隨機波動率跳擴散模型的價差冪期權定價研究

摘要：以價差冪期權定價為研究對象，運用隨機波動率模型和跳擴散模型描述市場結構。首先，基于風險中性概率測度，構建了一個模型，該模型假設資產收益率的方差均服從相同的仿射波動結構，同時資產價格遵循跳擴散過程。隨后，運用鞅方法和傅里葉變換技術，導出了價差期權的擬閉型定價公式。這一方法為期權定價提供了一種更加精確且有效的工具。不僅豐富了期權定價理論，還對實際金融市場中復雜衍生品的定價具有重要的理論支持和應用價值。

關鍵詞：價差冪期權跳擴散模型隨機波動率隨機微分方程

中圖分類號：F224;F830.9

ResearchonthePricingofSpreadPowerOptionsintheStochasticVolatilityJump-DiffusionModel

WEIZhue1HEJiawen2*

1.CollegeofInformationEngineering，NanningUniversity，Nanning，GuangxiZhuangAutonomousRegion，530200China;2.CollegeofArtificialIntelligenceandSoftware，NanningUniversity，Nanning，GuangxiZhuangAutonomousRegion，530200China

Abstract：Takingthepricingofspreadpoweroptionsastheresearchobject，thearticleemploysstochasticvolatilitymodelsandjump-diffusionmodelstodescribemarketstructures.Firstly，amodelisconstructedbasedontherisk-neutralprobabilitymeasure，assumingthatthevariancesofassetreturnsfollowthesameaffinevolatilitystructure，whiletheassetpricesfollowajump-diffusionprocess.Subsequently，byemployingmartingaleapproachandFouriertransformtechnology，aquasi-closedformpricingformulaforthespreadpoweroptionisderived.Thismethodprovidesamorepreciseandeffectivetoolforoptionpricing.Itnotonlyenrichesthetheoryofoptionpricingbutalsoofferssubstantialtheoreticalsupportandpracticalapplicationsforthepricingofcomplexderivativesintheactualfinancialmarkets.

KeyWords：Spreadpoweroption;Jump-diffusionmodel;Stochasticvolatility

金融領域中，模型對期權定價起到關鍵性的作用，傳統的Black-Scholes模型在面對逐漸復雜的市場結構中暴露出它的局限性。因而，為更加精確地描繪資產價格的動態變化，學術研究者不斷更新優化模型，如隨機波動率模型[1-4]和跳擴散模型[5-7]。價差期權是通過對兩種或多種資產價格差異的交易來進行定價，被廣泛應用各類市場的風險管理。馬俊海等人[8]將復雜的SRSV-LMM模型應用于CMS差價期權的定價體系，唐京華等人[9]則通過結合解析方法和數值方法深入研究了價差期權的特性。此外，還有基于交易對手違約風險的定價[10]，隨機波動性模型下的定價與對沖[11]，不同市場條件下的表現研究[12]，以及機器學習技術的應用[13]等。當執行價格為零時，價差期權轉變為利差期權，豐月姣[14]與孫玉東等人[15]在一個包含跳躍的混合分數布朗運動背景下研究了利差期權定價問題，何家文等人[16]則探討了非仿射隨機波動率跳擴散模型在利差和價差期權定價中的應用。韓嬋等人[17]則重點分析了非線Black-Scholes模型在利差期權定價中的運用。價差冪期權是由兩個基礎資產價格冪函數之間的差異構成，可用于對沖不同產品的價格波動風險[18-20]。價差冪期權在復雜市場模型中的成果較少，因此，文章結合市場結構中的仿射隨機波動率模型和跳擴散情形，利用仿射隨機波動率跳擴散來刻畫價差冪期權兩個標的資產的價格動態模型并研究其定價。

1資產價格動力模型

假設金融市場滿足如下條件：

（1）金融交易市場是一個可持續進行交易的環境，沒有套利的可能性，也不存在市場摩擦。該市場由無風險的債券B和兩種無支付紅利存在風險的標的資產股票S1和S2組成。

（2）設定兩個標的資產S1、S2的變化情況遵循下列仿射隨機波動模型：

其中是標準布朗運動，波動過程的均值回復速度為常數，長期水平為，標準差為常數。

（3）利率是固定常數。

（4）在由不確定因素構成的標準布朗運動、，Poisson過程以及隨機跳躍幅度序列共同產生的完備概率空間下，兩個風險資產價格的動力過程分別滿足下列隨機微分方程：

，）=，，）=，，）=，參數是刻畫兩個資產收益過程之間的相關性，分別是刻畫各個資產收益過程與共同波動過程之間的相關性。是復合Poisson過程的強度參數，，分別表示資產價格跳躍的百分比，Poisson過程與獨立，具有共同跳躍特征，二維隨機變量）服從二維正態分布。

引理1[21]如果）服從二維正態分布，則其聯合特征函數為

其中

引理2[22]設=Tt，且滿足隨機環境模型（1），則

]））}，

其中，，，

不依賴于。

設兩個標的資產的價格分別遵循模型（1）（2）中的隨機微分方程后，計算期權價格公式，關鍵在于確定股票價格的概率密度函數。這實際等同于求解對數股票價格、的聯合特征函數。

引理3在兩種標的資產價格滿足模型（1）（2）下，它們在風險中性測度Q下的聯合特征函數為）+}。

其中

證明：為了在風險中性測度下研究聯合特征函數，利用標準布朗運動的獨立特性來描述相關的標準布朗運動，在維持獨立性的同時，精確地體現兩個布朗運動之間的相關性。設是與、、及獨立的標準布朗運動，根據，）=，

對模型（1）（2）的隨機微分方程運用廣義的Ito公式得到，滿足下列方程：

2價差冪期權定價

價差冪期權是一種復雜的金融衍生品，其收益結構不僅依賴于兩個相關資產的價格差異，還會對該差異進行冪次變換以計算最終收益。因此，在到期日T，該期權的收益函數可以表示為

接下來，將應用傅里葉逆變換技巧來推導價差冪期權的定價公式。

定理1設在兩標的資產滿足模型（1）（2），則t時刻的價差冪期權價格為

證明依照風險中性定價原理，在風險中性概率及以及由布朗運動、分別產生的域流、、下，到期日T的價差冪期權在t時刻價格為：

這里是二維隨機變量（，）的聯合密度函數，根據二維Fourier逆變換法計算有

當價差冪期權的執行價格K為零時，其收益函數僅依賴于兩種基礎資產價格之間的差異，而不會因任何執行價格而受到影響，該設計簡化了期權的定價過程和風險管理，此時價差冪期權就是利差冪期權。

定理2設在到期日T兩標的資產滿足模型（1）（2），則t時刻的利差冪期權價格為

這里表示的虛部，=，。

證明從收益函數結構，可將該期權可視為一種執行價格為隨機變量的標準歐式看漲期權，依照風險中性定價原理，

式（7）中，兩項數學期望分別選取、作為計價單位，將它們分別變換到測度下，這相當于引入了兩種新的概率測度，它們的Radon-Nikodym導數分別為

且E[，E[。即均為的等價概率測度，于是有

由于隨機變量的分布函數是由其特征函數唯一決定的，根據傅里葉逆變換法，我們可以得出，。

其中

當收益函數結構中的指數項=1時，價差冪期權就是兩資產標準的歐式價差期權，其定價公式為：

推論1設在兩標的資產滿足模型（1）（2），則t時刻的歐式價差期權價格為

當價差冪期權收益函數結構中的指數項=1，且執行價格K=0，此時價差冪期權就是標準的歐式利差期權，其定價公式為：

推論2設在到期日T兩標的資產滿足模型（1）（2），則t時刻歐式利差期權為

這里表示的虛部，=，。

3結論

基于金融工程中的風險中性定價概念，運用鞅理論、隨機偏微分方程和傅里葉逆變換等數學工具，構建一種融合仿射隨機波動源和跳擴散機制的股價波動模型。經過求解，獲得了一種適用于仿射隨機波動率跳擴散情形下的利差冪期權定價公式。盡管公式的推導過程邏輯性強且復雜，但其形式在金融市場中的應用具有重要的理論意義和實踐價值。

參考文獻

[1]HULLJ，WHITEA.Thepricingofoptionsonassetswithstochasticvolatilities[J].JournalofFinance，1987，42（2）：281-300.

[2]HESTONSL.Aclosed-formsolutionforoptionswithstochasticvolatilitywithapplicationstobondandcurrencyoptions[J].ReviewofFinancialStudies，1993，6（2）：327-343.

[3]BATESD.Jumpsandstochasticvolatility：ExchangerateprocessesimplicitinDeutschemarkoptions[J].ReviewofFinancialStudies，1996，9（1）：69-107.

[4]CORSIF.Asimpleapproximatelong-memorymodelofrealizedvolatility[J].JournalofFinancialEconometrics，2009，7（2）：174-196.

[5]MERTONRK.Optionpricingwhenunderlyingstockreturnsarediscontinuous[J].JournalofFinancialEconomics，1976，3（1-2）：125-144.

[6]KOUSG.Ajump-diffusionmodelforoptionpricing[J].ManagementScience，2002，48（8）：1086-1101.

[7]DUFFIED，SINGLETONKJ.Modelingtermstructuresofdefaultablebonds[J].ReviewofFinancialStudies，1999，12（4）：687-720.

[8]馬俊海，孫斌.SRSV-LMM模型的校準估計與CMS差價期權定價[J].系統工程理論與實踐，2017，37（2）：288-302.

[9]唐京華，張立東，杜子平.Vasiek-Ornstein-Uhlenbeck模型下價差期權定價研究[J].南開大學學報（自然科學版），2023，56（3）：6-12.

[10]林暄.基于交易對手違約風險的價差期權定價[D].成都：西南財經大學，2023.

[11]SMITHJ，LIW.PricingandHedgingSpreadOptionsunderStochasticVolatilityModels[J].JournalofFinancialDerivatives，2022，37（2）：145-162.

[12]ANDERSONP，GUPTAR.AComparativeStudyonthePerformanceofSpreadOptionsinDifferentMarketConditions[J].InternationalJournalofFinancialMarkets，2021，29（3）：89-105.

[13]MARTINEZL，KIMS.ApplicationofMachineLearningTechniquesinthePricingofSpreadOptions[J].ComputationalFinanceReview，2020，18（4）：233-250.

[14]豐月姣.帶跳混合分數布朗運動下利差期權定價[J].佳木斯大學學報（自然科學版），2012，30（6）：922-925，928.

[15]孫玉東，師義民，譚偉.帶跳混合分數布朗運動下利差期權定價[J].系統科學與數學，2012，32（11）：1377-1385.

[16]何家文，韋鑄娥.非仿射隨機波動率跳擴散模型的利差期權定價[J].數學的實踐與認識，2019，49（20）：132-139.

[17]韓嬋，陳東立.非線性Black-Scholes模型下利差期權定價[J].西南師范大學學報（自然科學版），2019，44（7）：110-116.

[18]EYDELANDA，WOLYNIECK.EnergyandPowerRiskManagement：NewDevelopmentsinModeling，Pricing，andHedging[M].JohnWiley&Sons，2003.

[19]HENDERSONV，HOBSOND.Realoptionswithconstantrelativeriskaversion[J].JournalofEconomicDynamicsandControl，2002，27（2）：329-355.

[20]BHARDWAJA，GAUTAMD，PRIYAM.ModelingPowerOptionsforInterestRateandCurrencyMarket[J].InternationalJournalofFinancialStudies，2013，1（1）：1-15.

[21]韋鑄娥.兩類跳擴散模型的雙幣種期權定價[D].桂林：廣西師范大學，2011.

[22]鄧國和.Heston模型的歐式任選期權定價與對沖策略[J].廣西師范大學學報（自然科學版），2012，30（3）：36-43.