銷售中的二次函數問題

縱觀近幾年的中考試題，我們可以發現銷售問題一直是中考命題的一個熱點. 解決這類問題需要理解成本、利潤、盈虧等名詞的含義，掌握相關計算公式，并巧妙建立數學模型，下面舉例介紹.

類型一：給出關系式

例1 某公司生產的某種時令商品每件成本為[20]元，經過市場調研發現，這種商品在未來[40]天內的日銷售量[m]（件）與時間[t]（天）的關系滿足[m=-2t+96.]且未來[40]天內，前[20]天每天的價格[y1]（元[/]件）與時間[t]（天）的函數關系式為[y1=12t+25]（[1≤t≤20]且[t]為整數），后[20]天每天的價格[y2]（元[/]件）與時間[t]（天）的函數關系式為[y2=-12t+40]（[21≤t≤40]且[t]為整數）. 下面我們就來研究銷售這種商品的有關問題：

（1）請分別寫出未來[40]天內，前[20]天和后[20]天的日銷售利潤[w]（元）與時間[t]的函數關系式.

（2）請預測未來[40]天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？

（3）在實際銷售的前[20]天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈[a]元利潤（[a<4]）給希望工程. 公司通過銷售記錄發現，前[20]天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間[t]（天）的增大而增大，求[a]的取值范圍．

解析：（1）當[1≤t≤20]且[t]為整數時，

[w=12t+25-20（-2t+96）=-t2+38t+480]；

當[21≤t<40]且[t]為整數時，

[w=-12t+40-20（-2t+96）=t2-88t+1920].

綜上，[w=-t2+38t+4801≤t≤20且t為整數 ，t2-88t+192021≤t≤40且t為整數.]

（2）當[1≤t≤20]且[t]為整數時，[w=-t2+38t+480=-t-192+841]，

此時當[t=19]時，[w]取得最大值[841].

當[21≤t<40]且[t]為整數時，[w=t2-88t+1920=t-442-16].

[∵t<44]時，[w]隨[t]的增大而減小，

[∴]當[t=21]時，[w]取得最大值，最大值為513.

綜上，第[19]天日銷售利潤最大，最大利潤為[841]元．

（3）根據題意知，扣除捐款后的利潤[w=-t2+38t+480--2t+96a] [=-t2+38+2at+480-96a]，對稱軸為[t=19+a]. 因為[t]為整數，所以函數圖象是[20]個分布在拋物線上的散點. 要使日銷售利潤隨時間[t]的增大而增大，則要求對稱軸[19+a>19.5]，解得[a>0.5]. 又∵[a<4]，則[0.5<a<4]．

類型二：給出函數圖象

例2 有一家苗圃計劃種植桃樹和柏樹，根據市場調查與預測：種植桃樹的利潤[y1]（萬元）與投資成本[x]（萬元）滿足如圖[1]所示的二次函數[y1=ax2]；種植柏樹的利潤[y2]（萬元）與投資成本[x]（萬元）滿足如圖[2]所示的正比例函數[y2=kx]．

（1）請分別直接寫出利潤[y1]（萬元）與利潤[y2]（萬元）關于投資成本[x]（萬元）的函數關系式；

（2）若這家苗圃投資[4]萬元種植桃樹，投資[6]萬元種植柏樹，則可獲得的總利潤是多少萬元？

（3）若這家苗圃種植桃樹和柏樹投入總成本[20]萬元，其中桃樹的投資成本不低于[2]萬元，且不高于[12]萬元，則苗圃最少能獲得多少總利潤？最多能獲得多少總利潤？

[2][1][1][2][3][4][5][y1/萬元][x/萬元] [O] [2][1][1][2][3][4][5][y2/萬元][x/萬元] [O]

圖1 圖2

解析：（1）把（4，1）代入[y1=ax2]中得[y1=116x2]；

把（2，1）代入[y2=kx]中得[y2=12x].

（2）設總利潤為[W]萬元，則[W=y1+y2=116×42+12×6=4].

（3）設種植桃樹的投資成本為[x]（2 ≤ [x] ≤ 12）萬元，總利潤為[W]萬元，則種植柏樹的投資成本為（[20-x]）萬元，

則[W=y1+y2=] [116x2-12x+10].

當[2≤x≤12]時，[∵116>0]，∴當[x=-b2a=4]時，拋物線有最小值，此時[W=9]；

當[x=12]時，[W]有最大值，此時W = [116×122-12×12+10=13].

答：苗圃最少能獲得[9]萬元總利潤，最多能獲得[13]萬元總利潤．

類型三：給出表格和圖象

例3 某企業生產的一批產品上市后[30]天內全部售完，該企業對這批產品上市后每天的銷售情況進行了跟蹤調查. 其中，國內市場的日銷售量[y1]（萬件）與時間[t]（[t]為整數，單位：天）的部分對應值如下表所示. 而國外市場的日銷售量[y2]（萬件）與時間[t]（[t]為整數，單位：天）的關系如圖3所示．

（1）請你從所學過的一次函數、二次函數和反比例函數中確定哪種函數能表示[y1]與[t]的變化規律，寫出[y1]與[t]的函數關系式及自變量[t]的取值范圍；

（2）分別探求該產品在國外市場上市前20天（不含第[20]天）與[20]天后（含第[20]天）的日銷售量[y2]與時間[t]所符合的函數關系式，并寫出相應自變量[t]的取值范圍；

（3）設國內外市場的日銷售總量為[y]萬件，寫出[y]與時間[t]的函數關系式，并判斷上市第幾天國內外市場的日銷售總量[y]最大，并求出此時的最大值．

[t/天 0 5 10 15 20 25 30 y1/萬件 0 25 40 45 40 25 0 ] [y2/萬件][t/天][40][30][20][10][O][5][10][15][20][25][30]

圖3

解析：（1）由圖表數據觀察可知[y1]與[t]之間是二次函數關系，設[y1=a]（[t-0]）（[t-30]），再代入[t=5]，[y1=25]可得[a=-15]，[∴y1=-15t]（[t-30]）（[0≤t≤30]）.

（2）由函數圖象可知[y2]與[t]之間是分段的一次函數，由圖象可知，當[0≤t<20]時，[y2=2t]，當[20≤t≤30]時，[y2=-4t+120]，[∴y2=2t0≤t<20 ，-4t+12020≤t≤30.]

（3）當[0≤t<20]時，[y=y1+y2=-15tt-30+2t=-15t-202+80]，可知拋物線開口向下，[t]的取值范圍在對稱軸左側，[y]隨[t]的增大而增大，所以最大值小于當[t=20]時的值[80].

當[20≤t≤30]時，[y=y1+y2=-15tt-30-4t+120=-15t-52+125]，可知拋物線開口向下，[t]的取值范圍在對稱軸右側，[y]隨[t]的增大而減小，所以最大值為當[t=20]時的值[80].

故上市第[20]天，國內外市場的日銷售總量[y]最大，最大值為[80]萬件．

類型四：文字描述，“每……每……”問題

例4 小明大學畢業后回家鄉創業，第一期培植盆景與花卉各50盆，售后統計，盆景的平均每盆利潤是160元，花卉的平均每盆利潤是19元，調研發現：

①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元，每減少1盆，盆景的平均每盆利潤增加2元；②花卉的平均每盆利潤始終不變.

小明計劃第二期培植盆景與花卉共100盆，設培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為W1，W2（單位：元）.

（1）用含x的代數式分別表示W1，W2；

（2）當x取何值時，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W最大，最大總利潤是多少？

解析：（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，則第二期培植盆景（50 + x）盆，花卉（50 - x）盆，根據“盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元，每減少1盆，盆景的平均每盆利潤增加2元”“花卉的平均每盆利潤始終不變”，即可得到利潤W1，W2與x的關系式.

第二期培植的盆景比第一期增加x盆，則第二期培植盆景（50 + x）盆，花卉［100 - （50 + x）］ = （50 - x）盆，由題意得

W1 = （50 + x）（160 - 2x） = -2x2 + 60x + 8000，W2 = 19（50 - x） = -19x + 950.

（2）由W總 = W1 + W2可得關于x的二次函數，利用二次函數的性質即可得解.

W總 = W1 + W2 = -2x2 + 60x + 8000 + （-19x + 950） = -2x2 + 41x + 8950.

∵-2 < 0，-[412×-2] = 10.25，

故當x = 10時，W總最大，此時W總 = -2 × 102 + 41 × 10 + 8950 = 9160.

綜上，解決這類問題的基本思路為：

（1）審題，仔細審題，理解題意，分析函數關系；

（2）建模，根據銷售利潤方面的知識列出等量關系；

（3）用含未知量的式子表達出單個利潤和銷售量，根據等量關系建立二次函數；

（4）應用二次函數的性質和圖象求出最值.

（作者單位：錦州市第四中學）