巧建慣性參考系解決反沖類問題

摘 要：教材不僅是核心知識的載體，更有很多素材為學生深度學習和高階思維的培養埋下了“伏筆”。以人教版“反沖現象 火箭”一節為例，結合教材正文、課后習題、教參解答等素材進行重新加工、拓展遷移，從而促成高中階段學生對火箭發射及動量守恒問題的深度學習。

關鍵詞：慣性參考系；動量守恒；反沖現象

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）10-0018-3

收稿日期：2024-07-23

作者簡介：吳曉明（1981-），男，中學高級教師，主要從事高中物理教學工作。

我國早在宋代就發明了火箭，并在航空航天、火箭等技術方面取得了舉世矚目的成就。人教版高中物理選擇性必修一教材第一章第6節中從動量守恒定律的視角講述了火箭發射的基本原理——反沖現象。它既涵蓋了核心知識的學習，同時又是學生情感態度價值觀培養的良好載體，并且課本正文也為學生高階思維的培養即慣性參考系的轉換埋下伏筆。本文從教材正文的啟發、課后習題的拓展、模型理解的深化三個角度對其進行重構，彰顯對核心知識的深度復習，突出科學思維能力的進階培養，進一步提升高中階段學生對火箭升空問題的認知。

1 課本正文，醍醐灌頂

課本正文部分點明建立合適的慣性參考系，研究火箭噴射燃料后獲得的速度增量問題。

例1 （課本原文呈現）設火箭飛行時在極短時間Δt內噴射燃氣的質量為Δm，噴出的燃氣相對噴氣前火箭的速度為u，噴出燃氣后火箭質量為m。我們可以計算出火箭在這樣一次噴氣后增加的速度Δv。［1］

以噴氣前的火箭為參考系。噴氣前火箭動量為0，噴氣后火箭動量為mΔv，燃氣動量為Δmu。根據動量守恒定律，噴氣后火箭與燃氣的總動量仍然為0，所以

mΔv+Δmu=0 （1）

解出

Δv=-u（2）

這里取的參考系已經不局限于地面這個常見的慣性參考系。在該參考系下，計算燃料燃燒后火箭獲得的速度增量明顯更為方便。為此，本文重點都在非地面的慣性參考系下解決問題，有時候可以帶來意想不到的收獲。在教學中，需要學生理解這一做法的正確性和必要性，這也非常有利于學生核心素養的培養。我們分別以本節課后兩道練習題為例來闡釋。

2 課后練習一，相輔相成，一題多解

例2 用火箭發射人造地球衛星，假設最后一級火箭的燃料用完后，火箭殼體和衛星一起以v=7×103 m/s的速度繞地球做勻速圓周運動。已知衛星的質量為m0=500 kg，最后一級火箭殼體的質量為m=100 kg。某時刻火箭殼體與衛星分離，分離時衛星與火箭殼體沿軌道切線方向的相對速度為u=1.8×103 m/s。試分析計算：分離后衛星的速度是多大？火箭殼體的速度是多大？［1］

2.1 解法一（教師教學用書解法）

設分離后衛星與火箭殼體相對地面的速度分別為v1、v2，分離時系統在軌道切線方向上動量守恒，有［2］

（m0+m）v=m0 v1+mv2（3）

且衛星與火箭殼體的相對速度

u=v1-v2=1.8×103 m/s（4）

解得v1=7.3×103 m/s，v2=5.5×103 m/s

2.2 解法二（轉換參考系）

取分離前瞬間，火箭殼體和衛星為參考系，且該時刻速度方向為正方向。

分離后衛星與火箭殼體相對該參考系的速度分別為v1'、v2'，分離時系統在軌道切線方向上動量守恒，且系統總動量為0，則

0=m0 v1'+mv2'（5）

又衛星與火箭殼體的相對速度

u=v1'-v2'=1.8×103 m/s（6）

解得v1'=0.3×103 m/s，v2'=-1.5×103 m/s

所以，在地面參考系下

v1=v1'+v=7.3×103 m/s，v2=v2'+v=5.5×103 m/s

解決該問題時，學生往往會采用解法一，因為該解法使用公式更少、更方便。強調此題的兩種解法是為了幫助學生熟悉轉換慣性參考系解決問題的思路，同時也說明了不同慣性參考系下動量守恒定律的普遍適用性，為以后通過轉換不同的慣性參考系來解決復雜問題奠定基礎。

3 課后練習二，對比顯著

例3 一個士兵坐在皮劃艇上，他連同裝備和皮劃艇的總質量為M=120 kg。這個士兵用自動步槍在2 s內沿水平方向連續射出10發子彈，每發子彈的質量為m0=10 g，子彈離開槍口時相對步槍的速度為u=800 m/s。射擊前皮劃艇處于靜止狀態，不考慮水的阻力。［1］

（1）每次射擊后皮劃艇的速度改變多少？

（2）連續射擊后皮劃艇的速度多大？

3.1 解法一（教師教學用書解法）

（1）取子彈射出的反方向為正方向［2］。

設第1發子彈射出后皮劃艇的速度大小為v1，由動量守恒定律可知

0=（M-m0）v1+m0（v1-u）（7）

解得v1=u

設第2發子彈射出后皮劃艇的速度大小為v2，由動量守恒定律可知

（M-m0）v1=（M-2m0）v2+m0（v2-u）（8）

解得v2-v1=

設第3發子彈射出后皮劃艇的速度大小為v3，由動量守恒定律可知

（M-2m0）v2=（M-3m0）v3+m0（v3-u）（9）

解得v3-v2=

……

若第10發子彈射出后皮劃艇的速度大小為v10，由動量守恒定律可知

（M-9m0）v9=（M-10m0）v10+m0（v10-u）（10）

解得v10-v9=

通過歸納得出，射出n發子彈，每次射擊后皮劃艇速度的改變量

Δv== m/s（11）

（2）連續射擊10次后，可得

v10=++…+=0.67 m/s

該解法雖然比較清晰地將每發子彈的射出過程展現出來，但是代數運算比較繁瑣，有沒有較為簡潔的求解方法呢？不少教師可能擔心學生能力跟不上，從而避而不談。其實，在上個例題分析清楚的情況下，我們完全可以通過巧取慣性參考系的方法來解決該問題。

3.2 解法二（轉換參考系）

（1）設皮劃艇、槍（含子彈）及人構成的系統的質量為M，每發子彈的質量為m0，子彈相對步槍的速度大小為u。以（n-1）發子彈射出后皮劃艇后退的速度為參考系。當槍再打出第n發子彈后，子彈m0的速度為v0，皮劃艇后退的速度為v'n，因為參考系選得巧妙，這里皮劃艇后退的速度v'n就是我們需要求解的射出第n發子彈后皮劃艇速度的改變量Δv。

由動量守恒定律（總動量為0）可得

（M-nm0）v'n+m0v0=0（12）

由相對速度公式可知

v'n-v0=u（13）

聯立兩式解得

v'n=Δv== m/s（14）

（2）連續射擊10次后，可得

v10=∑Δv= m/s=0.67 m/s（15）

解法二計算結果與解法一相同，但是計算量卻大大減少，由此可見，選取合適的慣性參考系，是高效解決動量守恒定律問題的關鍵。

4 延伸拓展，萬法歸一

火箭模型中，氣體的噴射并不像前面所處理例題中子彈一顆顆發射那樣，火箭氣體的噴射具有連續性，對于這樣一個實際問題，又該如何處理呢？我們不妨抓住主要矛盾，建立一個理想化的火箭模型來分析。

例4 近代火箭是利用把燃料燃燒后的廢氣逐漸向外噴出的辦法來增加火箭自身的運動速度。設噴出廢氣的相對速度沿物體軌道切向，且為一個常量u；火箭在運行中不受任何外力作用；火箭起始質量為M，空火箭質量為ms，求當燃料燒完時，火箭能夠達到的速度。［3］

根據變質量物體的基本運動微分方程（密舍爾斯基方程），可知［4］

m=-u（16）

利用初始條件，兩邊積分

=-（17）

當燃料燒完時，火箭能夠達到的速度為

v=uln（18）

從代數形式上來看，（15）式與（18）式有巨大的差異，但是如果我們將火箭噴射氣體的過程無限細分之后，可以看成一小份一小份氣體被火箭接連噴出，這時一份一份的氣體和上述例題中槍射出的一發一發子彈有極大的相似性。我們不妨大膽地將（18）式代入上述例3中，看看會有什么新的發現。

v=uln=800×ln=

0.666 944 599 m/s

由（15）式計算出

v10==0.666 916 799 m/s

對比可知Δv1=v-v10=2.78×10-5 m/s

二者還是有細微差距，為了尋找其中的原因，我們不妨將例3中單發質量m0=10 g的10發子彈，重新加工成單發質量m'0=1 g的100發子彈，前后兩種情況下子彈總質量相同，并讓每發子彈仍以相同的相對速度u=800 m/s射出槍口，則根據例3解法二可知，100發子彈射擊完成1zL59Gr5ZuJAHnfN4WyszfemdM8nyCqpcNvwJn6JBY8=后，皮劃艇的速度

v===0.666 941 819 m/s

此時Δv2=v-v100=2.78×10-6 m/s

以此類推，再將總質量相同的子彈加工成單發質量m"=0.1 g的1000發子彈，并讓每發子彈仍以相同的相對速度u=800 m/s射出槍口，則1000發子彈射擊完成后，皮劃艇的速度

v==

=0.666 944 321 m/s

此時Δv3=v-v1000=2.779×10-7 m/s

非常明顯Δv1>Δv2>Δv3，總質量相同的子彈，隨著細分的數量不斷增加，其計算結果也越來越接近由微分方程分析變質量物體所解得的數學結果。

由此可見，針對火箭反沖類問題的定量研究，高中物理學習體系中，由于缺乏高等數學相關工具的支撐，火箭發射類連續變質量問題的求解往往難以下手。退而求其次，將諸如例3的槍一發接著一發打出子彈、平板車上一個人接著一個人跳離車面等簡化版的問題，作為火箭類問題的替代品呈現在學生面前，此類問題利用中學階段簡單的數學知識就可以定量完成求解，同時由于牽涉到的個體數量眾多，以地面為參考系，代數計算量過大，我們可以不停地轉換參考系，以此來簡化計算。

5 總結與展望

高中物理學習中，各種物理模型是良好的學習素材，教師可以選擇合適的模型，帶領學生從物質、運動、相互作用及能量等角度，運用模型建構思維方式解決問題，從而全面提升學生物理學科核心素養。教師也需要不斷研讀課本以及教師用書，適當補充競賽以及大學普通物理的知識，拓寬自身視野，必要時可以從多維度幫助學生解決問題。

參考文獻：

［1］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.普通高中教科書物理選擇性必修第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.普通高中教科書教師教學用書物理選擇性必修第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程力學篇［M］.合肥：中國科學技術大學出版社，2018.

［4］舒幼生.力學［M］.北京：北京大學出版社，2005.

（欄目編輯 趙保鋼）