云南某城市公共供水管網目標優化設計研究

摘 要：本文以城市公共供水管網為目標，探討多目標優化設計方法在供水管網優化設計中的應用以及管網的總成本、可靠性等優化目標。采用多目標優化設計和蒙特卡洛模擬方法，通過構建目標函數和權重分配，生成備選設計方案，并利用理想點法進行綜合評價，確定最優解。研究結果表明，基于多目標優化設計的方法能夠全面考慮多個目標和約束條件，克服單目標優化的片面性，同時蒙特卡洛模擬方法能夠有效克服優化設計的非線性及離散型。

關鍵詞：多目標優化設計；供水管網；蒙特卡洛模擬

中圖分類號：TU 991" " 文獻標志碼：A

1 工程概況

以云南某市的供水工程為研究對象，進行城市公共供水管網目標優化設計研究。該供水工程由27個供水節點組成，包括水源、泵站、調節水池、用戶等。節點之間通過42個管段相互連接，形成一個復雜的供水網絡。最高時總供水量為1267.34L/s，最不利點的自由水頭為30m。管網的基準收益率為8%，運行維護費率為管網總成本的3.5%。項目計算期為30a，泵站各時段的綜合效率為80%。此外，日變化系數為1.2，該數據反映供水需求在一天內的變化幅度。

2 多目標供水管網目標優化模型建立

為實現該城市公共供水管網的目標優化設計，采用一種分步驟的優化思路，包括初步流量分配、管段管徑模擬、備選設計方案生成、目標函數計算以及綜合評價確定最優解[1-2]。以下是詳細的設計思路闡述。1）初步流量分配。采用最短路線法對供水管網中的各管線流量進行初步分配。通過計算各管線的阻力損失，將流量分配到各管線上，從而得到一個初步的流量分配方案。2）管段管徑模擬。利用蒙特卡洛模擬方法對各管段的管徑進行模擬。通過設定合理的管徑范圍和模擬次數，生成一系列可能的管徑組合，為后續的優化設計提供備選方案。3）備選設計方案生成。根據蒙特卡洛模擬得到的管徑組合，結合初步流量分配的結果，生成一系列的管網備選設計方案。4）目標函數計算。在生成備選設計方案后，將計算每個方案的目標函數值。目標函數通常包括多個優化目標，通過建立目標函數模型，對每個備選設計方案進行評估，得出各方案的目標函數值。5）綜合評價確定最優解。采用理想點法進行綜合評價，以確定最優解。通過比較各方案的綜合評價函數值找出最優解。

3 確定最小路徑

3.1 模型配置

為實現城市公共供水管網的目標優化設計，采用Dijkstra法計算最短路徑，并基于此計算模型進行路徑計算。

構建網絡圖：將供水管網抽象為一個加權有向圖，如公式（1）所示。

G=（V，E） （1）

式中：V為節點集合；E為邊集合。

節點V代表供水管網中的各個節點，邊E代表供水管網中的各個管線。

初始化：設定一個初始節點作為源點，記為s。創建一個優先隊列Q，用于存儲待處理的節點及其距離。針對圖G中的所有節點v，初始化距離d（s，v）為無窮大，源點s的距離為0。同時，創建一個集合S，用于存儲已處理過的節點。

Dijkstra算法計算最短路徑：利用Dijkstra算法計算從源點s到其他節點的最短路徑。算法的主要步驟如下。1）將源點s加入集合S，表示已處理。2）針對集合S中的每個節點v，遍歷其鄰接節點u，計算從源點s經過節點v到節點u的路徑長度alt，如公式（2）所示。3）如果alt小于當前已知的從源點s到節點u的最短路徑長度d（s，u），就更新最短路徑長度d（s，u）為alt，并將節點u的前驅節點設置為v。4）重復步驟2和步驟3，直到集合S囊括所有節點。

alt=d（s，v）+weight（v，u） （2）

式中：d（s，v）為從源點s到節點v的最短路徑長度；weight（v，u）為邊（v，u）上的權重。

計算最短路徑：在Dijkstra算法計算完成后，可以得到從源點s到其他節點的最短路徑長度d（s，v）。這些最短路徑長度可以用于后續的流量分配和優化設計。

3.2 數據計算及分析

結合考慮供水管網的可靠性以及經濟性，因為計算過程煩瑣且數據量大，所以采用建模軟件Matlab2018a進行模型計算，將供水管網數據進行導入按照公式（1）、公式（2），得出供水路線最短路徑規劃圖（如圖1所示）。在此選擇部分規劃點的數據進行計算。

3.2.1 步驟1

節點集合V={A，B，C，D，E}，邊集合E={（A，B，2），（A，C，4），（B，C，1），（B，D，5），（C，D，3），（C，E，2），（D，E，2）}，（（A，B，2）表示從節點A到節點B的管線權重為2）。

3.2.2 步驟2：初始化

設定源點為A，即s=A。初始化距離，d（s，A）=0，d（s，B）=∞，d（s，C）=∞，d（s，D）=∞，d（s，E）=∞。優先隊列Q={A（0）}，已處理節點集合S={}。

3.2.3 步驟3：Dijkstra算法計算最短路徑

3.2.3.1 處理源點A

將A加入集合S，S={A}，遍歷A的鄰接節點B和C，更新距離，如公式（3）、公式（4）所示。

dlt=d（s，A）+weight（A，B）=0+2=2，更新d（s，B）=2" （3）

alt=d（s，A）+weight（A，C）=0+4=4，更新d（s，C）=4 （4）

更新優先隊列Q={B（2），C（4）}。

3.2.3.2 處理節點B

從Q中取出距離最小的節點B，S={A，B}，遍歷B的鄰接節點C和D，更新距離，如公式（5）、公式（6）所示。

alt=d（s，B）+weight（B，C）=2+1=3，更新d（s，C）=3 （5）

alt=d（s，B）+weight（B，D）=2+5=7，更新d（s，D）=7 （6）

更新優先隊列Q={C（3），D（7）}。

3.2.3.3 處理節點C

從Q中取出距離最小的節點C，S={A，B，C}，遍歷C的鄰接節點D和E，更新距離，如公式（7）、公式（8）所示。

alt=d（s，C）+weight（C，D）=3+3=6，更新d（s，D）=6 （7）

alt=d（s，C）+weight（C，E）=3+2=5，更新d（s，E）=5 （8）

更新優先隊列Q={D（6），E（5）}。

3.2.3.4 處理節點D

從Q中取出距離最小的節點D，S={A，B，C，D}，遍歷D的鄰接節點E，更新距離，如公式（9）所示。

alt=d（s，D）+weight（D，E）=6+2=8 （9）

因為8大于當前的d（s，E）=5，所以不更新，更新優先隊列Q={E（5）}。

3.2.3.5 處理節點E

從Q中取出距離最小的節點E，S={A，B，C，D，E}，節點E沒有未處理的鄰接節點，算法結束。

3.2.3.6 結果

從源點A到各節點的最短路徑如公式（10）～公式（13）所示。

A-gt;B-gt;C-gt;D=880 （10）

A-gt;B-gt;C-gt;E=880 （11）

A-gt;C-gt;D=630 （12）

A-gt;C-gt;E=1120 （13）

4 管網備選設計方案

4.1 蒙特卡洛模擬

采用蒙特卡洛方法模擬各管段管徑[3-4]，并生成管網備選設計方案。計算步驟如下。1）確定管徑范圍和模擬次數。管徑范圍可以根據管材、設計規范和工程經驗來確定。2）生成隨機管徑樣本。在確定管徑范圍和模擬次數后，采用蒙特卡洛方法生成隨機管徑樣本。針對每個管段，根據預設的管徑范圍，隨機生成一個管徑值，如公式（14）所示。3）構建管網備選設計方案。根據生成的隨機管徑樣本，構建一系列的管網備選設計方案。每個方案包括不同管段的管徑選擇，通過組合不同的管徑，可以得到多種可能的管網布局。4）計算目標函數值。針對每個備選設計方案，計算目標函數值。重復模擬和評估，重復步驟2～步驟4，進行多次模擬和評估，以獲得足夠多的樣本和評估結果。5）分析結果和確定最優解。在完成多次模擬和評估后，分析各備選設計方案的目標函數值，找出最優解。

Di～U（Dimin，Dimax） （14）

式中：Di為示第i個管段的管徑；Dimin和Dimax分別為第i個管段管徑的最小值和最大值；U為均勻分布。

4.2 數據計算及分析

通過蒙特卡洛模擬的計算步驟中公式（14），生成一個0～1的隨機數Di。針對管段1，從最小的管徑開始，累加被選概率，直到累加的和大于或等于Di。此時，累加到的管徑就是被選中的管徑。如果R=0.35，那么累加過程為0.032+0.057=0.089，0.089+0.185=0.274，由于0.274gt;0.35，因此選取的管徑為600。重復步驟2，直到所有管段的管徑都被選取，被選取概率見表1。

根據可供選擇的管網管線被選管徑概率劃分至（0，1），以確定偽隨機概率對應各管線管徑之間的關系。基于此概念，使用Matlab2018a自帶的蒙特卡洛模擬工具箱進行隨機性模。

5 最優設計方案確定

5.1 理想點綜合評價

采用理想點法進行綜合評價，以確定最優解。詳細計算步驟如下。1）確定優化目標。優化目標的數量可以根據研究需求和實際情況來確定。2）構建目標函數。針對每個優化目標，構建相應的目標函數，如公式（15）所示。3）計算目標函數值。針對每個備選設計方案，計算各個目標函數值。將決策變量x代入目標函數中，得到各方案的目標函數值。4）確定理想點和負理想點。理想點是指在每個目標函數上取得最優值的點，記為A*；負理想點是指在每個目標函數上取得最劣值的點，記為A-。理想點和負理想點分別如公式（16）、公式（17）所示。5）計算距離。計算每個備選設計方案與理想點和負理想點的距離。距離可以采用歐幾里得距離來計算，如公式（18）所示。6）計算相對接近度。計算每個備選設計方案與理想點的相對接近度，如公式（19）所示。7）確定最優解。根據相對接近度Ci的大小，確定最優解。相對接近度最小的備選設計方案即為最優解。

fi（x）=（x-xi*）2 （15）

式中：fi（x）為第i個目標函數；x為決策變量；xi*為第i個優化目標的理想點。

A*=（x1*，x2*，…，xm*） （16）

A-=（x1-，x2-，…，xm-） （17）

式中：m為目標函數的數量。

d（A，B）=sqrt（（x1-y1）2+（x2-y2）2+…+（xm-ym）2）（18）

式中：A和B分別為2個點；xi和yi分別為2個點在第i個目標函數上的值。

Ci=d（Ai，A-）/（d（Ai，A*）+d（Ai，A-））" " " " " " （19）

式中：Ci為第i個備選設計方案與理想點的相對接近度；d（Ai，A*）和d（Ai，A-）分別為第i個備選設計方案與理想點和負理想點的距離。

表1 各管段管徑被選取概率

管段編號 可選管徑 被選概率

1 400 600 700 500 0.032 0.086 0.185 0.056

500 500 400 800 0.057 0.035 0.054 0.074

400 500 500 600 0.123 0.059 0.027 0.086

2 300 400 600 900 0.048 0.094 0.065 0.057

500 700 400 600 0.165 0.082 0.032 0.086

400 500 800 500 0.096 0.032 0.047 0.062

… 300 500 400 400 0.073 0.165 0.067 0.169

…

100 300 500 300 0.022 0.082 0.113 0.052

27 500 200 400 600 0.146 0.076 0.059 0.084

400 400 600 500 0.006 0.048 0.087 0.115

500 500 500 400 0.047 0.094 0.032 0.081

5.2 數據計算及分析

在理想點計算綜合評價得分的基礎上，分別選取主觀賦權法FAHP法以及客觀賦權法CRITIC法確定綜合評價得分高的方案，在對比2種權重的基礎上，選取年綜合費用計算作為實例，對備選設計方案A進行綜合評價，目標函數值f1（A）=

（300-250）2=2500。

針對節點水頭均值，備選設計方案A的目標函數值f2（A）=

（20-25）2=25，依此類推，得到其他目標函數值。

理想點和負理想點A*=（250，25，…，25）A-=（350，15，…，15）。

針對備選設計方案A，與理想點的距離d（A，A*）=sqrt（（300-250）2+（20-25）2+…+（15-25）2）=100，與負理想點的距離d（A，A-）=sqrt（（300-350）2+（20-15）2+…+（15-15）2）=100，相對接近度CA=d（A，A-）/（d（A，A*）+d（A，A-））=100/（100+100）=0.5。

確定最優解：根據相對接近度Ci的大小確定最優解。相對接近度最小的備選設計方案即為最優解。進一步將其與多目標近似最優解進行多重對比確定。對比結果見表2。

根據表2并結合綜合評價計算方法確定綜合方案評分值為0.0038、0.0021、0.0042、0.0031和0.0033。其中，由主觀賦權法FAHP法所確定的非劣解分數最低為最優方案。基于以上優化設計方案必選的方法可以有效避免因項目指標值的某一分項得分過高而造成忽略其他評價目標值過差的情況。

6 結語

本文以具體城市公共供水管網為研究對象，采用多目標優化設計方法進行目標優化設計，得出以下結論。1）多目標優化設計方法能夠全面考慮供水管網的多個目標和約束條件，克服單目標優化設計的片面性。在優化過程中，同時考慮管網的總成本、泵站的能耗、管網的可靠性等多個目標，通過權重分配和目標函數的構建，實現了多個目標之間的均衡和協調。2）蒙特卡洛模擬方法能夠有效地克服優化設計的非線性及離散型。通過模擬大量的隨機樣本，蒙特卡洛方法能夠捕捉管徑和流量的不確定性以及目標函數的非線性和離散型。這種方法可以更好地反映實際情況，提高優化設計的準確性和可靠性。3）基于多目標優化設計和蒙特卡洛模擬的方法，成功地生成一系列備選設計方案，并通過理想點法進行綜合評價，確定了最優解。最優解能夠使管網的總成本最低、泵站的能耗最小、管網的可靠性最高，實現多個目標的同時優化。

綜上所述，基于多目標優化設計的城市公共供水管網優化設計可以為其他城市供水管網的優化設計提供借鑒和參考。

參考文獻

[1]鄭帥龍.基于多目標進化算法的城市雨水管網優化設計研究[D].西安：西安理工大學，2023.

[2]潘瑞軍.基于遺傳算法的污水管網布局優化方法設計[J].水利規劃與設計，2023（6）：6-9，38.

[3]劉成榮.基于智能算法的供水管網水力參數反演與設計優化[D].保定：河北農業大學，2023.

[4]張利.基于LCC的農村供水管網優化設計研究[J].水利技術監督，2023（4）：95-98.