有趣的矩形折疊

矩形是特殊的平行四邊形，它有許多特殊的性質，將其按不同的方式進行折疊，會得到許多有趣的問題. 每年各地中考試題中都有矩形折疊問題. 現從中選取3例來介紹這類問題的解法，供同學們學習時參考.

例1 在以“矩形的折疊”為主題的數學活動課上，某位同學進行了如下操作：

第一步：將矩形紙片的一端，利用圖1①的方法折出一個正方形ABEF，然后把紙片展平.

第二步：將圖1①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點F處，得到折痕MN，如圖1②.

根據以上操作，若AB = 8，AD = 12，則線段BM的長是（ ）.

A. 3 B. [5] C. 2 D. 1

分析：由第一次折疊得到正方形ABEF，易證四邊形DCEF是矩形，則EF = CD = AB = 8. 由第二次折疊可知FM = MC. 設BM = x，則MF = MC = 12 - x，ME = CM - EC = 8 - x. 在Rt△MEF中，運用勾股定理即可得到關于x的方程，解方程求出x即可.

解：∵第一次折疊得到正方形ABEF，

∴∠AFE = ∠BEF = ∠DFE = ∠CEF = 90°.

∵∠C = ∠D = 90°，∴四邊形DCEF是矩形，

則EF = CD = AB = 8，CE = DF = 4.

由第二次折疊可知FM = MC.

設BM = x，則MF = MC = 12 - x，ME = CM - EC = 8 - x.

在Rt△MEF中，MF2 = ME2 + EF2，即（12 - x）2 = （8 - x）2 + 82，

解得x = 2，即BM = 2.

故選C.

點評：解題的關鍵是抓住折疊的性質 ——折疊前后的兩個圖形是全等圖形，進而得到相等的邊和角，為解題創造條件.

例2 【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數學趣味，我們可以通過折紙開展數學探究，探索數學奧秘.

【動手操作】如圖2，將矩形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點B落在EF上，并使折痕經過點A，得到折痕AM，點B，E的對應點分別為B'，E'，展平紙片，連接AB'，BB'，BE′. 請完成：

（1）觀察圖2中∠1，∠2和∠3，試猜想這三個角的大小關系.

（2）證明（1）中的猜想.

【類比操作】如圖3，N為矩形紙片ABCD的邊AD上的一點，連接BN，在AB上取一點P，折疊紙片，使B，P兩點重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點B，P分別落在EF，BN上，得到折痕l，點B，P的對應點分別為B′，P′，展平紙片，連接BB′，P′B′. 請完成證明.

（3）證明BB′是∠NBC的一條三等分線.

分析：（1）經觀察或測量可以得到猜想. （2）由第一次折疊可知，EF垂直平分AB. 由點B'在EF上，可知AB' = BB'. 由第二次折疊可知AB = AB'，∴△ABB'是等邊三角形. ∵點E'為AB'的中點，∴BE'是△ABB'的中線，∴∠1 = ∠2 = 30°，進而可證明猜想正確. （3）如圖4，連接PB'，根據等腰三角形性質證明∠PB'E = ∠BB'E = [12∠BB'P] ，根據平行線的性質證明∠BB'E = ∠CBB' = [12∠BB'P]，證明[△PBB'] ≌ [△P'B'B]（SAS），可得出[∠P'BB'] = [∠PB'B]，即可證明[∠CBB'] = [13∠CBN].

解：（1）∠1 = ∠2 = ∠3.

（2）由折疊的性質可得AB' = BB'，AB = AB'，AE = AE'，AE = BE，

∴AB' = BB' = AB，∴△ABB'是等邊三角形.

易知AE' = B'E'，∠ABB' = 60°，∴∠ABE' = ∠B'BE' = 30°.

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC = 90°，

∴∠3 = 30°，∴∠1 = ∠2 = ∠3.

（3）連接PB'，如圖4，

由折疊的性質可知BB' = PB'，PB' = P'B，∠PBB' = ∠P'B'B.

∵B'E ⊥ AB，BB' = PB'，∴∠PB'E = ∠BB'E.

∵四邊形ABCD為矩形，∴∠EBC = 90°，∴CB ⊥ AB.

∵B'E ⊥ AB，∴B'E [?] BC，∴∠BB'E = ∠CBB'.

易知△PBB' ≌ △P'B'B（SAS），∴∠P'BB' = ∠PB'B，

∴[∠CBB'] = [12∠NBB']，∴[∠CBB'] = [13∠CBN]，

∴BB′是∠NBC的一條三等分線.

點評：準確添加輔助線，熟練掌握折疊的性質，證明△PBB' ≌ △P'B'B是解題的關鍵.

例3 【問題背景】如圖5，數學實踐課上，學習小組進行探究活動，老師要求大家對矩形ABCD進行如下操作：①分別以點B，C為圓心，以大于[12]BC的長度為半徑作弧，兩弧相交于點E，F，作直線EF交BC于點O，連接AO；②將△ABO沿AO翻折，點B的對應點落在點P處，作射線AP交CD于點Q.

【問題提出】

在矩形ABCD中，AD = 5，AB = 3，求線段CQ的長.

【問題解決】

經過小組合作、探究、展示，其中的兩個方案如下.

方案一：連接OQ，如圖6. 經過推理、計算可求出線段CQ的長.

方案二：將△ABO繞點O旋轉180°至△RCO處，如圖7. 經過推理、計算，可求出線段CQ的長.

請你任選其中一種方案求線段CQ的長.

分析：方案一：連接OQ，由翻折的不變性，知AP = AB = 3，OP = OB = 2.5，證明△QPO ≌ △QCO（HL），推出PQ = CQ，設PQ = CQ = x，在Rt△ADQ中，利用勾股定理列方程求解即可. 方案二：將△ABO繞點O旋轉180°至△RCO處，證明∠OAQ = ∠R，推出QA = QR，設CQ = x，同方案一即可求解.

解：方案一：連接OQ，如圖6.

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB = CD = 3，AD = BC = 5.

由作圖知BO = OC = [12]BC = 2.5.

由翻折的不變性，知AP = AB = 3，OP = OB = 2.5，∠APO = ∠B = 90°，

∴OP = OC = 2.5，∠QPO = ∠C = 90°.

又∵OQ = OQ，∴△QPO ≌ △QCO（HL），∴PQ = CQ.

設PQ = CQ = x，則AQ = 3 + x，DQ = 3 - x.

在Rt△ADQ中，AD2 + QD2 = AQ2，

即52 + （3 - x）2 = （3 + x）2，解得x = [2512]，

∴線段CQ的長為[2512].

方案二：將△ABO繞點O旋轉180°至△RCO處，如圖7.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB = CD = 3，AD = BC = 5.

由作圖知BO = OC = [12]BC = 2.5.

由旋轉的不變性，知CR = AB = 3，∠BAO = ∠R，∠B = ∠OCR = 90°，

則∠OCR + ∠OCD = 90° + 90° = 180°，

∴D，C，R共線.

由翻折的不變性，知∠BAO = ∠OAQ，

∴∠OAQ = ∠R，∴QA = QR.

設CQ = x，則QA = QR = 3 + x，QD = 3 - x.

在Rt△ADQ中，AD2 + QD2 = QA2，

即52 + （3 - x）2 = （3 + x）2，解得x = [2512]，

∴線段CQ的長為[2512].

點評：解題的關鍵是學會設未知數構建方程解決問題.

拓展訓練

1. 如圖8，在平面直角坐標系中，長方形AOBC的邊OB，OA分別在x軸正半軸和y軸正半軸上，點D在BC邊上，將長方形AOBC沿AD折疊，點C恰好落在邊OB上的點E處. 若OA = 8，OB = 10，則點D的坐標是 .

2. 如圖9，在矩形ABCD中，AB = 5，AD = 4，M是邊AB上一動點（不含端點），將△ADM沿直線DM對折，得到△NDM. 當射線CN交線段AB于點P時，連接DP，則△CDP的面積為 ，DP的最大值為 .

答案：1. （10，3） 2. 10 2[5]

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）