怎樣解答排列組合問題

排列組合是高中數學中的一個重要模塊.解答排列組合問題，不僅要掌握分步計數原理和分類計數原理，還要熟悉一些常用的解題方法和技巧.解答排列組合問題常用的方法有插空法、消序法、列舉法.本文將結合幾道例題談一談解答排列組合問題的這三種方法.

一、插空法

插空法是解答元素不相鄰問題的常用方法.對于n個元素，若要求其中[m]個元素不相鄰，則需先將沒有要求的n-m個元素排列好，其中有n-m-1個空位，加上兩端的空位，一共有n-m+1個空位；再將m個元素插入這n-m+1個空位中，就能確保這m個元素不相鄰.運用插空法解題要明確兩個點：一是哪幾個元素不相鄰，哪幾個元素沒有要求；二是有幾個空位可以插入元素.

例1.現將編號分別為[A]，[B]，[C]，[D]，[E]，[F]，[G]的7個不同的小球排成一排．

（1）若要求[A]，[B]，[C]均不相鄰，則有多少種不同的排法？

（2）若要求[A]排在正中間，且[B]，[C]，[D]互不相鄰，則有多少種不同的排法？

解：（1）先排[D]，[E]，[F]，[G]四個小球的順序，有[A44]種排法，則這4個小球之間有3個空位，加上兩端的空位，共有5個空位，將A，B，C插入這5個空位中，有[A35]種排法，則不同的排法有[A44A35=1440]種排法.

（2）要使A在正中間，則A的排法只有1種.

因為B，C，D互不相鄰，所以B，C，D不可能同時在A的左側或右側.

若B，C，D中有1個小球在A的左側，2個小球在A的右側且不相鄰，則A的左側需排[E]，[F]，[G]中的2個小球，A的右側需插入[E]，[F]，[G]中的1個小球，并使其在B，C，D中的2個小球的中間，則不同的排法有[C23A22C13A33=108]種；若B，C，D中有2個小球在A的左側且不相鄰，1個小球在A的右側，則A的右側需排[E]，[F]，[G]中的2個小球，A的左側插入[E]，[F]，[G]中的1個小球，并使其在B，C，D中的2個球的中間，不同的排法有[C23A22C13A33=108]種．

綜上可得，[A]排在正中間，且[B]，[C]，[D]互不相鄰的排法有[108+108=216]種．

這兩個小問題都是元素不相鄰問題，需用插空法求解.第一個小問題較為簡單，先排不作要求的元素的順序，再將要求不相鄰的元素插入空位中進行排列即可.對于第二個小問題，要分B、C、D在A的左側或右側的情況進行分類討論.當B、C、D中的2個小球在A的同一側時，需將二者中間插入一個小球，使其不相鄰，即可確保3個小球不相鄰.

二、消序法

若要求某些元素的順序不變，則可使用消序法進行求解.在運用此方法解題時，需先將所有元素全排，求出所有元素的總排列數；再單獨求出要求順序不變的某些元素的排列數；最后將兩個排列數相除即可.

例2.將3名男生和4名女生排成一列，若男生的順序已定，女生順序不定，則共有多少種排法？

解：7名學生站成一排，有[A77]種排法，其中3名男生的排法有[A33]種.由于男生順序已定，女生順序不定，故共有[A77A33=840]種排法．

解答本題，需抓住關鍵信息：男生的順序已定，女生的順序不定，先將所有人全排，然后將男生全排，最后通過做除法來達到消序的目的.

三、列舉法

對一些元素的個數較少，或排列的情況數較少的問題，我們通常可以采用列舉法進行求解.在列舉時，可以通過列表、畫樹狀圖的方式將所有的情況一一列舉出來，即可快速獲解.

例3.某排球賽有甲乙兩個隊伍，比賽的規則是哪一個隊伍先贏得3局即可獲勝.如果每一局甲乙兩方均有獲勝的可能，則共有多少種可能的結果？

解：分為下列三種情況：

（1）雙方總共打了3局.可能出現的情況有：甲勝3次，乙勝0次；甲勝0次，乙勝3次.因此共有2種可能的結果.

（2）雙方總共打了4局.可能出現的情況有：甲勝3次，乙勝1次；甲勝1次，乙勝3次.因此共有[2×C23=6]種可能的結果.

（3）雙方總共打了5局.可能出現的情況有：甲勝3次，乙勝2次；甲勝2次，乙勝3次，因此共有[2×C24=12]種可能的結果.

綜上所述，一共存在20種可能的結果.

我們分三種情況進行討論，將每一種情況一一列舉出來，即可快速解題.運用列舉法解題，要盡量考慮到所有的情況，并將其一一列舉出來.

可見，解答排列組合問題，需注意以下幾點：（1）結合已有的生活經驗和所學的知識仔細研究問題，明確題意；（2）明確元素的排列順序以及位置要求，這是解題的關鍵；（3）對于不同的排列要求，我們需選擇與之相應的方法進行求解.

（作者單位：江蘇省鹽城市田家炳中學）