蝸輪蝸桿傳動系統的非線性動態特性分析

摘 要：為了研究蝸輪蝸桿傳動系統的非線性動態特性，本文采用集中參數法建立含齒側間隙、綜合傳動誤差、時變嚙合剛度等非線性因素的蝸輪蝸桿傳動系統非線性動力學模型。使用4階變步長Runge-Kutta法對蝸輪蝸桿傳動系統動力學方程進行數值仿真。通過分岔圖、相圖和Poincaré映射圖分析系統的非線性動態特性。結果表明，系統經歷了擦邊分岔、跳躍分岔以及連續的倍化分岔，使其從周期1運動轉遷為混沌運動；隨著嚙合阻尼比逐漸增大，高周期和混沌運動逐漸變為穩定的單周期運動；進行系統動態設計時，選取合理的嚙合阻尼比可以提升系統的穩定性。

關鍵詞：蝸輪蝸桿；非線性；分岔

中圖分類號：TH 132" " " 文獻標志碼：A

蝸輪蝸桿傳動系統具有結構緊湊、傳動效率高、工藝性好以及反向自鎖等特點，被廣泛應用于航空航天、自動駕駛汽車和智能家居等高科技領域。隨著蝸輪蝸桿傳動系統的傳動效率和承載能力不斷提高，使其滿足更高品質的產品需求并減少齒輪副沖擊振動和噪聲是目前亟待解決的關鍵問題[1]。蝸輪蝸桿齒輪副嚙合時發生沖擊振動是不可避免的，會影響蝸輪蝸桿傳動系統甚至整個機械系統的安全性。因此，對蝸輪蝸桿傳動系統的沖擊特性進行非線性動力學研究十分必要。

蝸輪蝸桿傳動系統的非線性動態特性分析通常使用理論推導分析系統，采用數值計算進行仿真驗證。楊艷通過分析雙參數空間內齒輪副動態響應與傳遞誤差間的關系，驗證了極端工況條件導致的齒輪副跳躍、脫嚙等異常振動現象[2]。莫帥等研究了高速重載人字齒輪系統穩定性與各類關鍵參數的正、負相關關系，探究了不同因素對系統動態響應的影響[3]。

1 動力學模型

含齒側間隙、支撐間隙的蝸輪蝸桿傳動系統彎扭軸耦合非線性動力學模型如圖1所示，其中主動齒輪1為蝸桿，從動齒輪2為渦輪。

支撐蝸輪蝸桿傳動系統的滾動軸承被等效為線性彈簧和線性阻尼。使用牛頓第二定律可得系統微分方程，其彎扭軸耦合運動微分方程如公式（1）所示。

（1）

式中：Xi、Yi、Zi（i=1，2，3，4）分別為系統沿X、Y、Z軸方向的振動位移；Tg、Te分別為兩軸上的扭矩；I1、I2分別為轉動慣量；Kij、Cij（i=1，2；j=x，y，z）分別為系統的支撐剛度、支撐阻尼；M1、M2分別為蝸桿和蝸輪的質量。

公式（1）中，蝸輪蝸桿嚙合間的動態嚙合力及其沿坐標方向X、Y、Z的分力依次如公式（2）所示。

（2）

公式（1）中的非線性間隙函數統一為公式（3）。

（3）

式中：X代表齒側位移和振動位移；B代表齒側間隙和支撐間隙。

蝸輪蝸桿傳動系統因傳遞誤差和振動產生沿嚙合線方向的相對位移Xn如公式（4）所示。

Xn=（X1-X2+R1θ1）cosαnsinβ+（Y1-Y2）sinαn-（Z1-Z2-R2θ2）cosαncosβ-En（τ） （4）

式中：Ri（i=1，2）為蝸桿和渦輪的分度圓半徑；αn為齒輪法向壓力角；β為蝸桿的導程角；En（）為綜合傳遞誤差，如公式（5）[4]所示。

En（τ）=Emcos（Ωτ+ψ1） " "（5）

為使公式簡潔，令a1=cosαnsinβ，a2=sinαn，a3=cosαncosβ。

引入齒輪系統的特征頻率，選定特征尺寸bc，對系統的辨識參數進行處理，可得xi=，yi=，zi=，

b=，em=，無量綱時間t=ωnτ，無量綱頻率ω=Ω/ωn。將上述無量綱參數帶入公式（1），可得蝸輪蝸桿傳動系統的無量綱微分方程，如公式（6）所示。

（6）

公式（6）中的參數經過無量綱化后，如公式（7）所示。

（7）

2 非線性動態特性分析

將蝸輪蝸桿傳動系統嚙合周期作為龐加萊截面，選擇合理的龐加萊截面可以更簡潔、清晰地分析系統的運動狀態。使用C語言進行編程，采用4階變步長龍格庫塔法為數值計算方法。利用計算機對無量綱化后的系統運動微分方程進行計算求解，得到系統的全局分岔圖、相軌跡和Poincaré映射的疊加圖，結合這些圖像全面分析系統的穩定性。蝸輪蝸桿傳動系統的主要設計參數如下：模數m=4mm，蝸桿齒數z1=3，蝸桿的直徑d1=44mm，渦輪齒數z1=37，法向壓力角αn=20°，主要動力學參數見表1。

2.1 嚙合頻率對系統的影響

在以上述設計和動力學參數不變的情況下，選擇渦輪蝸桿傳動系統的嚙合阻尼比ξ＝0.08，變量參數選擇無量綱嚙合頻率ω∈[0.1，2.5]，輸出參數選擇系統的相對嚙合位移，蝸輪蝸桿傳動系統的位移-頻率分岔圖如圖2所示。從圖2中可以得出，當無量綱嚙合頻率ω∈[0.1，0.5089]時，蝸輪蝸桿傳動系統進行周期1運動，此時系統的齒輪副為完全嚙合狀態。齒輪系統運行時，每對輪齒始終嚙合，齒輪間的無沖擊振動發生。當嚙合頻率ω=0.5089時，系統開始發生擦邊運動，此時齒輪副仍無沖擊振動，虛線表示兩齒間的間隙，可以看到系統的相對位移剛好碰上。當ω繼續增大時，齒側逐漸開始產生沖擊振動，系統進行單次碰撞的周期1運動。ω=0.5673時，系統發生跳躍分岔。雖然系統處于周期1運動狀態，但跳躍分岔的出現導致系統的運動軌跡發生明顯變化，說明跳躍分岔干擾了系統的平穩運行。繼續增大無量綱嚙合頻率ω，當系統穿越倍化分岔點ω=0.8736時，系統的運動周期發生改變，由周期1運動轉變為周期2運動。當ω=0.9時，相軌跡2次穿越Poincaré截面，齒輪副發生沖擊碰撞的次數增加。當ω繼續增大時，系統再次發生跳躍分岔，齒輪副的運動由此發生改變，使系統變成單次碰撞，系統還處于周期2運動狀態。當ω接近1.3時，系統的運動變得不穩定，在較短時間內，系統連續發生倍化分岔且速度越來越快，系統由周期2運動迅速轉遷為周期4運動，繼而進入周期8運動等高周期運動，最終變為混沌運動，系統的運動混亂，有很多點穿過Poincaré截面，無法查看運動周期。此時，蝸輪蝸桿傳動系統齒輪間的碰撞次數變多，齒輪受到較大沖擊，處于危險狀態。隨著ω繼續增大，高周期和混沌行為逐漸減弱，呈下降趨勢。系統又在較短時間內經過連續逆倍化分岔，從混沌轉遷為周期4運動，最終變為周期2運動，系統的運行慢慢恢復穩定。當ω≥1.7195時，系統最終退化為穩定的周期1運動，可以看出系統在高頻區穩定運行，嚙合狀態保持良好。

2.2 嚙合阻尼比對系統的影響

嚙合阻尼比是保證蝸輪蝸桿傳動系統平穩運動的關鍵參數，對傳動系統的運行可靠性和減振降噪具有重要作用。為分析嚙合阻尼比對系統動態特性的影響，選取系統的嚙合阻尼比ξ=1.0和ξ=1.2，無量綱嚙合頻率ω區間依舊為[0.1，2.5]，輸出參數為系統的相對位移，保持設計和動力學參數不變，得到如圖3所示的位移-頻率分岔圖。與圖2進行比較可以發現，在低頻區，系統的運行基本一致，嚙合阻尼比ξ的變化對系統發生的跳躍分岔無明顯影響。在系統從低頻區向高頻區的運動過程中，齒側間的沖擊振動會突然增大2次，影響了齒輪的運動穩定性。但是隨著嚙合阻尼比ξ增大，系統在ω∈[1.35，1.6]內的復雜混沌行為開始慢慢消失，運動周期逐漸減少，最終轉變為穩定的周期運動。說明嚙合阻尼比對蝸輪蝸桿傳動系統在高頻區的運行影響較大，通過選擇合理的嚙合阻尼比，不僅可有效減少高頻區的混沌運動，降低齒輪間的沖擊振動，還能保證齒輪嚙合傳動穩定運行，有利于提升系統精度和性能，滿足更高的工業需求。

3 結論

本文建立了含彎扭軸三方向的蝸輪蝸桿傳動系統非線性動力學模型，研究了不同嚙合頻率和嚙合阻尼比下系統的動力學特性，主要結論如下所示。1）隨著ω增大，系統經歷擦邊分岔、跳躍分岔和連續倍化分岔后，快速進入高周期直至混沌運動，又通過連續逆倍化分岔退化為穩定的周期1運動。2）隨著ξ不斷增大，系統的高周期和混沌運動等復雜行為逐漸消失，最終穩定運行。合理提高齒輪副的嚙合阻尼比ξ，可以有效減少系統在高頻域的復雜行為，有利于提高系統的穩定性，減少齒輪間的沖擊振動和噪聲。

參考文獻

[1]秦大同.國際齒輪傳動研究現狀[J].重慶大學學報，2014，37（8）：1-10.

[2]楊艷.雙參數空間內兩級齒輪傳動系統的動態響應[J].機械設計，2023，40（10）：33-41.

[3]莫帥，曾彥鈞，王震，等.高速重載人字齒輪傳動非線性動力學分析[J].力學學報，2023，55（10）：2381-2392.

[4]李潤方，王建軍.齒輪系統動力學——振動、沖擊、噪聲[M].北京：科學出版社，1997．