勾股定理的圖形證明

哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美，勾股定理也不例外。作為幾何學(xué)中的一顆璀璨明珠，千百年來，它吸引了無數(shù)人樂此不疲地進(jìn)行證明，貢獻(xiàn)了許多數(shù)學(xué)證明中的優(yōu)美案例。讓我們跟隨數(shù)學(xué)家們的腳步，通過拼圖的方式來驗(yàn)證勾股定理。

《周髀算經(jīng)》與趙爽“弦圖”

據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前11世紀(jì)，我們的祖先就在生產(chǎn)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論。三國時(shí)期，趙爽注解《周髀算經(jīng)》時(shí)，創(chuàng)制了“弦圖”，并用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明。

如圖1，用4個(gè)全等的直角邊長分別為a、b，斜邊長為c的直角三角形拼成一個(gè)邊長為c的大正方形。

一方面，大正方形的邊長為c，因此大正方形的面積為c2。另一方面，大正方形的面積又等于4個(gè)直角三角形的面積之和再加上中間邊長為b-a的小正方形的面積，因此大正方形也可以表示為4×?ab+（b-a）2。由等面積法可得4×?ab+（b-a）2=c2，化簡即得a2+b2=c2。

《九章算術(shù)注》中的“青朱出入圖”

魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在寫《九章算術(shù)注》時(shí)，利用“青朱出入圖”，證明了勾股定理。圖雖失傳，但根據(jù)割補(bǔ)法原理，參照書中類似方法，后人還原了此圖。

如圖2，使用割補(bǔ)法，將S1平移至S1′，將S2平移至S2′，將S3平移至S3′，我們不難發(fā)現(xiàn)：以a為邊長的正方形與以b為邊長的正方形的面積之和等于以c為邊長的正方形的面積，即a2+b2=c2。

加菲爾德的“總統(tǒng)證法”

時(shí)任美國俄亥俄州共和黨議員的加菲爾德，通過構(gòu)造直角梯形證明了勾股定理，其證法構(gòu)思獨(dú)特、圖形直觀、步驟簡潔，轟動(dòng)了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界。5年后，加菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)，此證法因此被稱為“總統(tǒng)證法”。

如圖3，直角梯形的面積可以表示為兩個(gè)直角三角形的面積之和再加上等腰直角三角形的面積，即?（a+b）（a+b）=?ab×2+?c2，化簡可得a2+b2=c2。

我們不難發(fā)現(xiàn)，以上證明方法都運(yùn)用了圖形的割補(bǔ)，進(jìn)行面積的轉(zhuǎn)化和計(jì)算。其實(shí)，我們還可以繼續(xù)，例如給你圖4、圖5，你能自行驗(yàn)證勾股定理嗎？

其實(shí)，除了上述用直角邊長分別為a、b，斜邊長為c的直角三角形來驗(yàn)證之外，傳統(tǒng)的七巧板也可以用來演示兩條直角邊長度相等情況下的勾股定理（如圖6、圖7）。

設(shè)圖6中的小正方形面積為1，則一副七巧板的總面積為8。圖7中等腰直角三角形ABC的面積為4，等腰直角三角形CDE和等腰直角三角形BEF的面積均為2，那么這三個(gè)等腰直角三角形的面積存在如下的數(shù)量關(guān)系：等腰直角三角形ABC的面積=等腰直角三角形CDE的面積+等腰直角三角形BEF的面積，即?BC2=?CE2+?BE2，所以BC2=CE2+BE2，這個(gè)等式說明在等腰直角三角形BCE中，直角邊CE和BE的平方和等于斜邊BC的平方。

有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法，淋漓盡致地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的趣味和美感，這是其他定理無法比擬的。

（作者單位：江蘇省昆山市石牌中學(xué)）