基于GeoGebra的高中數學探究式教學實踐策略

在現代科技不斷進步的背景下，信息技術成了高中數學教學主要應用的輔助手段，基于GeoGebra的數學教學模式應運而生。與此同時，高中數學教育方法不斷改革，以往灌輸式的教學模式逐漸被探究式教學取代，旨在培養學生數學探究意識與能力，助力學生數學核心素養的提升。將GeoGebra與探究式教學模式相融合，有望發揮兩者的優勢，打造高效的數學課堂。因此，分析基于GeoGebra的高中數學探究式教學策略具有非常突出的現實意義。

一、GeoGebra在高中數學探究式教學中的實踐意義

（一）激發學生數學學習興趣

GeoGebra是一款具備基礎幾何、代數功能，同時還蘊含著在線微積分處理、概率統計、數據表計算等功能的動態數學作圖軟件。將GeoGebra應用到高中數學探究式教學中，可以借助作圖功能，直觀展現目標圖形，整體操作簡單，繪圖工具豐富，可以激發學生的操作興趣。同時，GeoGebra特有的動態演示功能，可以將數學探究成果轉化為動態圖形，刺激學生的感官，吸引學生積極參與探究過程。

（二）提升數學課堂教學效果

高中數學知識數量、難度進一步增加，眾多抽象知識的編排，對師生提出了較大的挑戰，也阻礙著學生探究過程的順利開展。利用GeoGebra，可以直觀展示圓錐曲線的抽象內容，完美整合數與形，并精準描繪、動態展現幾何圖形的生成過程，同步展示圖形對應的解析式，促使圖形變化的過程清晰明了，降低學生的學習難度、教師的講解難度，提升數學課堂探究式教學效果。

（三）促進學生學科素養提升

培養學生數學核心素養是高中數學課堂探究式教學的主要任務，涉及了理性思維、實踐能力、科學精神、創新意識、思維能力等幾個維度。將GeoGebra應用到高中數學探究式教學過程，可以輕松完成圖形的多種變換、數形的完美結合，加深學生對概念的理解，提升學生思維的深刻性、廣闊性與敏捷性。同時，GeoGebra可以對比展示內容，靈活變換已有條件，便于學生探索問題的多種解法，提升學生思維的靈活性、批判性，為學生學科素養提升提供依據。

二、基于GeoGebra的高中數學探究式教學實踐原則

（一）學生主體原則

學生是高中數學課堂探究式教學的主體，在基于GeoGebra的探究式教學全程，教師應貫徹學生主體原則，為學生提供自主探究的空間，允許學生在課堂上探究新知識、思考疑難問題、交流階段成果、動手驗證結果。具體到GeoGebra應用中，教師負責制作課件，學生需要思考GeoGebra作圖或運算過程，追溯涉及的數學思想，在思考探究中持續加深對相關數學知識的理解。

（二）課時均衡原則

課時均衡原則是GeoGebra優勢在高中數學探究式教學實踐中充分發揮的關鍵原則。在課時均衡原則指導下，教師應當協調效率、效果、效益，利用GeoGebra有效代替粉筆、黑板，但不能全部取代粉筆黑板。在課堂上，教師可以利用GeoGebra作圖，簡化講解步驟，縮短黑板作圖課時，但應避免過于追求動畫逼真效果而將大量課時耗費在作圖上，確保課堂進度。

（三）因材施教原則

在高中數學探究式教學中，不同學生探究意識與能力存在一定的差異，對GeoGebra的掌握水平也具有一些區別。基于此，教師應貫徹因材施教原則，綜合考慮不同學生數學探究意識、能力，以及對GeoGebra認識差異，針對同一個知識點進行調整。在實踐中，對于探究意識與能力較強的學生，選擇先講解思路后利用GeoGebra直接展示圖形的形式；而對于探究意識與能力較弱的學生，則選擇利用GeoGebra逐步展示知識形成過程的方式，降低學生理解的難度。

三、基于GeoGebra的高中數學探究式教學實踐策略

（一）選擇探究內容

在基于GeoGebra的數學探究式教學中，探究內容的選擇至關重要。在內容選擇前，教師應分析現有內容、目標，結合學生實際情況，確定最適宜探究內容。根據所選擇的數學探究內容，教師可以回顧GeoGebra技術特點，嘗試設計制作GeoGebra數學探究課件。

蘇教版普通高中數學教科書在信息技術引用模塊進行了調整，淡化了算法應用，突出了數學探究，不同信息水平自主發揮空間更大，為信息技術與數學學科探究式教學融合提供了充足載體。以蘇教版數學選修1-1“橢圓及其標準方程”為例，課程為學生接觸圓錐曲線的初始環節，主要內容為橢圓定義、標準方程，均為概念性知識，學生對橢圓幾何性質的掌握情況，直接影響到后續雙曲線、拋物線的學習。從學生現狀來看，多數學生初步認識了解析幾何，可以借助坐標系分析幾何圖形，但無法利用數學語言精準描述橢圓概念，也缺乏橢圓方程探究技能。基于此，教師可以將“橢圓的標準方程”作為探究內容，利用GeoGebra演示圓錐曲線的來歷，并直觀展示橢圓的形成過程。同時，教師可利用GeoGebra動態演示功能制作課件，可視化表現橢圓焦點位置的判斷過程，為基于GeoGebra的數學探究式教學過程提供充足支持。

（二）創設探究情境

恰當創設探究情境，可以在激發高中生探究興趣的同時，縮短學生進入探究的時間。圓錐是GeoGebra自帶的作圖工具，利用GeoGebra可以簡單做出自由控制的圓錐平面圖。基于此，在蘇教版數學選修1-1“橢圓及其標準方程”探究情境創設時，教師可以利用GeoGebra展示橢圓軌跡，即在GeoGebra中，取兩個定點F1、F2，以F1為中心作圓，在圓上任意取一點N，連接線段NF2，做線段NF2的中垂線與NF1相交于點M，將學生的視線引入點M的軌跡以及軌跡形成過程幾何特征上。為了幫助學生直觀感受圓錐曲線，教師可以先創設2個滑動條，控制平面在x軸、z軸方向移動，再以原點為中心，以z軸為軸線，做一個半頂角一定的圓錐面，并展現平面與圓錐面相交軸線。隨后教師可以定義一點，過點做平行于y軸的直線，輸入直線坐標和另外一點，做以直線為軸且經過另外一點的圓，為平面創設一個圓的旋轉軌跡。在這個基礎上，教師可以利用GeoGebra右擊屬性，修改控制截面與圓錐面軸夾角為0°～90°，做另外一點繞直線旋轉的對稱點。在為平面設置旋轉角后，教師可以由對稱點和直線確定動平面，最終利用GeoGebra“相交曲線”命令顯示圓錐、截面相交的圓錐曲線。在展示橢圓軌跡的同時，教師可以關聯行星繞太陽運動軌跡、國家大劇院、雞蛋等圖形，使學生認識到現實生活中橢圓的應用，引出探究主題“橢圓”。

（三）提出探究問題

探究問題是基于GeoGebra的高中數學探究式教學的核心。教師應注重引導學生自主發現、提出探究問題，初步激發學生探究意識、探究能力。在問題提出環節，教師應提前了解學生已有知識儲備，提出學生根據已有知識無法解決的挑戰性問題，以引發學生認知沖突，激發學生質疑意識，促使更多學生自主參與到后期探究活動中。例如，在蘇教版數學選修1-1“拋物線及其標準方程”中，鑒于多數高中生已學習了“離心率大于0且小于1的圓錐曲線是橢圓，離心率大于1的圓錐曲線是雙曲線”等知識，教師可以“圓錐曲線的統一定義”為立足點，提出“如何得到一個拋物線的圖形，并求解拋物線的標準方程”的問題，教師可以利用GeoGebra創設拋物線圖形，并插入數學對象的名稱、數值、定義，便于學生直觀獲知問題信息。

面對上述問題，多數學生可以直接聯想到拋物線是離心率等于1的圓錐曲線，但無法精準獲得拋物線圖形及其標準方程。由此，學生可以認識到自身知識盲區，產生探究欲望。對于部分問題意識較為薄弱的學生，教師應遵循高中數學問題探究邏輯，利用否定屬性的策略，適當變更原有問題條件，為學生的問題發現意識、提出能力的發展提供更多條件。例如，在圓錐曲線中，教師可以利用GeoGebra將“兩定點距離之和（或之差）”轉變為“兩定點距離之積（或之商）”，或者將“到兩定點F1、F2距離之和的絕對值為定值，但絕對值小于|F1F 2|”將肯定轉變為否定，引導學生自主發現、提出問題，為學生問題意識的增強提供依據。

（四）實施探究活動

探究活動的實施是基于GeoGebra的高中數學探究式教學關鍵步驟，教師可以貫徹學生主體原則，選擇學生自主探究或合作探究方式。作為數學探究式教學最核心部分，探究活動主要以任務為載體，教師負責下發學生自主探究任務，學生負責根據任務內容展開探究，在學生探究期間教師應注重巡視指導。例如，在圓錐曲線探究活動中，教師可以借助前期GeoGebra內制作的圓錐及截面，分別設計截面與圓錐面軸之間夾角為0°的截線、截面與圓錐面軸之間夾角為90°的截線、截面與圓錐面軸之間夾角為0°～90°時的截線探究任務。在截面、圓錐面軸之間夾角為0°～90°時，截線截得的圓錐曲線形式具有一定差異，教師可以在展示截面、圓錐面軸之間夾角為0°～90°內截面的不同情況（見圖1）基礎上，要求學生探索相應情況對應的參數。

（五）交流探究成果

在階段探究成果獲得后，教師可以引導學生根據前期探究經驗進行成果交流。探究成果交流主體不僅限于學生，還包括師生交流。教師應恰當利用師生對話方式，積極組織對話活動，與學生展開平等信息交流，有意激發學生探究成果表達意識，并引導更多學生參與到課堂交流中。例如，教師可以就“如何探究橢圓的標準方程”與學生進行交流，引導學生從“建立坐標系”著手，發表個人或小組探究成果，如根據橢圓對稱性以焦點所在直線為x軸、焦點連線中垂線為y軸，或者以焦點連線中垂線為x軸、焦點所在垂線為y軸。在學生個體或小組發表看法后，教師應及時給予肯定意見，恰當利用激勵性語言，培養學生的探究自信。

（六）延伸探究空間

在課內探究基礎上，教師可以利用GeoGebra將探究內容延伸到課外，激發學生立足生活場景探究數學知識的熱情。例如，教師可以利用GeoGebra呈現一個“平面截圓錐面”模型，預留“點光源照射球面”時地面影子的各種情況探究任務，即：“一個點光源照射一個地面上的籃球，籃球半徑為r，地面上的籃球影子可能是什么圖形？”在基于現實生活背景的課后探究任務布置的基礎上，教師可以根據課上學習內容，發揮GeoGebra優勢，對相關內容進行適當變形，提高解題難度，進一步培養學生發現、探究問題的能力。例如，課上問題是：動圓M過定圓O內一點N，且與圓O內切，探求動圓圓心M的軌跡。課下探究可在探究內容一定情況下，適當變更題設條件，如動圓M過定圓O外一點N，且與圓O外切。

課后延伸探究任務提出后，教師可以要求學生利用課下時間查閱資料，并經歷GeoGebra作圖過程，借助視圖中GeoGebra“查看作圖過程”功能，自主開展情況模擬、數據收集、合作探究等活動，點燃學生關于數學探究的興趣。

綜上所述，借助高中數學實踐活動開展契機，將GeoGebra這一動態教學軟件應用到探究式教學中，有利于學生在課堂上更好地理解數學知識發生、發展過程，激發學生數學學習興趣，改善高中數學課堂教學效果，促進學生學科素養的提升。因此，教師應貫徹學生主體原則、課時均衡原則、因材施教原則，恰當選擇適宜GeoGebra探究式教學的內容，科學組織GeoGebra探究式教學活動，充分發揮GeoGebra優勢，促進數學探究式教學目標的高效達成。

【本文系鎮江市2021年度中小學教育教學研究課題“新課程下GeoGebra融入高中數學探究教學實踐研究”（課題編號：2021jky-L347）的研究成果。】