提升物理核心素養的生活化單擺實驗教學探索

摘 要：實驗誤差是物理實驗中不可避免的因素，對于實驗誤差的一般認識和分析是在物理實驗教學之前的必學內容。如何從一般的誤差分析中凝練物理實驗的本質，突出中學生在實驗觀察和分析過程中的教學反思，窺探出實驗誤差背后的物理公式和數學分析，對培養具有原始創新和學科交叉融合能力的人才具有重要意義。以生活中常見的智能手機作為實驗載體，立足于中學物理實驗教學中常見的單擺實驗，對單擺實驗周期的結果中包含的各種誤差來源進行了多維度分析，揭示了實驗誤差中包含的系統誤差來源，幫助學生提升科學探究能力，實現跨學科的核心素養培養。

關鍵詞：單擺；Phyphox；誤差；核心素養

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）10-0057-5

收稿日期：2024-08-09

基金項目：揚州大學“課程思政”教學示范課程建設項目“大學物理（新農科）”（21092109）；揚州大學卓越本科課程建設工程項目“普通物理學”（2022ZYKCC-13）；江蘇省高校“高質量公共課教學改革研究”專項課題“‘聚理融農，數字賦能，創新實踐’——思政案例助力《大學物理》線上線下混合教學”。

作者簡介：倪佳宜（2001-），女，碩士研究生，主要從事物理課程與教學研究。

實驗在物理學習過程中扮演著非常重要的角色。通過實驗，我們可以觀察、測量和驗證各種物理現象和理論。這有助于物理學家收集數據，驗證理論模型，并發現新的現象和規律。許多物理學的基本原理和概念都是通過實驗得出的，因此，實驗結果對于進一步理解和應用物理學知識至關重要。根據《義務教育物理課程標準（2022年版）》，中學物理核心素養包括物理觀念、科學思維、科學探究和科學態度與責任四個方面［1］。在中學物理教學中，實驗教學是提升學生核心素養的重要環節。通過物理實驗操作、推導分析實驗結果并驗證教科書中所學知識，學生不僅能夠理解現象背后的規律，還能夠掌握原理性的知識。實驗教學對于培養學生的科學思維和科學探究能力具有獨特的作用和價值。此外，實驗教學還能夠突出學科邏輯，促進跨學科內容的融合能力培養［2-4］。本文介紹了一種以生活化為基礎的單擺物理實驗，利用精確度較高的智能手機作為實驗載體，來研究實驗結果分析中所涉及的相關物理知識。通過對測量數據誤差的分析，我們可以探索出誤差的來源，避免實驗測量中出現的系統誤差，并關注隨機誤差中涉及的數學物理知識。此外，從常見的誤差入手，可以提升學生的科學思維能力，培養他們的科學反思和探索能力。同時，利用智能手機作為實驗載體來探索相關的物理知識，還可以作為居家實驗和課后實驗的教學展示資源，供廣大教師在物理教學中參考和借鑒。

1 現象介紹

利用生活中常見的器材搭建一套簡易的單擺裝置，其中鐵架臺為固定臺、細長的鋼絲線（約1米）作為單擺的擺線、托盤和手機構成擺錘，實物圖如圖1所示。輕微撥動擺的位置偏離平衡點，即可觀察到往復的擺動。一方面，偏離平衡位置的初始角度（θ0）可以通過量角器直觀讀出；另一方面，來回擺動的周期通過手機中自帶的高靈敏傳感器來獲得。在手機上安裝Phyphox軟件，并打開“擺”的應用程序，在原始程序中點擊開始按鈕，即可直接讀取單擺的實時數據。

在具體的實驗過程中，我們考慮到影響實驗結果精度的因素：一方面，單擺的擺動是在三維立體空間中進行的，而課本中的講解通常是基于二維平面的擺動（如圖1中的插圖），因此，在對實驗數據處理的過程中需要考慮到不同維度下的擺動誤差；另一方面，單擺擺動的過程中存在擺線與鐵架臺支撐桿之間的摩擦力以及擺錘受到較弱的空氣阻力，這些阻力會引起單擺擺動幅度隨時間不斷減小到最終停擺（即阻尼運動），為了減小擺動幅度隨時間變化的影響，我們選取初始擺動8秒內的數據。利用Phyphox軟件獲得單擺在不同初始角度下實時擺動的測量數據。

為了方便分析，我們將測量的數據進行初始時間的統一化，將相對角速度進行一系列整體提升，得到如圖2所示的結果。對實驗數據進行觀測可以發現，作為擺錘的手機中陀螺儀記錄的擺動相對角速度（單位時間內的角度變化，單位為弧度/秒）呈現出一定的周期性變化，與單擺的運動過程類似。具體而言，當相對角速度達到最大值時，手機會擺動到最低點（即平衡位置），當相對角速度達到最小值時，手機位于最高點，因而通過計算兩個波峰（或波谷）之間的時間間隔即可獲得單擺的周期。此外，考慮到手機中的陀螺儀具有高精密度，通過對不同初始角度下的數據進行對照分析，可以明顯觀察到單擺的周期隨擺動的初始角度的增加而緩慢增加，這與書本上的一般知識講解似乎存在不一致性（單擺的周期應該是一個固定值），是否意味著實驗中的測量誤差？此外，我們還觀察到數據存在明顯的鋸齒形狀，表明除了周期性擺動之外，還存在一定的“高頻率”抖動誤差。

2 現象解釋

對于實驗觀測過程中發現的數據存在微小無規律的變化，我們通常可以歸納為實驗測量中不同因素所引起的各種誤差。圖3展示了兩個不同初始角度（2°和30°）情況下采集到的數據，以及對這兩組數據運用Origin軟件進行的數據擬合分析。利用單個的三角函數可以獲得不同的參數（如三角函數的周期、振幅和初始相位），圖中的實線為利用Origin軟件擬合獲得的最佳擬合數據圖，它們對應的周期分別為T=2.137±0.003 s和2.172±0.003 s。

然而，仔細對比測量獲得的實驗數據和使用三角函數獲得的擬合曲線，波谷和波峰的部分數據存在明顯的誤差，并且“抖動”的鋸齒形狀的數據并沒有體現出來。如何理解這些數據差異的來源？這些差異數據背后是否存在著深入的物理知識？通過仔細觀察采集的數據，可以發現這些“抖動”的部分數據似乎也成周期性變化，更類似于在單擺所形成的單個三角函數上進行的二次疊加。圖4進一步細化了實驗數據的數學處理，采用了雙三角函數（擬合1和擬合2）來疊加對實驗數據進行擬合。我們可以發現，實驗數據中的“抖動”可以通過正弦函數較好地擬合（擬合2），且這些“高頻率抖動”的三角函數隨著時間緩慢減小其振幅，然而其周期卻保持不變。考慮到該實驗中，單擺在擺動的過程中存在著擺桿頂與支撐桿之間的摩擦力和較弱的空氣阻力（即存在阻尼運動），該摩擦力會緩慢地減小其擺動的幅度，因此與該“抖動”的正弦函數中的振幅緩慢減小相符合。

此外，進一步分析可以揭示出這些“抖動”的正弦函數（擬合2）是由擺動過程中沿z方向的微小震動引起的。圖5細化了使用手機陀螺儀記錄的沿z方向（圖1）擺動的相對角速度與擬合得到的“抖動”的正弦函數之間的對應關系。我們可以清楚地看到，沿z方向的擺動引起的周期變化與這些“抖動”的正弦函數完全一致，這意味著微小的上下震動導致了測量結果中展示出了“抖動”的數據差異。考慮到手機的傳感器（陀螺儀）非常精密，因此這些微小震動都能夠被記錄下來，從而導致觀測結果的偏離。這種由實驗設備本身存在的環境因素引起的固定偏差可以被歸類為系統誤差，相對于真實值或理論值而言，它是常見的或系統性的誤差。在我們的單擺實驗中，可以直接觀察和揭示這種偏差，并且可以通過相應措施來克服或避免它。

最后，在理解了所測數據中存在的系統誤差來源之后，通過對數據進行修正，去除系統誤差的影響，并利用正弦函數來擬合不同初始角度下單擺運動的相對角速度數據，可以實現單擺的擺動周期T的精確測量。根據課本中所述，對于任意一個單擺，其周期與重力加速度和擺長直接相關，可以表示為

T=2π（1）

因此，所獲得的周期應該與初始擺動角度無關，即T應該是一個常數。然而，這與我們實際測量的結果不一致。圖6顯示了不同初始擺動角度下獲得的單擺周期T的對應關系，可以看出隨著初始擺動角度的增加，單擺的周期T逐漸增加。這些逐步增加的周期不能歸因于隨機誤差（隨機誤差會導致測量結果的精確度波動，但沒有規律性）。那么，我們如何解釋這些逐漸增加的周期呢？讓我們回到公式（1）的推導過程，可以用圖1中的插圖來描述：在單擺的某個運動狀態下，小球有切向力（回復力）提供的切向加速度，相關的公式可以表示為

ma=-mgsinθ（2）

而切向加速度a可以用a=Ld2θ/dt2來替代，因而質點的運動方程可以描述為

d2θ/dt2=-gsinθ/L（3）

查閱相關資料：當初始角度θ較小時，sinθ≈θ，（3）式簡化為一維質點的簡諧運動方程

d2θ/dt2=-gθ/L （4）

經過求解，我們可以得到運動角頻率的方程為ω2=g/L，即ω=2π/T=，這就是（1）式。從上述的推導中可以發現，（1）式成立的必要條件是初始角度不能太大（需要滿足sinθ≈θ，課本中一般限制在5°以內），這與我們實驗所得的數據相吻合（圖6中小角度部分）。然而，對于大角度的單擺運動，需要回歸到（3）式進行求解，修正后的周期T公式［5-6］

T=2π（1++++…）（5）

取其前面兩項（一次項和二次平方項）進行數據擬合，其結果如圖6所示。實驗測量結果與理論計算符合較好，其單擺的周期隨初始擺動角度θ的增加而微小增加。所測量的單調微增量被包含在測量誤差中是能夠進一步被區分辨識和理解的。

3 誤差中的物理深入

誤差是指測量結果與真實值或理論值之間的差異。它是由于測量過程中存在的不完美性、限制性或不確定性導致的。在物理實驗或測量中，對于誤差的處理和分析，可以提高實驗或測量的可靠性和準確性，并對物理現象和理論提供更可靠的支持。測量設備的精密程度直接影響所測實驗結果的誤差范圍，進一步而言，那些細微的變化量在常規測試中被認為是誤差范圍內的數據，能夠再次被精密的實驗設備觀測到，其背后深入的物理知識能夠被揭示出來，實現“新物理、新現象”的突破和認識，對于學生核心素養的培養起到重要作用。圖7歸納了如何從“利用智能手機來測量單擺的擺動”出現的數據“誤差”現象實現邏輯拓展能力和科學思維的培養，從單擺周期的微小單調遞增進一步揭示單擺方程的背后數學拓展來源。在中學物理教育中，通過引導學生進行生活化的實驗探究和學習，能夠多維度、多區域地（課堂上下、校內校外）實現學生自主探究和分析能力的培養。學生通過觀察、測量和記錄相關的實驗數據，發現實驗結果與理論值的差異，并自主分析這些差異背后的數學物理來源，形成“知其然，并知其所以然”的邏輯閉環認知。這種學習過程培養了學生的邏輯思維和科學推理能力，使他們能夠理解實驗結果的可靠性，并拓展自己的研究能力。此外，通過多次觀察、發現和理解這些數據中包含的微小誤差，學生能夠逐漸發展出對物理實驗過程中的細節敏感性，從而培養出他們嚴謹的科學態度，這對于國家著重強調的實現未來高科技領域的自主研發和創新具有至關重要的作用。因而，通過對物理實驗中誤差的細致研究和學習，學生不僅可以掌握具體的物理知識，還能實現邏輯拓展和科學思維能力的培養，為學生未來的科學研究提供堅實的基礎。

4 總 結

筆者在基于中學物理知識的基礎上利用手機中的智能傳感器對單擺實驗進行了精細測量和分析，對所獲數據中存在的誤差進行了歸類和揭示，對其背后的誤差來源和相關的物理知識也進行了對應的揭示。相比于傳統的利用秒表來測量的單擺實驗，利用生活中常見的手機來替代傳統實驗具有更高的精確度，不僅能夠展示傳統的實驗方法，還能夠拓展深入的物理知識。當然，教師也可以對實驗中誤差來源分析（下轉第65頁）（上接第60頁）進行進一步探討，例如測量發現的系統誤差中存在的阻尼現象。此外，從傳統實驗分析認為的微小誤差中挖掘其背后的來源和物理機制、物理模型能體現出中學生嚴謹的科學態度，實現中學生核心素養的培養。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育物理課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］王太軍.指向核心素養的生活化創新物理實驗研究［J］. 物理教師，2020，41（3）：32-36.

［3］王碧鴻，張皓晶，桑蕊蕊，等.手機測量聲速［J］. 物理教師，2018，39（10）：51-54.

［4］肖艷，楊金彭，劉擁軍，等，“一葉知秋”式提升物理學科核心素養的實驗探索：再談手機屏的反射與衍射［J］.物理教學，2023，45（7）：18-21.

［5］龔善初.利用線化和校正法求非線性單擺運動的周期［J］.大學物理，2006，25（2）：16-18.

［6］柴聰聰，鳳飛龍，王公正，等.大擺角單擺“周期”變化的解析解及其實驗應用［J］.物理實驗，2020，40（3）：48-50.

（欄目編輯 劉 榮）