妙用軸對稱函數的兩個結論比較函數值（式）的大小

比較函數值（式）的大小問題經常出現在函數試題中.解答這類問題，通常要靈活運用函數的圖象和性質.而對于一些軸對稱函數，要比較其函數值（式）的大小，往往需將不在同一個單調區間內的兩個自變量轉化至同一個單調區間內，以利用函數的單調性來比較函數值（式）的大小，其過程較為復雜.事實上，我們若能用上一些有關軸對稱函數的結論，就能高效、快捷地比較出函數值（式）的大小.

結論1.設函數[y=f（x）]的圖象關于直線[x=m]對稱，且[y=f（x）]在[（-∞，m]]上單調遞增，在[[m，+∞）]上單調遞減，則[|x1-m|lt;|x2-m|?f（x1）gt;f（x2）].

結論2.設函數[y=f（x）]的圖象關于直線[x=m]對稱，且[y=f（x）]在[（-∞，m]]上單調遞減，在[[m，+∞）]上單調遞增，則[|x1-m|lt;|x2-m|?f（x1）lt;f（x2）].

證明：設[g（x）=f（x+m）]，則函數[g（x）]為偶函數，

由平移變換圖象的性質可知[g（x）]在[[0，+∞）]上單調遞減.

因為[f（x1）=g（x1-m）=g（|x1-m|）]，

[f（x2）=g（x2-m）=g（|x2-m|）]，

所以當[|x1-m|lt;|x2-m|]時，有[g（|x1-m|）gt;g（|x2-m|）]，即[f（x1）gt;f（x2）].

反之，當[f（x1）gt;f（x2）]，即[g（|x1-m|）gt;g（|x2-m|）]時，有[|x1-m|lt;|x2-m|].

故結論1得證.同理可以證明結論2.

這是說，若函數[y=f（x）]的圖象關于直線[x=m]對稱，且知曉對稱軸兩側的函數單調性，就可以利用這兩個結論，通過比較自變量與對稱軸之間的距離的大小，來快速比較出兩個函數值（式）的大小.

例1.如果函數[f（x）]在[（0，2）]上是增函數，且函數[y=f（x+2）]是偶函數，則下列結論中正確的是（" " "）.

[A. f（1）lt;f（52）lt;f（72）]" " " " [B. f（72）lt;f（52）lt;f（1）]

[C. f（72）lt;f（1）lt;f（52）]" " " " [D. f（52）lt;f（1）lt;f（72）]

解：因為[y=f（x+2）]是偶函數，

所以[y=f（x+2）]的圖象關于[y]軸對稱，

則[y=f（x）]的圖象關于直線[x=2]對稱，

所以[f（x）=f（4-x）]，則[f（1）=f（3）.]

又因為[f（x）]在[（0，2）]上是增函數，

所以[f（x）]在[（2，4）]上是減函數.

而[52lt;3lt;72]，則[f（72）lt;f（1）lt;f（52）]，故選C.

本題中[y=f（x+2）]是偶函數，所以其對稱軸為[y]軸，且[f（x）]在[（0，2）]上是增函數，由函數的對稱性可知[f（x）]在[（2，4）]上是減函數，我們只需比較[x=3]、[x=52]、[x=72]的大小，就可以根據結論1比較出三個函數式的大小.

例2.已知[f（x）=x2-bx+c]，且有[f（1+x）=f（1-x）]，[f（0）=3]，則[f（bx）]與[f（cx）]的大小關系是（" " "）.

[A. f（bx）≤f（cx）]" " " " " " [B. f（bx）≥f（cx）]

[C. f（bx）lt;f（cx）]" " " " " " [D. f（bx）gt;f（cx）]

解：因為[f（1+x）=f（1-x）]，

所以[f（x）]的圖象關于直線[x=1]對稱，則[b=2]，

所以[f（x）]在[（-∞，1）]上是減函數，在[[1，+∞）]上是增函數，

由[f（0）=3]得[c=3]，所以[bx=2x，cx=3x].

（1）當[x=0]時，[bx=cx=1]，所以[f（bx）=f（cx）]；

（2）當[xgt;0]時，[1lt;2xlt;3x]，所以[0lt;2x-1lt;3x-1]，

即[|2x-1|lt;|3x-1|]，可得[f（bx）lt;f（cx）]；

（3）當[xlt;0]時，[1gt;2xgt;3xgt;0]，所以[3x-1lt;2x-1lt;0]，

即[|2x-1|lt;|3x-1|]，可得[f（bx）lt;f（cx）].

綜上可得[f（bx）≤f（cx）]，故選[A].

我們先由[f（1+x）=f（1-x）]是偶函數，可以判斷出函數[f（x）]的對稱軸為[x=1]；然后由二次函數的性質確定[f（x）]在[[1，+∞）]和[（-∞，1）]上的單調性；再比較出[x=bx]、[x=cx]到對稱軸[x=1]的距離，即可根據結論2比較出[f（bx）]與[f（cx）]的大小.

可見，運用上述兩個結論來比較軸對稱函數值（式）的大小，非常便捷，不僅能有效地簡化運算，還能優化解題的過程.同學們在日常的學習中，要學會歸納、總結一些常見的題型及其解法，這樣才能有效地提升解題的效率.

（作者單位：廣東省珠海市廣東實驗中學金灣學校）