特殊四邊形專題原創題

1. 如圖1，已知矩形ABCD，AD = [3]，點E是射線AB上一動點，點F，G在直線CD上，點E運動過程中始終滿足EF = EG，∠FEG = 120°，射線FE與直線CB交于點P，延長EG到Q使GQ = FP，連接PQ交直線CD于點M，當GM = 1時，CG = .

2. 如圖2，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點坐標分別為O（0，0），A（0，3），B（4，3），C（4，0）. 動點Q從點O出發，以每秒5個單位長度的速度沿射線OC方向運動；動點P從點A同時出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB方向運動. 設運動的時間為t秒，點O關于直線PQ的對稱點為M，當點M落到直線BC上時，t = .

3. 如圖3，已知矩形ABCD中，AB = 6，BC = 5，點E是邊CD上一動點，連接EA，將線段EA繞點E沿逆時針方向旋轉90°至EF，點A的對應點是點F，當△FBC是直角三角形時，S△ADF = .

答案：1. 2或4. 分兩種情況.

（1）當點E在線段AB上時，如圖4，過點P作PH [?] EG，交直線CD于點H，易證FP = PH，△PHM ≌ △QGM，GM = HM = 1，由題易求FG = 6，FH = 8，∴CH = 4，∴CG = 4 - 2 = 2. （2）當點E在線段AB的延長線上時，如圖5，過點P作PH [?] EG，交直線CD于點H，易證FP = PH，△PHM ≌ △QGM，GM = HM = 1，由題易求FG = 6，FH = 4，∴CH = 2，∴CG = 2 + 2 = 4.

2. 0.5或2.

延長QP交y軸于點D，作矩形DOCN，則△DAP∽△DOQ，所以[DADO] = [APOQ] = [25]，所以D（0，5），N（4，5），所以DN = 4. （1）當點Q在線段OC上時，如圖6，DM = 5. 在Rt△DMN中，由勾股定理得MN = 3，CM = 2. 在Rt△QCM中，由勾股定理得QM = 2.5，則OQ = 2.5，所以t = [2.55] = 0.5. （2）當點Q在線段OC的延長線上時，如圖7，DM = 5. 在Rt△DMN中，由勾股定理得MN = 3，CM = 8. 在Rt△QCM中，由勾股定理得QM = 10，則OQ = 10，所以t = [105] = 2.

3. [252]或25或[1358-5418]或[1358+5418].

（1）當∠FCB = 90°時，此時點F落在CD上，點E與點D重合，圖略. 由旋轉性質可知AE = EF = AD = 5，所以S△ADF = [252].

（2）當∠FBC = 90°時，此時點F落在直線AB上，如圖8，過點E作EG [⊥] [AF]于點G. 由旋轉性質可知，AE = EF，∠AEF = 90°，AG = FG，則AF = 2EG = 10，所以S△ADF = 25.

（3）當∠BFC = 90°時，過點 F 作 FP [⊥] DC，交DC延長線于點P，交AB延長線于點 Q，如圖9，則FQ [⊥] AB. 設CP = x，根據題意可知△ADE ≌△EPF，則AD = EP = 5，所以CE = 5 - x，DE = PF = x + 1，BQ = CP = x，FQ = 4 - x，根據題意可知△CPF∽△FQB，則[x4-x] = [x+1x]，解得[x1=34-414]，[x2=34+414]，所以S△ADF = [1358] - [5418]或[1358] + [5418].

（作者單位：沈陽市南昌初級中學）