例談解答排列組合問題的三種措施

排列組合問題的命題形式多種多樣，其解題方法也各不相同.在解題時，往往需先認真審題，弄清問題的本質；再選用合適的方法來求解.為了提升解題的效率，筆者對解答排列組合問題的三種措施進行了研究，下面結合實例作詳細的介紹.

一、運用特殊位置和特殊元素分析法

有些問題對元素的個數、位置、排列順序有特殊要求，此時需采用特殊位置和特殊元素分析法來求解.我們要先根據題意確定特殊元素或元素的特殊位置，再優先安排這些特殊元素的位置或者排列順序，最后排列剩余元素的順序.在解題時，不要遺漏任何情況，避免出現漏解、錯解的情況.

例1. 9，8，7，6，5，0可組成多少個不重復的五位奇數？

解：個位數字必須為奇數，可將5、7、9填入，有[C13]種可能的情況.首位數字不為0，需將剩下的2個奇數，以及6、8填入首位，有[C14]種可能的情況.中間的3個數字可隨意排，可以從剩余的4個數中任取3個進行排列，有[A34]種可能的情況，故一共有[C13C14A34]=288種可能的情況.

本題中首位和個位是特殊位置，0為特殊數字，于是采用特殊位置和特殊元素分析法，先將奇數放在個位上，再填首位的數字，最后排中間的3個數字.

二、采用捆綁法

捆綁法適用于求解某些元素相鄰排列的問題.我們需將相鄰的元素捆綁在一起，當成一個新元素與其他元素一起排列，最后根據分步計數原理進行求解.值得注意的是，在解題時不能忽略了排列捆綁的幾個元素的內部順序.

例2. 現有7個人排成一排拍照，小明和小紅要求挨在一起，小軍和小蘭也要求挨在一起，那么這7人一共有多少種不同的排法？

解：先將小明和小紅捆綁起來，有[A22]種排法；再將小軍和小蘭捆綁起來，有[A22]種排法；最后將這兩個“大元素”與其他3個人一起進行排列，共有[A55]種排法，所以一共有[A55A22A22]=480種不同的排法.

根據題意知小明和小紅需相鄰排隊，小軍和小蘭需相鄰排隊，于是采用捆綁法，將小明和小紅捆綁在一起，小軍和小蘭捆綁在一起，當作兩個“大元素”與其他人一起排列.

例3. 書架上有3本不同的語文書，4本不同的數學書，2本不同的英語書，將這些書全部豎起排成一排，如果同類書不能分開，一共有多少種不同的排法？

解：先將語文書、數學書、英語書分別捆綁在一起進行排列，有[A33]種不同的排法；再將3本不同的語文書進行排列，有[A33]種不同的排法，將4本不同的數學書進行排列，有[A44]種不同的排法，將2本不同的英語書進行排列，有[A22]種不同的排法，所以一共有[A33A33A44A22]＝1728種不同的排法．

我們需先將同類的書分別捆綁起來進行排列，再排列不同類的書的順序.運用捆綁法解題，可以先考慮捆綁后元素之間的排列順序，再考慮捆綁起來的內部元素的順序，也可以先考慮捆綁起來的內部元素的順序，再考慮捆綁后元素之間的排列順序.

三、利用插空法

對于元素不相鄰的問題，一般用插空法求解.先將沒有要求的元素進行排列，然后將不相鄰的元素分別插入其他元素之間的空位，最后由分步計數原理得出結果.在解題時，需準確計算沒有要求元素之間的空位的個數，有時需加上兩端的位置.

例4. 一個聯誼活動安排了10個節目，4個唱歌、3個舞蹈節目、2個小品、1個相聲.要求4個唱歌節目不能連續出場，請問工作人員能設計出多少種節目出場順序？

解：首先排3個舞蹈節目、2個小品節目、1個相聲，共有[A66]種排法；再將4個唱歌節目插入其他6個節目之間的空位以及兩端的位置中，共有[A47]種不同排法，所以一共有[A66A47]種排法.

4個唱歌節目需要分開出場，即不能相鄰，于是采用不相鄰插空法求解.將4個唱歌節目插入其他6個節目之間的空位以及兩端的位置中，即可解題.

例5. 某公園新購進3盆錦紫蘇、2盆虞美人、1盆郁金香共6盆盆栽.現將這6盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊，任意兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共（" " ）種.

A.96 B.120 C.48 D.72

解：先排2盆虞美人、1盆郁金香有[A33]種擺法，則虞美人和郁金香之間的空位加上兩端的位置，共有4個位置；然后將3盆錦紫蘇放入這4個位置上，有[A34]種擺法，根據分步計數原理可得共有[A33A34]種擺法.

又2盆虞美人、1盆郁金香有[2A22]種擺法，將3盆錦紫蘇放入虞美人和郁金香之間的3個位置中，有[A33]擺法，根據分步計數原理可得共有[2A22A33]種擺法，

所以共有[A33A34-2A22A33=120]種.故選B項.

由于兩盆錦紫蘇不相鄰，需將其用另外3盆盆栽隔開，采用插空法求解，扣除郁金香在兩邊的情況，即可獲解.

綜上所述，解答排列組合問題，需仔細讀題，抓住問題的本質，明確問題的類型，如特殊元素問題、元素相鄰問題、元素不相鄰問題，再選用合適的方法進行求解.

（作者單位：江西省贛州市第三中學）