體積產(chǎn)生變化，但不會改變其形狀：

σm = （σ11 +σ22 +σ33）=3 （3）

受力物體內(nèi)部質(zhì)點在單向應(yīng)力作用下，只需單向應(yīng)力超過材料屈服點，該點就開始從彈性狀態(tài)向塑性狀態(tài)發(fā)展，即發(fā)生屈服。受力物體內(nèi)部質(zhì)點在多向應(yīng)力作用下，其全部應(yīng)力分量都必須被考慮。在變形條件一定時，受力物體中一點等效應(yīng)力（σeq ）到達某一值后質(zhì)點才能開始塑性變形：

基于式（3）～（4） 和DE 模型推導(dǎo)出晶格塑性、裂紋擴展和顆粒塑性三個階段相應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系，對模型理論體系進行改進。

1.1 晶格塑性階段

低應(yīng)變率下，材料所受應(yīng)力大于晶格阻力，或者在高應(yīng)變率下，應(yīng)力大于聲子阻力，材料發(fā)生晶格塑性變形。晶格塑性階段的等效塑性應(yīng)變率是與等效應(yīng)力相關(guān)的函數(shù)：

式中：Gp 為塑性流動勢函數(shù)，取為 Mises 應(yīng)力；σij為應(yīng)力張量；εpl為塑性應(yīng)變張量；εpl為等效塑性應(yīng)變。

當(dāng)?shù)刃?yīng)力小于等于σ0/2 時，材料仍然處于彈性階段，當(dāng)?shù)刃?yīng)力大于σ0/2時，材料進入晶格塑性階段，將式（4） 代入式（5） 可以求解塑性階段的應(yīng)變：

式中：.ε0為晶格塑性參考應(yīng)變率；.εt為臨界應(yīng)變率；n為應(yīng)變指數(shù)；σ0流變應(yīng)力，σ0=σY[1+（εpl eq/εY）M]/2 ，σY為材料屈服強度， εY為材料屈服應(yīng)變，M 為應(yīng)變強化指數(shù)。

1.2 裂紋擴展階段

陶瓷材料內(nèi)部存在隨機取向的初始缺陷，不同方向的初始缺陷均可能在外載荷的作用下發(fā)生擴展，且沿著最大主應(yīng)力方向擴展的趨勢最為明顯。假定所有裂紋擴展方向均沿最大主應(yīng)力方向，即x1 方向，初始缺陷平面與x1 方向之間的夾角為 ，外載荷作用下裂紋尖端擴展方向與初始缺陷平面之間的夾角為 ，初始缺陷長度為2a，裂紋擴展長度為l，裂紋受力如圖3 所示，σ1、σ2、σ3 為主應(yīng)力。

應(yīng)力三軸度（λ=σm／σeq ）是衡量材料靜水壓力與等效應(yīng)力的相對大小的物理量，表征材料當(dāng)前受力狀態(tài)。當(dāng)材料應(yīng)力強度因子超過斷裂韌性，以應(yīng)力三軸度為依據(jù)，可判斷裂紋擴展?fàn)顟B(tài)。

根據(jù)應(yīng)力三軸度的不同，將裂紋演化過程分為三階段[20]。

（1） 階段I—裂紋擴展停滯階段，材料承受靜水應(yīng)力為壓應(yīng)力，裂紋尖端的應(yīng)力強度因子不足以驅(qū)動裂紋擴展，材料發(fā)生的非彈性變形主要為晶格塑性變形。

（2） 階段Ⅱ—摩擦滑移擴展階段（如圖4 所示），當(dāng)前狀態(tài)下裂紋尖端的應(yīng)力強度因子可以表示為

式中：K Ⅰ為翼型裂紋尖端的應(yīng)力強度因子，F(xiàn)W表征裂紋平面相對滑移對裂紋擴展的貢獻，σ13表征裂紋相互作用對裂紋擴展的貢獻，β 為裂紋形狀因子，l 為翼型裂紋擴展長度。

通過代換，可以將式（8） 改寫成

式中：系數(shù)c1、c2、c3、A1、A3 的表達式參見文獻[20]。

根據(jù)裂紋擴展階段的應(yīng)力強度因子，可計算當(dāng)前時刻微裂紋擴展速度：

˙l = min[˙l0（KI/KIC）m，Cs] （10）

式中： KIC 為材料斷裂韌性參數(shù)，m 為擴展指數(shù)，Cs 為材料剪切波波速。

將裂紋擴展速度對時間積分，即可得到當(dāng)前時刻的微裂紋擴展長度，并根據(jù)式（2） 計算當(dāng)前損傷。

（3） 階段Ⅲ—當(dāng)材料所受的拉伸應(yīng)力逐漸變大，裂紋內(nèi)表面脫離接觸，進入無接觸滑移擴展階段，應(yīng)力強度因子以及應(yīng)力三軸度表達式參照文獻[20]：

式中：C 和E 為常數(shù)，具體形式參照文獻[20]。

1.3 考慮裂紋角度的應(yīng)力強度因子

隨著翼型裂紋不斷擴展，相鄰裂紋不斷靠近，使得σi3不斷增加直至趨近于無窮，表明裂紋的相互貫通，材料發(fā)生了嚴(yán)重破壞。但是在裂紋擴展初期，裂紋間相互作用不占據(jù)主導(dǎo)地位，裂紋尖端的應(yīng)力強度因子仍然可以表示為[25]

由于不同取向的初始缺陷均沿著最大主應(yīng)力的方向擴展，當(dāng)tan2ψ = 1/μ，初始缺陷最容易擴展，該角度為最佳初始缺陷角。當(dāng)應(yīng)力強度因子最大，即sin θ cos（θ/2）取最大值時，裂紋最容易發(fā)生擴展，將角固定為最易擴展的70.5°。

將常數(shù)代入到式（13），可將應(yīng)力強度因子公式進一步轉(zhuǎn)化為[20]

1.4 顆粒塑性階段

微裂紋受外載荷后不斷擴展，鄰近裂紋互相貫通并形成破碎材料顆粒構(gòu)成的粉碎區(qū)，破碎顆粒受到外載荷后因互相擠壓和碰撞而引起材料變形就是顆粒塑性。

顆粒塑性階段應(yīng)變張量εg 可以根據(jù)下式對時間積分進行計算

式中：^σ 為顆粒塑性階段的等效應(yīng)力，s 為損傷指數(shù)， Σc為顆粒塑性階段的單軸壓縮強度，δ 為流動膨脹角。根據(jù)前文所述晶格塑性以及顆粒塑性階段計算得出 εpl及εg ，則當(dāng)前時刻材料總應(yīng)變?yōu)?/p>

ε"= εel +εpl +εg （16）

式中： εel 為彈性應(yīng)變，根據(jù)廣義Hooke 定律計算得到。式（16） 對時間求導(dǎo)之后即為本文所需的本構(gòu)模型關(guān)系。

1.5 材料參數(shù)

為驗證改進模型的適用性和可靠性并對陶瓷材料的宏觀破壞特征進行分析，需選擇一種典型陶瓷材料作為研究對象并確定模型參數(shù)。YAG 透明陶瓷兼顧了高強度和透光性，具有典型脆性陶瓷破壞特征，并且方便觀察材料內(nèi)部的損傷演化過程。因而選擇YAG 透明陶瓷研究其沖擊破壞作用過程，進而為分析陶瓷材料微結(jié)構(gòu)對宏觀破壞特征的影響規(guī)律提供支撐。

為準(zhǔn)確描述YAG 透明陶瓷沖擊破壞行為，對模型需要的YAG 透明陶瓷材料參數(shù)進行分析。模型所需材料參數(shù)可分為以下3 大類。

第一類：材料固有屬性，YAG 透明陶瓷的密度、泊松比、楊氏模量以及晶粒大小為基本力學(xué)性能參數(shù)，由力學(xué)性能實驗獲得。屈服強度來源于準(zhǔn)靜態(tài)壓縮實驗，根據(jù)材料楊氏模量可以獲得材料在未強化狀態(tài)下的屈服應(yīng)變。

第二類：數(shù)據(jù)擬合參數(shù)，YAG 透明陶瓷的裂紋擴展階段難以通過實驗手段準(zhǔn)確觀測，針對上述問題，采用實驗與數(shù)值模擬相結(jié)合的方式來確定裂紋擴展階段參數(shù)。在有限元軟件中采用彈性本構(gòu)對YAG 透明陶瓷沖擊實驗進行模擬計算，提取模型中與實驗宏觀裂紋尖端的位置相同處材料的等效應(yīng)力和靜水壓力，通過數(shù)據(jù)擬合可得到裂紋擴展參數(shù)。

第三類：文獻參數(shù)，晶格塑性階段，除去材料固有屬性，其余參數(shù)均參照文獻[19-20] 中氧化鋁陶瓷參數(shù)，這是因為氧化鋁與YAG 透明陶瓷的破壞機制有一定的相似之處，且常規(guī)手段難以獲取晶格塑性階段材料的力學(xué)響應(yīng)。由于影響靶體抗彈性能的主要因素為裂紋擴展階段，因此顆粒塑性階段的各項參數(shù)與文獻[19-20] 中氧化鋁陶瓷參數(shù)一致。

根據(jù)文獻調(diào)研、實驗觀測以及數(shù)據(jù)擬合可以確定YAG 透明陶瓷材料的損傷演化模型參數(shù)，YAG 透明陶瓷材料參數(shù)如表1～表4 所示。

1.6 計算流程

為分析陶瓷材料微結(jié)構(gòu)對其宏觀破壞特征的影響，采用VUMAT 子程序編程方法，將理論模型與有限元軟件（ABAQUS）相結(jié)合，對YAG 透明陶瓷沖擊加載下的力學(xué)行為進行模擬分析，子程序計算流程如圖5 所示。

2 加載條件及微結(jié)構(gòu)特性對陶瓷材料動力學(xué)行為的影響

不同加載條件和微結(jié)構(gòu)特征會導(dǎo)致材料發(fā)生不同的變形和斷裂行為，進而影響材料的性能。為分析兩者對陶瓷材料動態(tài)力學(xué)行為的影響，基于前文所述陶瓷材料本構(gòu)模型及材料參數(shù)，探究應(yīng)力三軸度、應(yīng)變率、晶粒尺寸以及裂紋分布密度對YAG 透明陶瓷應(yīng)力/應(yīng)變響應(yīng)的影響規(guī)律，為分析陶瓷材料微結(jié)構(gòu)對力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律提供依據(jù)。

2.1 加載應(yīng)變率

為探究應(yīng)變率對YAG 透明陶瓷動態(tài)力學(xué)行為的影響規(guī)律， 分別計算了三種應(yīng)變率下（51、102、1 020 s?1）YAG 透明陶瓷的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)，并提取了不同應(yīng)變率下?lián)p傷隨應(yīng)變的變化曲線，結(jié)果如圖6 所示：隨著應(yīng)變率的不斷上升，YAG透明陶瓷的峰值應(yīng)力以及斷裂應(yīng)變隨之增加，表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變率強化效應(yīng)；在不同應(yīng)變率下，材料的損傷演化過程均表現(xiàn)出先平緩而后快速增加的趨勢，完全損傷所對應(yīng)的斷裂應(yīng)變隨著應(yīng)變率增加而增加，圖6 中虛線代表材料完全損傷位置。YAG 透明陶瓷應(yīng)變率效應(yīng)的產(chǎn)生原因如下：YAG 透明陶瓷的損傷演化過程并不會收到應(yīng)變率變化的顯著影響，在不同應(yīng)變率下，均呈現(xiàn)出相似的趨勢；從損傷開始積累到材料發(fā)生斷裂破壞，應(yīng)變率越高，材料變形程度越大，內(nèi)部應(yīng)力隨變形程度加劇而不斷增加，直至材料發(fā)生斷裂破壞。

2.2 加載應(yīng)力三軸度

應(yīng)力三軸度（λ） 描述材料在三個方向上受到的主應(yīng)力大小關(guān)系，通常被用于材料的力學(xué)性能測試和評估。應(yīng)力三軸度為負(fù)值，代表圍壓為負(fù)值，材料處于壓縮狀態(tài)。應(yīng)力三軸度為正，代表材料處于拉伸狀態(tài)。材料參數(shù)如表1～表4 所示。

為探究YAG 透明陶瓷失效強度在不同應(yīng)力狀態(tài)下的差異，通過調(diào)整邊界條件，使材料達到不同應(yīng)力三軸度狀態(tài)（λ=?0.5， ?0.33， ?0.25），并對不同應(yīng)力三軸度下的YAG 透明陶瓷應(yīng)力應(yīng)變曲線進行計算，結(jié)果如圖7 所示，圖中虛線代表材料損傷位置，可以看出：

壓縮載荷下，隨著應(yīng)力三軸度減小，YAG 透明陶瓷的失效強度隨之增加，這是受到圍壓的顯著影響，材料受到的側(cè)向約束減小，在材料斷裂韌性不變的前提下，內(nèi)部微裂紋擴展傾向于進入階段Ⅲ（無接觸滑移擴展階段），相較于階段Ⅱ（摩擦滑移擴展階段），處于階段Ⅲ的裂紋尖端應(yīng)力強度因子增大，材料更易發(fā)生破壞；

拉伸載荷下，YAG 透明陶瓷的峰值應(yīng)力和斷裂應(yīng)變顯著小于壓縮狀態(tài)下的峰值應(yīng)力和斷裂應(yīng)變，這是因為，初始缺陷內(nèi)表面在拉伸載荷作用下更趨向于分離，裂紋萌生和擴展方式主要是無接觸滑移擴展，裂紋尖端的應(yīng)力強度因子增大，材料更容易發(fā)生破壞。

從圖7 可以看出，隨著應(yīng)變率的不斷上升，不同應(yīng)力三軸度下YAG 透明陶瓷的峰值應(yīng)力和斷裂應(yīng)變均隨著應(yīng)力三軸度絕對值的增加而增加，這與2.1 節(jié)的分析一致。

2.3 透明陶瓷材料晶粒尺寸

晶粒是多晶中最具特征性的結(jié)構(gòu)組成，由于材料制備受到溫度及壓力等外部條件和內(nèi)部組分不均勻性的影響，各晶體生長速率和生長方向存在差異，因而晶粒尺寸以及形狀并不一致，晶粒尺寸隨機分布會顯著影響陶瓷材料的宏觀破壞特征。

為分析晶粒尺寸對陶瓷材料動態(tài)力學(xué)響應(yīng)的影響，采用平均晶粒大小對晶體結(jié)構(gòu)進行統(tǒng)計學(xué)描述，并對平均晶粒尺寸10、100 和1 000 μm 的YAG 透明陶瓷的應(yīng)力-應(yīng)變曲線進行計算，結(jié)果如圖8 所示。從圖中可以看出：隨著晶粒尺寸的增加，YAG 透明陶瓷的峰值應(yīng)力和斷裂應(yīng)變均會減小，這是因為，隨著晶粒尺寸的不斷增加，晶粒之間所能容納的缺陷尺寸會隨之增加，這就使得裂紋尖端應(yīng)力強度因子增大，而在材料宏觀斷裂韌性不變的條件下，應(yīng)力強度因子增加會迫使材料更易失效；晶粒尺寸對YAG 透明陶瓷的影響規(guī)律并沒有發(fā)生顯著變化，隨著晶粒尺寸的增加，YAG 透明陶瓷的峰值應(yīng)力和斷裂應(yīng)變均呈現(xiàn)出下降趨勢，這與前述分析一致；隨著應(yīng)變率的不斷上升，不同晶粒尺寸的YAG 透明陶瓷的峰值應(yīng)力和斷裂應(yīng)變均有所上升，這與2.1 節(jié)分析一致。

2.4 透明陶瓷材料初始缺陷分布密度

初始缺陷分布密度f 描述的是材料中隨機分布初始缺陷的數(shù)量，初始缺陷分布密度越大，表示材料單位體積內(nèi)初始缺陷數(shù)量越多，材料初始損傷程度越嚴(yán)重。為探究不同初始損傷程度對YAG 透明陶瓷破壞特性的影響，定義裂紋分布密度系數(shù)g2 為1/ f 1/3 = g2d。圖9 給出了g2 分別為1、6、72 三種不同情況下YAG 透明陶瓷的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的計算結(jié)果。

從圖9 可以看出，隨著g2 增加（即f 減小），YAG 透明陶瓷的失效強度逐漸增加。材料失效強度增加的原因可分為2 方面：一，損傷參數(shù)增長速度與初始缺陷分布密度成正相關(guān)，初始缺陷分布密度減小，損傷參數(shù)增長速度隨之減小；二，初始缺陷分布密度的減小，裂紋間相互作用對應(yīng)力強度因子產(chǎn)生的額外影響就會減弱，直接導(dǎo)致裂紋尖端應(yīng)力強度因子的減小，材料抵抗裂紋擴展的能力增加。

另外應(yīng)變率的變化不會使初始缺陷分布密度對YAG 透明陶瓷的影響規(guī)律產(chǎn)生顯著變化，隨著初始缺陷分布密度的降低，YAG 透明陶瓷的峰值應(yīng)力和斷裂應(yīng)變會隨之增加，這與前述分析一致；YAG 透明陶瓷的峰值應(yīng)力和斷裂應(yīng)變隨應(yīng)變率的增加而增加，這與2.1 節(jié)分析一致。

3 微結(jié)構(gòu)特征對陶瓷材料沖擊破壞作用特性的影響

為更直觀地探究材料微結(jié)構(gòu)對YAG 透明陶瓷沖擊破壞作用過程的影響，開展不同晶粒尺寸及初始缺陷分布密度（裂紋分布密度計算公式為1/ f 1/3 = g2d）下YAG 透明陶瓷破壞過程的數(shù)值模擬。

參考韓國慶等[26] 開展的YAG 透明陶瓷邊緣沖擊實驗：實驗過程中，在彈靶接觸位置，靶體會產(chǎn)生粉碎區(qū)（圖10 中高亮白色區(qū)域），主裂紋擴展速度大于粉碎區(qū)擴展速度，粉碎區(qū)會在某一時刻停止擴展，在粉碎區(qū)前端，會出現(xiàn)明顯的縱向裂紋擴展，主裂紋會隨著時間增加而不斷向靶體邊緣擴展，當(dāng)主裂紋到達靶體邊緣，靶體的破壞過程結(jié)束。

建立計算模型如圖11 所示，直徑9 mm 破片以237 m/s 的速度撞擊90 mm×90 mm×9 mm 的YAG 透明陶瓷側(cè)面，網(wǎng)格尺寸為1 mm，YAG 透明陶瓷參數(shù)取自表1，破片參數(shù)參考文獻[27]。計算結(jié)果如圖12 所示：虛線代表反射波的波陣面位置，顏色深淺代表損傷的嚴(yán)重程度，損傷越嚴(yán)重，顏色越深，深紅色表示完全損傷，紅色實線為不同時刻靶體裂紋擴展情況。

從模擬結(jié)果可以看出，在破片撞擊靶體初期，在破片下方會產(chǎn)生深紅色損傷區(qū)域（粉碎區(qū)）和淡藍色損傷區(qū)域；隨著時間增加，破片下方深紅色損傷區(qū)域會不斷增加并在約19 μs 時停止擴展，在反射波陣面與淡藍色損傷區(qū)域交界處，產(chǎn)生了區(qū)別于粉碎區(qū)的縱向損傷區(qū)域。

模擬獲得的宏觀主裂紋擴展距離lcrack 與實驗結(jié)果對比如圖13 所示。圖13 表明對于主裂紋擴展長度的模擬預(yù)測與實驗結(jié)果的誤差基本在15% 以內(nèi)。因此，由圖12 和圖13 可知模型結(jié)算結(jié)果與實驗吻合良好，驗證了模型的可靠性以及計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，可以以此為基礎(chǔ)開展晶粒大小以及初始缺陷分布密度對YAG 透明陶瓷破壞特征影響規(guī)律分析。

3.1 晶粒尺寸的影響

晶粒尺寸（d=40， 100， 150 μm）對YAG 透明陶瓷破壞特征影響的數(shù)值模擬結(jié)果如圖14～圖16 所示。深藍色區(qū)域代表未損傷區(qū)域，其他區(qū)域根據(jù)顏色深淺區(qū)分損傷程度，顏色越深，損傷程度越大，深紅色區(qū)域代表完全損傷。圖中紅色實線代表材料宏觀裂紋，虛線表示反射波的波陣面。

首先，材料具有兩個完全損傷區(qū)域（粉碎區(qū)和縱向損傷區(qū)域），其中沿破片沖擊方向出現(xiàn)的紅色粉碎區(qū)，是由于破片撞擊YAG 透明陶瓷時產(chǎn)生的壓應(yīng)力導(dǎo)致的。靶體中部的縱向損傷區(qū)域由破片沖擊靶體引起的壓應(yīng)力與靶體自由面反射波綜合作用而形成，縱向損傷區(qū)域沿著波陣面在靶體內(nèi)演化，靶體底部受反射波作用而損傷。

隨著晶粒尺寸增大，破片下方的損傷區(qū)域面積、粉碎區(qū)面積以及裂紋擴展長度隨之增大，宏觀裂紋數(shù)量也隨之增加。靶體縱向損傷區(qū)域會隨著晶粒尺寸增大而不斷向靶體底部移動。陶瓷靶底部破壞程度會隨著晶粒尺寸的減小而減弱，當(dāng)晶粒尺寸為40 μm 時，靶體底部損傷區(qū)域不明顯。

YAG 透明陶瓷的破壞會隨著晶粒增大而加劇，這與前述2.3 節(jié)分析結(jié)果相符。宏觀裂紋擴展速度vcrack 隨晶粒尺寸增長，呈現(xiàn)出先快速增加而后平緩的趨勢，計算結(jié)果見圖17。

3.2 始缺陷分布密度的影響

初始缺陷分布密度（g2=6， 10， 12）對YAG 透明陶瓷破壞特征影響的數(shù)值模擬結(jié)果如圖18～圖21 所示。圖18～20 中，靶體中間位置由壓應(yīng)力和反射拉應(yīng)力共同作用形成縱向損傷區(qū)域，靶體底部出現(xiàn)宏觀裂紋擴展并與縱向損傷區(qū)域相連，深紅色粉碎區(qū)在19 μs 停止演化，主裂紋隨時間不斷擴展并在靶體邊界停止擴展。

隨著初始缺陷分布密度的增加，YAG 透明陶瓷的主裂紋擴展長度隨著增加。對比圖14～15 以及圖18～20 可以看出，初始缺陷分布密度對于宏觀破壞特征的影響并不顯著。這是因為對應(yīng)力傳播過程而言，晶粒尺寸的影響占據(jù)主導(dǎo)地位，對裂紋分布密度并不敏感，裂紋分布密度主要影響材料損傷演化過程。根據(jù)圖21可知，裂紋擴展速度與初始缺陷分布密度系數(shù)（g2）之間成線性關(guān)系，裂紋擴展速度隨著g2 增加而減小。

4 結(jié) 論

基于Deshpande-Evan （DE） 模型跟蹤外載荷作用下材料內(nèi)部微結(jié)構(gòu)的演變過程，并結(jié)合二次開發(fā)利用ABAQUS 有限元軟件分析了晶粒尺寸及裂紋分布對YAG 透明陶瓷宏觀破壞特性的影響規(guī)律，完善了以YAG 透明陶瓷為典型代表的脆性材料沖擊加載下的動態(tài)力學(xué)行為分析方法，得到了如下結(jié)論：

（1） 改進的本構(gòu)模型可以描述YAG 微結(jié)構(gòu)對透明陶瓷力學(xué)響應(yīng)及宏觀破壞特征的影響，為陶瓷材料結(jié)構(gòu)設(shè)計提供支撐；

（2） 晶粒尺寸增加，YAG 透明陶瓷失效強度和斷裂應(yīng)變不斷降低；裂紋分布密度增加，YAG 透明陶瓷失效強度和斷裂應(yīng)變會降低；YAG 透明陶瓷失效強度和斷裂應(yīng)變對晶粒尺寸敏感程度要高于裂紋分布密度；隨著應(yīng)變率不斷增加，YAG 透明陶瓷在不同因素影響（晶粒尺寸以及初始缺陷分布密度） 下的峰值應(yīng)力和斷裂應(yīng)變均隨之增加；

（3） 隨著晶粒尺寸和裂紋分布密度的不斷增加，YAG 透明陶瓷的破壞程度逐漸加劇，完全損傷區(qū)域面積增加，但晶粒尺寸對YAG 透明陶瓷宏觀破壞特征的影響程度要大于裂紋分布密度；裂紋擴展速度會隨著晶粒尺寸的增加而增加，但其增長趨勢會逐漸減小并趨向平緩，而與裂紋密度系數(shù)成線性關(guān)系。

參考文獻：

[1]胡澤望， 陳肖樸， 劉欣， 等. 微量SiO2 添加對Pr： Lu3Al5O12 陶瓷光學(xué)及閃爍性能的影響 [J]. 無機材料學(xué)報， 2020， 35（7）：796–802. DOI： 10.15541/jim20190418.

HU Z W， CHEN X P， LIU X， et al. Trace SiO2 addition on optical and scintillation property of Pr： Lu3Al5O12 ceramics [J].Journal of Inorganic Materials， 2020， 35（7）： 796–802. DOI： 10.15541/jim20190418.

[2] 盧緒高. 軋膜成型氮化硅陶瓷的組織結(jié)構(gòu)與導(dǎo)熱性能研究 [D]. 哈爾濱： 哈爾濱工業(yè)大學(xué)， 2019.

[3]TAYLOR L M， CHEN E P， KUSZMAUL J S. Microcrack-induced damage accumulation in brittle rock under dynamic loading [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 1986， 55（3）： 301–320. DOI： 10.1016/0045-7825（86）90057-5.

[4]RAJENDRAN A M， KROUPA J L. Impact damage model for ceramic materials [J]. Journal of Applied Physics， 1989， 66（8）：3560–3565. DOI： 10.1063/1.344085.

[5]STEINBERG D J. Computer studies of the dynamic strength of ceramics [C]//Proceedings of the 18th International"Symposium on Shock Waves. Senda： Springer， 1991： 415–422. DOI： 10.1007/978-3-642-77648-9_64.

[6]JOHNSON G R， HOLMQUIST T J. A computational constitutive model for brittle materials subjected to large strains， high"strain rates， and high pressures [M]// Shock Wave and High-Strain-Rate Phenomena in Materials. CRC Press， 1992： 1075–1082. DOI： 10.1115/1.4004326.

[7]JOHNSON G R， HOLMQUIST T J. An improved computational constitutive model for brittle materials [J]. AIP Conference"Proceedings， 1994， 309（1）： 981–984. DOI： 10.1063/1.46199.

[8]JOHNSON G R， HOLMQUIST T J， BEISSEL S R. Response of aluminum nitride （including a phase change） to large strains，high strain rates， and high pressures [J]. Journal of Applied Physics， 2003， 94（3）： 1639–1646. DOI： 10.1063/1.1589177.

[9]WILKINS M. Second progress report of light armor program [R]. Livermore： Lawrence Livermore National Laboratory， 1967.DOI： 10.2172/7156835.

[10]CHAKRABORTY S， ISLAM R I， SHAW A， et al. A computational framework for modelling impact induced damage in"ceramic and ceramic-metal composite structures [J]. Composite Structures， 2017， 164： 263–276. DOI： 10.1016/j.compstruct.2016.12.064.

[11]REN H L， ZHUANG X Y， RABCZUK T. Implementation of GTN model in dual-horizon peridynamics [J]. Procedia"Engineering， 2017， 197： 224–232. DOI： 10.1016/j.proeng.2017.08.099.

[12]唐瑞濤， 徐柳云， 文鶴鳴， 等. 陶瓷材料宏觀動態(tài)新本構(gòu)模型 [J]. 高壓物理學(xué)報， 2020， 34（4）： 044201. DOI： 10.11858/gywlxb.20190863.

TANG R T， XU L Y， WEN H M， et al. A macroscopic dynamic constitutive model for ceramic materials [J]. Chinese Journal"of High Pressure Physics， 2020， 34（4）： 044201. DOI： 10.11858/gywlxb.20190863.

[13]RAJENDRAN A M. Modeling the impact behavior of AD85 ceramic under multiaxial loading [J]. International Journal of"Impact Engineering， 1994， 15（6）： 749–768. DOI： 10.1016/0734-743x（94）90033-h.

[14]RAJENDRAN A M， GROVE D J. Modeling the shock response of silicon carbide， boron carbide and titanium diboride [J].International Journal of Impact Engineering， 1996， 18（6）： 611–631. DOI： 10.1016/0734-743x（96）89122-6.

[15]ESPINOSA H D， ZAVATTIERI P D， DWIVEDI S K. A finite deformation continuum＼discrete model for the description of"fragmentation and damage in brittle materials [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 1998， 46（10）： 1909–1942.DOI： 10.1016/s0022-5096（98）00027-1.

[16]任會蘭， 寧建國. 沖擊壓縮下準(zhǔn)脆性材料含微裂紋損傷的本構(gòu)模型 [J]. 材料工程， 2007（3）： 18–21. DOI： 10.3969/j.issn.1001-4381.2007.03.005.

REN H L， NING J G. Micro-cracks damage constitutive model of quasi-brittle materials subjected to shock compression [J].Journal of Materials Engineering， 2007（3）： 18–21. DOI： 10.3969/j.issn.1001-4381.2007.03.005.

[17]任會蘭， 寧建國. 強沖擊載荷下氧化鋁陶瓷的力學(xué)特性及本構(gòu)模型 [J]. 北京理工大學(xué)學(xué)報， 2007， 27（9）： 761–764， 796.DOI： 10.3969/j.issn.1001-0645.2007.09.003.

REN H L， NING J G. Mechanical characteristics and constitutive model of alumina ceramic subjected to shock loading [J].Transactions of Beijing Institute of Technology， 2007， 27（9）： 761–764， 796. DOI： 10.3969/j.issn.1001-0645.2007.09.003.

[18]ASHBY M F， SAMMIS C G. The damage mechanics of brittle solids in compression [J]. Pure and Applied Geophysics， 1990，133（3）： 489–521. DOI： 10.1007/BF00878002.

[19]WANG D， ZHAO J， ZHOU Y H， et al. Extended finite element modeling of crack propagation in ceramic tool materials by"considering the microstructural features [J]. Computational Materials Science， 2013， 77： 236–244. DOI： 10.1016/j.commatsci.2013.04.045.

[20]VIGLIOTTI A， DESHPANDE V S， PASINI D. Non linear constitutive models for lattice materials [J]. Journal of the"Mechanics and Physics of Solids， 2014， 64： 44–60. DOI： 10.1016/j.jmps.2013.10.015.

[21]DESHPANDE V S， EVANS A G. Inelastic deformation and energy dissipation in ceramics： a mechanism-based constitutive"model [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 2008， 56（10）： 3077–3100. DOI： 10.1016/j.jmps.2008.05.002.

[22]DESHPANDE V S， GAMBLE E A N， COMPTON B G， et al. A constitutive description of the inelastic response of ceramics [J].Journal of the American Ceramic Society， 2011， 94（S1）： s204–s214. DOI： 10.1111/j.1551-2916.2011.04516.x.

[23]LAHIRI S K， SHAW A， RAMACHANDRA L S. On performance of different material models in predicting response of"ceramics under high velocity impact [J]. International Journal of Solids and Structures， 2016， 176-177： 96–107. DOI： 10.1016/j.ijsolstr.2019.05.024.

[24]GAMBLE E A， COMPTON B G， DESHPANDE V S， et al. Damage development in an armor ceramic under quasi-static"indentation [J]. Journal of the American Ceramic Society， 2011， 94（S1）： s215–s225. DOI： 10.1111/j.1551-2916.2011.04472.x.

[25]ASHBY M F， HALLAM S D. The failure of brittle solids containing small cracks under compressive stress states [J]. Acta"Metallurgica， 1986， 34（3）： 497–510. DOI： 10.1016/0001-6160（86）90086-6.

[26]韓國慶， 張先鋒， 談夢婷， 等. 邊緣沖擊（EOI） 作用下透明陶瓷破壞特性研究 [J]. 爆炸與沖擊， 2022， 42（5）： 053102. DOI：10.11883/bzycj-2021-0292.

HAN G Q， ZHANG X F， TAN M T， et al. Failure characteristics of three transparent ceramics materials under the edge-on"impact loading [J]. Explosion and Shock Waves， 2022， 42（5）： 053102. DOI： 10.11883/bzycj-2021-0292.

[27]馬坤， 李名銳， 陳春林， 等. 修正金屬本構(gòu)模型在超高速撞擊模擬中的應(yīng)用 [J]. 爆炸與沖擊， 2022， 42（9）： 091406. DOI：10.11883/bzycj-2021-0315.

MA K， LI M R， CHEN C L， et al. The application of a modified constitutive model of metals in the simulation of"hypervelocity impact [J]. Explosion and Shock Waves， 2022， 42（9）： 091406. DOI： 10.11883/bzycj-2021-0315.

（責(zé)任編輯 王小飛）

基金項目： 國家自然科學(xué)基金（12102200， 12141202）；江蘇省自然科學(xué)基金（BK20210320）