中考壓軸題

名師原創(chuàng)

平面直角坐標系中，點A，B坐標分別是（m，0），（0，2m），以O(shè)A，OB為邊作矩形OAPB.

定義：矩形OAPB內(nèi)部（不含邊界）的函數(shù)圖象為G，當G隨x的增大而增大或者隨x的增大而減小時，稱G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”.

（1）如圖1，一次函數(shù)y = kx + b與x軸、y軸分別交于C（4，0），D（0，2）兩點，當G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”時，求m的取值范圍.

（2）如圖2，反比例函數(shù)y = [kx]的圖象經(jīng)過點（1，3），當G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”時，求m的取值范圍.

[y][x] [D][B][P][A][O][C] [y][x] [B][P][A][O]

圖1 圖2

（3）如圖3，二次函數(shù)y = [ax2+bx+c]頂點坐標為（1，2），與x軸交于C，D兩點（C在D左側(cè)），與y軸交于點E[0，32].

①當G為矩形OAPB的 “單調(diào)圖象”時，求m的取值范圍.

②如圖4，將矩形OAPB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形O'AP'B'，連接PP'交O'B'于點M，過點M作x軸的垂線交拋物線于點H，設(shè)MH的長度為h，當G同時為矩形OAPB和矩形O'AP'B'的“單調(diào)圖象”時，求h的取值范圍.

[x][y][B][P][A][O][C][D][E] [x][y][H][E][B][P][B'][P'][A][O][C][D][O'][M]

圖3 圖4

思路點撥

（1）當點P在直線CD上時，m = [45]，所以當m > [45]時，G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”.

（2）①若矩形OAPB在第一象限，當點P在反比例函數(shù)圖象上時，m = [62]，所以當m > [62]時，G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”. ②若矩形OAPB在第一象限，當點P在反比例函數(shù)圖象上時，m = - [62]，所以當m < - [62]時，G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”.

（3）①當矩形OAPB在第一象限，點B與點E重合時，m = [34]，當點P與拋物線頂點重合時，m = 1，所以，當[34] < m ≤ 1時，G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”；若矩形OAPB在第三象限，當點A與點C重合時，m = -1，所以，當m < -1時，G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”. ②因為當G為矩形OAPB的“單調(diào)圖象”時，[34] < m ≤ 1或m < -1，只需要再滿足G為矩形O'AP'B'的“單調(diào)圖象”即可. 當矩形O'AP'B'在第一象限時，若B'在拋物線上，則m = [2+319]，若A與D重合，則m = 3. 因此當[2+319] < m ≤ 3時，G為矩形O'AP'B'的“單調(diào)圖象”. 綜上，當[2+319] < m ≤ 1時，G同時為矩形OAPB和矩形O'AP'B'的“單調(diào)圖象”，此時M（2m，m），[h=yH-yM=-2m2+m+32]，則[12≤h<231+139162]. 當矩形O'AP'B'在第三象限，[-3<m<-1]時，[h=yM-yH=2m2-m-32]，則[32<h<9+232].

（本文系遼寧省教育科學“十四五”規(guī)劃2021年度課題“初中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課堂教學背景下的作業(yè)設(shè)計研究”的階段性研究成果。課題編號：GJ21CB202。）