基于二維聲學黑洞的周期板結構彎曲波操控特性研究

摘 要：聲學黑洞（ABH）結構通過按照一定冪函數剪裁結構厚度，致使結構中彎曲波相速度的減小而實現能量聚集，為航空結構中振動能量操控提供新的思路。ABH陣列可以彌補單個ABH中低頻彎曲波操控特性的不足，為了研究基于二維ABH的周期板結構的彎曲波操控特性，利用有限元方法研究無限周期ABH結構的能帶結構和包含有限周期ABH的板結構聲強矢量場特征，分析了含中心平臺ABH與無中心平臺ABH構成的周期結構中彎曲波傳播特征的區別，結合有限元結果明確了平面波展開方法收斂性和適用條件。數值分析結果顯示，含中心平臺ABH易在低于全波長特征頻率時獲得表征局部共振的平直帶，從ABH全波長特征頻率附近開始，含中心平臺ABH周期結構對彎曲波能量的定向操控特征區別于無中心平臺ABH周期結構。最后研究ABH截面特征參數對彎曲波能帶結構的影響規律，結果表明，內嵌式ABH截面的變化對半波長特征頻率附近及低于該頻率的彎曲波傳播影響比較小，減小中心截斷厚度、增大中心平臺半徑以及冪次大于2有助于形成連續且寬頻的方向帶隙。

關鍵詞：聲學黑洞； 彎曲波； 平面波展開法； 有限元分析； 局部共振

中圖分類號：TB123 文獻標識碼：A DOI：10.19452/j.issn1007-5453.2024.07.010

基金項目： 國家自然科學基金（52022039，U2241261）；航空科學基金（20161552014）

隨著科技的發展，航空運載裝備對于振動噪聲控制標準日漸嚴苛，對集成度、輕量化以及自適應性有著更高要求，基于材料結構設計不斷發展新技術以滿足先進裝備性能需求成為趨勢[1-2]。結構振動源于介質中彈性波的傳播，新型彈性波操結構聲學黑洞（ABH）主要通過對結構厚度進行裁剪來實現，隨著結構厚度的減小，彎曲波波速逐漸減小，波長被壓縮，振動幅值增大，振動能量在聲學黑洞厚度最薄區域實現能量聚集[3-4]，通過在尖端粘貼少量的阻尼材料可實現對聚集振動能量的高效耗散，達到減振降噪的目的[5-6]。聲學黑洞結構相比傳統的減振降噪方法具有實現簡單、效率高、頻帶范圍寬、輕質的優點，在航空航天裝備制造領域有廣泛的應用前景。王小東等[7-8]將內嵌式ABH應用于直升機駕駛艙后壁設計，以及交通運輸裝備中常見的雙層壁板結構，通過模擬和試驗證實內嵌式ABH可以有效保證寬頻減振降噪效果。但也發現單一內嵌式ABH操控與耗散低頻振動能量的能力略顯不足。早期Aklouche等[9]對內嵌單個ABH板的色散關系的研究表明，單個聲學黑洞有效作用頻率范圍受ABH特征尺寸的限制，對于冪指數m=2的單個ABH，ABH區域的長度越長，ABH效應起始頻率越低，也暗示單個ABH在航空裝備中的應用局限性。因此突破ABH有效作用頻率限制的研究對于ABH在航空領域的應用有著重要意義。Conlon等[10-11]對包含多個ABH板聲振特性的數值和試驗研究初步表明，ABH陣列誘發的低階局部模態可以有效彌補ABH設計在中低頻性能不足的短板。趙流現[12]通過數值分析方法研究ABH型夾層板的振動特性，結果表明，ABH陣列結合約束阻尼層能顯著提高夾芯板的低頻損耗因子，降低結構振動響應。由此人們越來越多地關注陣列結構在改善ABH中低頻波操控特性方面的可行性。

受局部共振聲子晶體和聲學超材料結構[13-14]實現低頻波的操控這一思想的啟發，學者們開始嘗試將周期ABH結構與局域共振思想結合起來，ABH的周期性柵格結構可以看作一種聲子晶體結構，由內嵌式ABH在梁或者板結構中陣列形成。唐利玲等[15-16]首次在一維（1D）周期ABH梁中發現帶隙現象，并通過試驗和仿真得到了證實，隨后研究者提出在ABH區域附加質量塊，拓寬低頻帶隙[16-17]，并將研究拓展到具有一維周期性的ABH板[18]。研究表明，包含1D ABH的一維陣列設計產生帶隙的本質與布拉格（Bragg）散射和局部共振的共同作用相關，且ABH結構表現出不同于傳統附加振子的本征型多頻局部共振特征，有助于實現多個寬頻帶隙。季宏麗等[3， 19]對1D ABH和2D ABH中的彎曲波傳播特性研究表明，2D ABH往往表現出比1D ABH更為復雜的操控特點，且在常見的板類結構設計中：（1） 2D ABH中的波傳播路徑更復雜[3]；（2） ABH之外的板的均勻部分容易保留更多能量傳輸路徑，通過ABH元胞的波未能全部由ABH捕捉。板類結構設計通常需要考慮單元在兩個維度方向的分布，針對2D ABH二維陣列的彎曲波操控也成為研究難點。2015年，Zhu Hongfei等[20]分析了2D ABH按照正方晶格排布的色散特性，但并未發現顯著的全方向帶隙。為了在包含ABH的周期板結構中實現全方向帶隙，唐利玲等[21]在具有二維周期性的ABH陣列板結構中，設計2D ABH間距小于其直徑，保留盡可能少的均勻區域，以保證彎曲波可以完全進入ABH結構，并引入附加質量，增強Bragg散射效果，拓寬帶隙。

以上針對二維聲學黑洞聲子板的研究主要考慮最初由Krylov[22]提出的無中心平臺的ABH凹坑結構，黃薇等研究發現含中心平臺的新型ABH凹坑表現出不同于傳統無中心平臺ABH的彎曲波傳播特征，即彎曲波聚集在偏離ABH凹坑中心的位置。目前針對2D ABH陣列的研究鮮有明晰含中心平臺ABH與無中心平臺ABH所構造周期結構中彎曲波傳播特征的區別。為了豐富周期ABH結構波操控特性的理論研究基礎，本文面向航空裝備中常用的板類結構，從內嵌周期ABH板出發，研究含中心平臺2D ABH板中的彎曲波傳播問題。首先通過對比平面波展開（PWE）方法和有限元（FEM）方法分析周期ABH板實能帶結構的差異，分析PWE方法的收斂性并明晰該方法在何種情況下適用于分析周期ABH結構的能帶結構。其次主要通過FEM方法分析由含中心平臺ABH構造的ABH聲子板的能帶結構，通過分析本征模態、穩態波場和能量分布特征，討論了含中心平臺和無中心平臺ABH構造的周期ABH結構操控彎曲波傳播的區別。最后探究了ABH截面特征參數對能帶結構的影響規律。

1 分析方法

本節針對含中心平臺和無中心平臺的ABH截面設計，分析了其分別以方形格子陣列所構成周期ABH板的能帶結構，探討含中心平臺ABH截面參數對實能帶結構的影響規律。考慮圖1（a）中所示兩種非理想2D ABH截面設計構型，含中心平臺[3]和無中心平臺[23]

對于ABH直徑DABH/2=0.1m，無中心平臺的ABH所構成周期結構，其對應的能帶結構如圖5（b）所示。對比圖5（a）可以發現，具有中心平臺的周期ABH結構在1.6kHz范圍內具有更密集的彎曲波模態。包含無中心平臺ABH的方形晶格周期結構并未表現出明顯的方向帶隙。對比兩種ABH截面設計的特征模態，如圖5能帶結構中A、B、C點標記的特征模態，由振型面外分量？z表示。典型的局部共振聲子晶體的研究指出，局部共振模態對應的能帶表現為平直帶[13]，圖5含中心平臺的ABH設計對應的能帶結構，更容易在低于ABH全波長特征頻率fFull=1205Hz時呈現較密集的平帶，說明含中心平臺的ABH設計更易獲得局部振動模態。

以上分析表明，即使中心平臺的引入并未打開全方向帶隙，但對800Hz以上色散曲線的變化規律也產生了不可忽略的影響。除了帶隙特性之外，周期結構會使得彈性波在某些通帶頻率下僅沿著特定的方向傳播，即彈性波方向性傳播[25]。為了進一步理解引入中心平臺后，周期ABH結構對結構中彈性波傳播方向操控的影響規律，建立了如圖6（a）所示的ABH板FEM數值分析模型，板中嵌入12×12個ABH，為了消除邊界對彈性波傳播特性的影響，在模型的四周都設置了完美匹配層（PML）[26]。在ABH陣列的中心處輸入垂直于xy平面的單位幅值的簡諧力激勵，模擬產生彎曲波，分析頻域波場特征。為了降低計算時長，引入對稱邊界條件，對計算模型進行簡化，如圖6（b）所示。

觀察激勵頻率為1165Hz時，圖8（a）和圖8（b）所示兩種周期ABH板結構中的彎曲波場，可以發現，兩種結構中的ABH區域均表現出顯著的局部共振，但是彎曲波在經過兩種不同的ABH柵格后，主要傳播方向有所不同。對于含中心平臺的周期ABH結構，經過ABH柵格后彎曲波傳播主要在MX方向；而對于無中心平臺的周期ABH結構，經過ABH柵格后彎曲波沿各個方向傳播。圖8（c）和圖8（d）兩個周期ABH板結構的SI矢量場顯示，隨著傳播距離的增大，結構中能量主要向ABH區域匯聚，使得均勻部分振動很弱。以上分析說明在不改變2D ABH直徑的情況下，通過引入中心平臺的方式改變 ABH截面特征，會在ABH半波長特征頻率附近形成較為顯著的局部共振特征，從ABH全波長特征頻率附近開始，會對ABH柵格的波操控特性造成顯著影響。

3 聲學黑洞特征參數影響

由于ABH單元的局部波動特性會受到其截面設計參數的影響，以ГX方向波傳播特性為例，本節分析ABH直徑DABH/2=0.1m，含中心平臺ABH截面設計參數對能帶結構的影響。圖9所示為不同中心截斷厚度hm對應的能帶結構，其他ABH截面設計參數m =2，r1=0.02m。可以看出，中心截斷厚度越小，能帶結構中平直帶越顯著，即ABH單元表現出的局部振動越顯著，這是由于ABH結構中心厚度越小，ABH能量聚集越顯著[3]，且低于ABH全波長特征頻率fFull=1205Hz時，局部振動模態更容易形成。中心截斷厚度變厚使得難以形成顯著的局部共振，從而能帶結構變得更加簡單，以至于方向帶隙也逐漸變窄，同時方向帶隙的帶邊亦發生變化。如hm=0.0006m時，僅有1390～1410Hz和1080～1120Hz兩個很窄的方向帶隙，而hm=0.0012m時，僅有1245～1295Hz一個很窄的方向帶隙。此外，截斷厚度較小時，方向帶隙的帶邊對應為非對稱點處的模態；而當截斷厚度為0.0012m，即其和板厚比值hm/hU=0.24時，帶邊對應為高對點Г和X處的模態。

當ABH中心最薄厚度hm=0.0002m、r1=0.02m時，能帶結構隨ABH冪指數m的變化如圖10所示。可以看出，m=1.5時，低于ABH全波長特征頻率fFull=1205Hz，存在1050～ 1120Hz和1220～1295Hz兩個窄方向帶隙。而m>2時，更加平直且密集的能帶形成連續且較寬的方向帶隙，m=3時方向帶隙覆蓋頻率范圍1250～1420Hz。冪指數m的增大使得能帶中出現較多的平帶，即較多的模態表現出顯著的局部振動，且低于fFull=1205Hz時，局部振動模態更容易形成，這是因為ABH截面設計冪指數m≥2時，ABH凹坑可以有效實現ABH效應[28]，實現能量聚集，保證局部共振模態的實現。雖然在不違背ABH理論的平滑性準則[29]情況下，冪指數m的增大可以提升ABH能量聚集效果，增加ABH特征頻率附近以及該頻率以下的局部共振模態數目，但是過大的冪指數（如m=3）時，許多平直的能帶分支直接穿越其他的斜率不為零的能帶分支，這并不會促進方向帶隙的打開。

當ABH中心最薄厚度hm=0.0002m、冪指數m=2時，能帶結構隨ABH中心平臺半徑r1的變化如圖11所示。當中心平臺半徑逐漸變小的時候，能帶結構越來越接近于圖5（b）中無中心平臺ABH的能帶，局部振動的平直帶逐漸減少，且方向帶隙逐漸變窄。r1=0.01m時，低于特征頻率1205Hz時，還存在1020～1070Hz和1180～1270Hz兩個較窄的方向帶隙，當r1減小至0.005m時，則只有1040～1115Hz一個窄方向帶隙。r1的增大所導致的能帶平帶逐漸增多，進一步證實了在ABH設計中，引入中心平臺有利于在低于ABH特征頻率時，形成局部振動模態。需要注意的是，當中心平臺過大時，ABH區域截面厚度變化函數易違背ABH理論的平滑性準則。

4 結論

本文利用有限元方法對2D ABH按照方形晶格排布的周期薄板結構的彎曲波操控特性進行研究，通過研究能帶結構和結構聲強矢量場特征，分析了含中心平臺ABH與傳統無中心平臺ABH構成的周期板結構中彎曲波傳播特性的區別，結合有限元結果明確了平面波展開方法的收斂性和適用條件。FEM方法和PWE方法計算的能帶結果對比表明，PWE方法適用于分析ABH中心最薄厚度與均勻區域厚度比hm/hU比較大的情形。

針對含中心平臺ABH的周期ABH板和周期ABH條帶的能帶結構和能量分布特征分析，發現含中心平臺ABH易在低于全波長特征頻率時獲得表征局部共振的平直帶，這些模態對應的能帶類似于傳統局部共振聲子晶體中典型的平直帶，更容易打開方向帶隙。從ABH全波長特征頻率附近開始，含中心平臺ABH構成的周期板結構較容易實現彎曲波能量的定向傳播。通過研究ABH截面特征參數對彎曲波能帶結構的影響，發現內嵌式ABH截面的變化對半波長特征頻率附近及以下彎曲波的傳播特性影響比較小。對于含中心平臺的ABH設計，減小中心截斷厚度、增大中心平臺半徑、截面多項式函數冪次大于2時，更容易在低頻實現較多表征局部共振的平直帶，有助于形成連續且寬頻的方向帶隙。本文針對ABH陣列的波操控特性研究對后續利用2D ABH實現航空裝備板結構中寬頻彎曲振動能量的引導有重要理論意義。

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Flexural Wave Mainpulation Characteristics of a Periodic Plate with Embedded 2D Acoustic Black Holes

Han Bing， Ji Hongli， Qiu Jinhao

State Key Laboratory of Mechanics and Control of Aerospace Structures， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China

Abstract： Acoustic Black Hole （ABH） structure can be achieved by tailoring the thickness of a structure according to a power function， thus altering the phase velocity of the flexural wave by changing the impedance and enabling energy focalization. The ABH provides a new idea for vibration and noise control in aerospace structures. The ABH array shows the potential to improve wave manipulation characteristics of the ABH design at the middle-low frequency. This paper focuses on studying the flexural wave propagation in a thin plate with embedded periodic two-dimensional （2D） acoustic black holes. The ABH that differs from the classical one proposed by Krylov is centrally with a platform and expected to obtain different wave manipulation properties when it is arranged in the square lattice. The band structure of an infinite periodic ABH plate and the structural intensity vector field in a finite plate with ABH lattice are scrutinized by establishing finite element models. The comparison of band structure results from finite element and plane wave expansion methods clarifies the convergence and appl_{w3YZgx1BelDE9SNMJvw2+Q==}icable conditions of the plane wave expansion method. Numerical results show that the ABH with a central platform is easy to obtain a flat band representing local resonance at low frequency when it is arranged in the square lattice. Near or above the full-wavelength characteristic frequency of the 2D ABH， the square lattice consisting of the ABH with a central platform shows different wave energy direction propagation from the ABH without a central platform. Finally， the influence of ABH cross-section parameters on the band structure is analyzed. The results show that ABH profile parameters have less effect on band structure below the half-wavelength characteristic frequency. The reduction of the central truncation thickness， the increase of the central platform radius， and the power exponent larger than 2 are conducive to forming a broadband directional band gap.

Key Words： ABH； flexural waves； plane wave expansion method； finite element analysis； local resonance