例談解答中點弦問題的兩種思路

中點弦問題側重于考查直線與圓錐曲線的位置關系，以及對中點的坐標公式、直線的斜率公式、韋達定理的應用.這類問題的運算量較大，容易出錯，但仍有規律可循.本文主要談一談解答中點弦問題的兩種思路.

一、利用韋達定理

中點弦是指直線被圓錐曲線所截得的弦，因此我們可以將直線與圓錐曲線的方程聯立，消去x或y，得到一元二次方程，這樣便可以根據韋達定理得出兩個交點的橫坐標或縱坐標的和與積，即[x1+x2]、[x1x2]、[y1+y2]、[y1y2.]再根據中點的坐標公式、直線的斜率公式建立有關兩個交點的橫坐標或縱坐標的式子，進而通過整體代換消去兩個交點的橫坐標或縱坐標，從而求得問題的答案.

可見，解答中點弦問題，需抓住中點弦的性質，明確弦所在的直線、中點、圓錐曲線之間的關系，建立有關直線的斜率、中點的坐標、圓錐曲線方程的參數的關系式，即可快速找到解題的方案.

（作者單位：江蘇省龍岡中學）