四邊形最值問(wèn)題解題策略

四邊形最值問(wèn)題因常與三角形、函數(shù)等知識(shí)綜合考查，故而一般難度較大，下面舉例介紹此類(lèi)題的解題策略.

例1 如圖1，菱形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC = 60°，如圖2，翻折∠ABC，∠ADC，使兩個(gè)角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，EF，GH分別是折痕. 設(shè)AE = x（0 < x < 2），給出下列判斷：

①當(dāng)x = 1時(shí)，DP的長(zhǎng)為[3]；

②EF + GH的值隨x的變化而變化；

③六邊形AEFCHG面積的最大值是[332]；

④六邊形AEFCHG周長(zhǎng)的值不變.

其中正確的是（ ）.

A. ①② B. ①④ C. ②③④ D. ①③④

解析：根據(jù)菱形的性質(zhì)，先確定出△ABC是等邊三角形，再用x表示出EF，BP，DP，GH，然后取x賦予的值，即可求出EF + GH的值；利用面積公式和周長(zhǎng)公式分別確定相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，即可解決問(wèn)題.

（1）∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC = 60°，∴AC = AB = 2，BD = 2[3].

由折疊知，△BEF是等邊三角形，當(dāng)x = 1時(shí)，BE = AB - AE = 1.

由折疊知，BP = 2 × [32] = [3] = [12]BD，∴DP = [3]. 故①正確.

（2）如圖3，設(shè)EF與BD交于M，GH與BD交于N，

∵AE = x，∴BE = AB - AE = 2 - x.

∵△BEF是等邊三角形，∴EF = BE = 2 - x，

∴BM = [3]EM = [3] × [12]EF = [32]（2 - x），

∴BP = 2BM = [3]（2 - x），

∴DP = BD - BP = 2[3] - [3]（2 - x） = [3]x，

∴DN = [12]DP = [32]x，∴GH = 2GN = 2 × [12]x = x，

∴EF + GH = 2.

故②錯(cuò)誤.

（3）當(dāng)0 < x < 2時(shí)，

∵AE = x，∴BE = 2 - x，

∴EF = 2 - x，∴BP = [3]（2 - x），

∴DP = [3]x，∴GH = 2 × [x2] = x = DG = DH，

∴S六邊形AEFCHG = S菱形ABCD - S△BEF - S△DGH

= [12] × 2 × 2[3] - [34]（2 - x）2 - [34]x2

= 2[3] - [32]（x - 1）2 - [32]

= -[32]（x - 1）2 + [332].

當(dāng)x = 1時(shí)，六邊形AEFCHG面積最大，最大值為[332].

故③正確.

（4）六邊形AEFCHG周長(zhǎng) = AE + EF + FC + CH + HG + AG = x + 2 - x + x + 2 - x + x + 2 - x = 6，是定值. 故④正確.

即正確的有①③④，故選D.

例2 已知：如圖4，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O. 過(guò)點(diǎn)O作一直角∠MON，直角邊OM，ON分別與OA，OB重合，然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MON，旋轉(zhuǎn)角為θ（0° < θ < 90°），OM，ON分別交AB，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中正確的是 （填序號(hào)）.

①EF = [2]OE；

②S四邊形OEBF∶S正方形ABCD = 1∶2；

③BE + BF = [2]OA；

④OG·BD = AE2 + CF2；

⑤在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí)，AE = [34].

解析：本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題. 注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵.

（1）由四邊形ABCD是正方形，∠EOF = 90°，可得∠BOE = ∠COF.

易證△BOE ≌ △COF（ASA），∴OE = OF，

∴△OEF是等腰直角三角形，∴EF = [2]OE.

故①正確.

（2）∵S四邊形OEBF = S△BOF + S△BOE = S△BOF + S△COF = S△BOC = [14]S正方形ABCD，

∴S四邊形OEBF∶S正方形ABCD = 1∶4.

故②錯(cuò)誤.

（3）∵△BOE ≌ △COF，∴BE + BF = BF + CF = BC = [2]OA.

故③正確.

（4）∵∠EOG = ∠BOE，∠OEG = ∠OBE = 45°，∴△OEG ∽ △OBE，

∴OE∶OB = OG∶OE，∴OG·OB = OE2.

∵OB = [12]BD，OE = [22]EF，∴OG·BD = EF2.

∵在Rt△BEF中，EF2 = BE2 + BF2，∴EF2 = AE2 + CF2，

∴OG·BD = AE2 + CF2.

故④正確.

（5）如圖5，過(guò)點(diǎn)O作OH ⊥ BC于H，

∵BC = 1，∴OH = [12]BC = [12].

設(shè)AE = x，則BE = CF = 1 - x，BF = x，

∴S△BEF + S△COF = [12]BE·BF + [12]CF·OH = [12]x（1 - x） + [12] × （1 - x） × [12] = -[12][x-142] + [932].

∵-[12] < 0，∴當(dāng)x = [14]時(shí)，S△BEF + S△COF的值最大.

即在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí)，AE = [14].

故⑤錯(cuò)誤.

故答案為①③④.

拓展訓(xùn)練

1. 如圖6，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊AB上（不與A，B重合），將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，連接A1B，將A1B繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到A2B，連接A1A，A1C，A2C. 給出下列四個(gè)結(jié)論：

①△ABA1 ≌ △CBA2；

②∠ADE + ∠A1CB = 45°；

③若點(diǎn)P是直線DE上的動(dòng)點(diǎn)，則CP + A1P的最小值為[2]；

④當(dāng)∠ADE = 30°時(shí)，△A1BE的面積為[3-36].

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（ ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 如圖7，在四邊形ABCD中，AB = CD = 6，BC = AD = 8，∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，E為CD邊的中點(diǎn)，P為四邊形ABCD邊上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，沿著A→B→C→D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程為x，△APE的面積為y.

（1）當(dāng)x = 8時(shí)，求對(duì)應(yīng)y的值.

（2）當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）如圖8，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得△APE的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)畫(huà)出此時(shí)點(diǎn)P的位置，并寫(xiě)出必要的畫(huà)圖步驟；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案：1. C

2. （1）21

（2）[y] = [68-4x14≤x<17 ，4x-6817<x≤20.]

（3）存在，點(diǎn)[P]在線段[BC]上[PC] = [83].

（作者單位：開(kāi)原市民主教育集團(tuán)里仁學(xué)校）