超聲振動軟化Johnson-Cook模型建立及薄管卷邊實驗驗證

摘要：

為準確描述輕質薄壁構件在超聲振動輔助成形中的變形行為，以TU1無氧銅和316L不銹鋼為對象，開展超聲振動法向激勵輔助單向拉伸試驗。考慮超聲振動軟化效應，通過引入新的超聲軟化函數，建立一種超聲振動Johnson-Cook模型。開發自定義子程序將模型嵌入有限元軟件進行模擬，且與單向拉伸試驗和卷邊試驗進行對比驗證。結果表明：數值模型可有效捕捉材料超聲振動軟化行為，平均絕對比例誤差最低可達0.97%。雖然不同材料對超聲振動的敏感性不同，但其超聲軟化率與超聲能場密度均符合一種Allometricl函數關系。

關鍵詞：超聲振動；Johnson-Cook模型；超聲軟化；有限元仿真

中圖分類號：TG335.5

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2024.12.002

Ultrasonic Vibration Softening Johnson-Cook Modeling and Validation of

Thin Tube Curling Experiments

SONG Pengfei1，2 CAO Miaoyan1，2 FU Min1，2 CUI Yashuo1，2 LI Yunfeng1，2 LIU Zheng1，2

1.School of Mechanical Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei，066004

2.Hebei Light Structural Equipment Design and Manufacturing Technology Innovation Center，

Qinhuangdao，Hebei，066004

Abstract： In order to accurately describe the deformation behaviors of lightweight thin-walled components during ultrasonic vibration-assisted forming， ultrasonic vibration normal excitation-assisted uniaxial tensile experiments were carried out with TU1 oxygen-free copper and 316L stainless steel. Considering the ultrasonic vibration softening effects， an ultrasonic vibration Johnson-Cook model was developed by introducing a new ultrasonic softening function. A subroutine was developed and embedded into finite elements for simulation， and was validated by comparison with unidirectional tensile and curling experiments. The results show that the numerical model may effectively capture the ultrasonic vibrational softening behaviors of the materials with an average absolute percentage error as low as 0.97%. Although different materials have different sensitivities to ultrasonic vibration， the ultrasonic softening rates all follow an Allometricl functional relationship with the ultrasonic energy field density.

Key words： ultrasonic vibration; Johnson-Cook model; ultrasound softening; fimite element simulation

收稿日期：2024-07-15

基金項目：國家自然科學基金（51775480）；河北省自然科學基金（E2018203143）

0 引言

隨著高新裝備制造領域對輕量化、高性能、高功效零件的需求日益增大［1-2］，以提高輕質薄壁構件成形能力為目標的極端應變速率成形技術逐漸凸顯為行業領域研究的焦點。為此，國內外學者先后提出多種極端制造成形技術，其中超聲振動輔助成形技術對改善變形均勻性、消減殘余應力、提高成形精度［3-5］等具有顯著效果，在突破輕質薄壁構件室溫成形制造瓶頸方面具有巨大潛力。然而，隨著這項技術在輕質薄壁構件成形制造中的應用（如超聲振動輔助薄壁圓管彎曲成形［6］、薄板拉深成形［7］、薄板漸進成形［8］等），其先進超聲振動系統研制開發［9］、工藝參數優化等面臨嚴峻挑戰。

有限元仿真作為一種高效且經濟的方法，是用于裝備研發、工藝優化的重要工具，本構模型則是有限元仿真的理論基礎，然而，現有本構模型主要針對常規成形或傳統能場的影響，如何將超聲振動作用效果嵌入現有理論模型以正確描述材料變形和失效行為，是開展超聲振動輔助輕質薄壁構件成形制造過程有限元模擬的理論基礎。鑒于此，國內外學者在超聲振動輔助成形機理方面開展了深入且有益的研究，并開發出多種類型的本構模型［10］。依據模型構建的假設及其特征，大致可分為物理本構模型和唯象經驗本構模型兩類［11］。

物理本構模型從物理學定律出發推導公式以描述材料的變形行為。KANG等［12］考慮超聲振動軟化行為與晶粒取向關系，開發了一種定向軟化黏塑性自洽模型，成功預測了銅在超聲振動下的應力-應變響應。WANG等［13］考慮超聲振動下晶內位錯與晶界位錯對聲能吸收的差異，提出了一種基于能量的聲軟化模型。SEDAGHAT等［14］基于超聲振動下位錯的熱激活運動和聲能轉化機制進行建模，成功模擬了超聲振動輔助鐓粗成形、沖壓成形和增量成形。然而，超聲振動輔助塑性變形屬于多種效應耦合過程，超聲能場與材料內部位錯群體之間的動力學關系仍然存在許多根本性問題，因此難以以第一性原理定量描述超聲能場的多種效應。

相對于物理本構模型，唯象經驗本構模型主要從實驗現象出發，基于實驗數據擬合構建，它并不關注材料變形的具體物理過程。對于超聲振動輔助變形，常用的唯象經驗本構模型是Johnson-Cook（J-C）模型，目前主要通過引入超聲振動與材料參數的關系，建立聲塑性修正的模型。基于該方法，學者們分別構建了適用于超聲振動輔助6063鋁合金鐓粗變形［15］和橫向超聲振動輔助Ti-45Nb合金鐓粗變形［16］的本構模型。綜合比較而言，唯象本構模型形式簡單，材料參數相對較少，構建容易，因此更有益于實際工程中的快速仿真預測。但是，目前針對超聲振動輔助成形方面的唯象本構模型研究較少，主要集中于體積成形，且未得到廣泛的數值應用。

本文將著重圍繞唯象本構模型，以高新制造領域內具有代表性的TU1無氧銅和316L不銹鋼薄板作為研究對象，開展超聲振動法向激勵輔助薄板單向拉伸試驗。根據試驗數據，基于典型J-C模型建模思想，構建一種新的、形式簡單且適用于超聲振動輔助金屬成形的模型，即超聲振動J-C（ultrasonic vibration Johnson-Cook， UVJ-C）模型。同時，開發材料子程序將其嵌入有限元模型中，開展相關數值應用，以期為超聲振動輔助加工技術在輕質薄壁構件塑性成形中的應用提供有效預測分析手段。

1 超聲振動輔助材料性能試驗

為構建形式簡單、具有一定普適性的UVJ-C模型，需要了解不同材料在超聲振動輔助下的力學響應行為，并且需要以真實試驗數據作為模型求解結果的參考依據。此外，在超聲振動輔助輕質薄壁構件塑性成形過程中，多數情況下通過模具與工件表面的法向接觸進行振動激勵（即沿工件表面法向激勵，如超聲振動輔助薄板拉深［7］、薄板漸進成形［8］等）。因此，本研究以TU1無氧銅和316L不銹鋼薄板為試驗對象，搭建并開展超聲振動法向激勵輔助薄板單向拉伸試驗以觀察其力學響應行為。

1.1 超聲振動法向激勵輔助薄板單向拉伸試驗

試驗試樣制備參考《金屬材料拉伸試驗第1部分：室溫試驗方法》，通過電火花線切割沿板料（厚度1 mm）軋制方向制備試樣，試樣形狀與尺寸如圖1所示。

超聲振動法向激勵輔助薄板單向拉伸試驗平臺基于WDW-10kN微機控制電子萬能材料試驗機搭建，主要由超聲電源、超聲振動系統、滑動系統、支撐架和背壓裝置組成，如圖2所示。其中，超聲振動系統主要由換能器、變幅桿和工具頭（沖頭）組成。試驗過程中，試驗機的夾具夾持試樣，通過移動橫梁控制試樣的單軸拉伸變形，拉伸速度設置為25 mm/min。同時，超聲振動系統沿試樣表面法向進行激勵。此外，沿試樣法向對稱設置背壓裝置，通過施加適量背壓力（本研究中設置為10 N）以保證試驗過程中超聲振動系統與試樣表面能夠有效接觸。本研究中，每組試驗工況至少重復三次，以保證試驗結果的有效性。此外，本研究采用SOPTOPLV-S01系列測振儀對超聲振動系統末端端面振幅進行測量。超聲能量密度E可通過公式E=ρmλ2（2πf）估算（ρm為材料密度，λ為振幅，f為頻率），測試計算結果如表1所示。

1.2 試驗結果與分析

不同超聲振幅下TU1無氧銅和316L不銹鋼真實應力-應變曲線如圖3所示。由圖可見，在超

聲振動輔助下不同材料均呈現出明顯的超聲軟化效應和超聲殘余效應，即：試樣在彈性變形階段時，超聲振動的疊加沒有導致其真實應力（σ）-真實應變（ε）曲線產生變化；而當試樣達到屈服進入塑性變形階段時，其真實應力（σ）-真實應變（ε）曲線出現了瞬時下降現象（超聲軟化效應）；停止超聲振動后，其流動應力沿一條傾斜直線緩慢恢復，但是并沒有恢復至無超聲振動輔助下的狀態（超聲殘余效應）。上述試驗現象表明，超聲軟化效應屬于超聲振動引起的暫時性現象，而超聲殘余效應則屬于永久性現象，它與材料內部微觀組織演變相關。

兩種金屬材料的應力降幅率如表2所示，其中應力降幅率定義為超聲振動輔助下材料流動應力的降幅與無超聲振動輔助下流動應力的比值。由表2可觀察到，兩種材料的應力降幅率均隨振幅的增大而增大，與振幅呈現正相關關系。但是，在相同振幅下不同材料應力降幅率是不同的，TU1無氧銅在振幅15.46 μm下可達到18.50%，而316L不銹鋼僅達到8.56%。綜合上述現象可知，超聲軟化效應與振幅直接相關，但不同金屬材料對超聲振動的敏感性不同。

2 金屬材料J-C模型及參數確定

2.1 金屬材料經典J-C模型

經典J-C模型因其結構簡單而被廣泛應用于金屬動態力學響應模擬中，它包含了應變硬化效應、應變率強化效應和熱軟化效應，由應變硬化函數f1（εe）、應變速率強化函數f2（ε·e）和熱軟化函數f3（T）相乘而得［17］，即

σe=f1（εe）f2（ε·e）f3（T）=

（A+Bεne）（1+Cln（ε·e/ε·0））［1-（T-TrTm-Tr）m］（1）

式中，σe為應力；εe為應變；A為參考應變率和參考溫度下的屈服強度；B為應變強化系數；n為應變強化指數；C為應變率敏感系數；ε·e為應變率；ε·0為參考應變率；T為溫度；Tr為參考溫度；Tm為材料熔點溫度；m為溫度敏感系數。

基于文獻調研［18］和實驗研究發現，在超聲振動輔助金屬材料成形過程中，由于超聲能場與材料顯微組織相互作用而存在明顯的軟化現象，雖然該現象在宏觀上與熱軟化行為類似［19］，但是其力學響應與振幅直接相關，且在超聲振動輔助成形過程中試樣溫度并沒有出現明顯的急劇上升現象［20］，故經典J-C模型無法對其軟化行為進行準確描述。

2.2 金屬材料UVJ-C模型

本研究借鑒經典J-C模型的建模思想，引入新的超聲軟化函數f4（E）以建立適用超聲振動輔助成形的本構方程，故將經典J-C模型修改為由應變硬化函數f1（εe）、應變速率強化函數f2（ε·e）、熱軟化函數f3（T）和超聲軟化函數f4（E）相乘而得，即

σe=f1（εe）f2（ε·e）f3（T）f4（E）（2）

式中，f4（E）表示在參考應變率及參考溫度下材料流動應力與超聲能場密度的演變關系。

2.3 超聲軟化函數和模型參數確定

由于本研究在室溫下進行相關試驗，因此忽略了熱軟化效應，即將參考溫度設置為室溫。下文以TU1無氧銅為例進行模型材料參數確定。

當材料應變率設置為參考應變率且無超聲振動輔助時，UVJ-C模型可簡化為

σe=A+Bεne（3）

由于TU1無氧銅無明顯的屈服臺階，故通常以產生0.2%殘余變形的應力值作為其屈服強度，即A=102.97 MPa。由式（3）結合試驗數據，繪制了σe與εe之間的曲線圖，見圖4。對TU1無氧銅塑性變形強化階段進行非線性擬合，可獲得應變強化系數和指數，即B=506.975，n=0.753。

當材料無超聲振動輔助而考慮應變率強化效應時，UVJ-C模型可簡化為

σe=（A+Bεne）（1+Cln（ε·e/ε·0））（4）

對式（4）進行變形，發現應力σe與應變率自然對數ln（ε·e/ε·0）之間滿足線性函數關系，即

σe=K1ln（ε·e/ε·0）+K2（5）

K1=C（A+Bεne）（6）

K2=A+Bεne（7）

基于式（5），在相同形變量下，由不同應變率所對應的應力可以繪制σe與ln（ε·e/ε·0）之間的曲線圖。基于試驗數據，以0.05為增量，繪制了σe與ln（ε·e/ε·0）之間曲線圖，見圖5。對曲線分別進行線性擬合，擬合結果見表3，對C取平均值可獲得應變率敏感系數，即C=0.0229。

然后，參照應變率敏感系數C的求解方法可以獲得超聲軟化率σr和超聲能場密度E之間的關系曲線（超聲軟化率σr定義為有無超聲振動輔助下材料流變應力的比值）。為了構建具有一定普適性的模型，圖6分別給出了不同材料超聲軟化率σr隨超聲能場密度E的演變行為。參考經典J-C模型應變率強化函數和熱軟化函數形式，同時考慮超聲振動對金屬材料影響的飽和作用，發現不同材料超聲軟化率σr與超聲能場密度E之間的關系曲線均可采用Allometricl函數形式高精度擬合，擬合結果見表4。

因此，不同材料超聲軟化函數f4（E）可統一表示為

f4（E）=1-kuElu（8）

式中，ku為材料超聲軟化系數；lu為材料超聲軟化指數。

相應的UVJ-C模型統一表達式為

σe=（A+Bεne）（1+Cln（ε·e/ε·0））·

［1-（T-TrTm-Tr）m］（1-kuElu）（9）

模型中材料參數的準確性對數值預測精度和可靠性至關重要。然而，通過曲線擬合的方式單獨確定材料參數存在誤差累積，難以實現整體誤差的有效最小化，因此，進一步的參數辨識是有必要的。基于前人研究［21］，采用遺傳算法（genetic algorithm， GA）對模型參數進行進一步優化辨識，可最大限度地降低整體誤差。故本研究利用曲線擬合獲得的材料參數作為GA優化技術的初始數據，明確參數優化范圍，以部分試驗數據與模型預測的最小偏差作為目標函數（GA優化細節可參見文獻［22］），通過求其最優適應度來實現材料參數的進一步校準，校準結果如表5所示。

3 UVJ-C模型驗證分析

基于UVJ-C模型分別對超聲振動輔助TUI無氧銅和316L不銹鋼薄板單向拉伸過程進行有限元模擬，并與相應的試驗對比以驗證該模型的有效性。此外，為進一步評估UVJ-C模型的預測能力和普適性，對超聲振動輔助316L不銹鋼薄壁圓管卷邊成形過程進行有限元模擬，并開展相關試驗對其進行驗證。

3.1 超聲振動輔助薄板單向拉伸試驗驗證

基于拉伸試驗裝置，將支撐架、超聲振動系統、背壓裝置簡化為圓柱體，在ABAQUS中建立薄板單軸拉伸有限元模型，如圖7所示。模型中將超聲振動系統、背壓裝置和固定架設置為剛體，試樣設置為變形體。板料設置為TU1無氧銅和316L不銹鋼，采用C3D8R八節點六面體縮減積分單元對其進行網格劃分，網格尺寸設置為1 mm。

仿真過程中，試樣加持端的一端設置為固定約束，另一端設置為恒定速度25 mm/min來模擬試樣單向拉伸動作。支撐架固定約束，并且通過設置彈簧單元沿試樣法向施加10 N背壓力。基于ABAQUS用戶自定義子程序VUHARD，將UVJ-C模型嵌入數值模擬中以描述材料在超聲振動下的塑性響應行為，其他相關材料參數可參見表6。由于超聲振動輔助金屬材料塑性成形屬于動態力學響應過程，故在模擬中采用ABAQUS/Explicit顯式時間積分算法進行計算。據文獻調研［23-24］，銅和不銹鋼板材在模具接觸中摩擦因數的常設范圍分別約為0.08～0.12和0.08～0.14。通過提取試驗數據進行仿真模擬發現，超聲振動系統和背壓裝置與試樣之間的摩擦因數設置為0.08時，模擬預測的應力-應變曲線與試驗結果相吻合，因此，將0.08作為后續仿真摩擦因數的設定值。此外，為提高計算效率，采用1/2模型進行模擬。

圖8為超聲振動輔助下TU1無氧銅和316L不銹鋼薄板數值預測值與相應試驗值對比圖。由圖可見，J-C模型可有效描述無超聲振動輔助下材料單向拉伸塑性變形行為，但是它無法準確描述施加超聲振動后材料出現的軟化行為，而采用所建立的UVJ-C模型則有效捕捉到了不同金屬材料在不同超聲振幅下的軟化行為。但需要注意的是，在停止超聲振動輔助后材料會出現明顯的殘余應力行為，該行為與材料內部微觀組織演變行為密切相關，所建立的UVJ-C模型無法對其進行預測。

進一步，通過統計學參數平均絕對百分比誤差（mean absolute percentage error， MAPE）定量評估了UVJ-C模型在不同材料和不同超聲振幅下的預測精度，如下式所示：

σMAPE=1N∑Ni=1σ（i）ex-σ（i）pσ（i）ex（10）

式中，σMAPE為MAPE值；σ（i）ex、σ（i）p分別為試驗和仿真預測的應力值；N為數據點個數。

TU1無氧銅和316L不銹鋼σMAPE值計算結果如表7所示，其平均值分別約為1.84%和0.97%，表明有限元模型預測值與實驗數據吻合良好。

3.2 超聲振動輔助薄壁圓管卷邊成形工藝實驗驗證

為進一步評估所建立本構方程的預測能力和適用性，本研究基于J-C模型和UVJ-C模型對超聲振動輔助316L不銹鋼薄壁圓管卷邊成形過程進行了有限元模擬。有限元模型如圖9所示，主要由工具頭（剛體）、管坯（變形體）和底座（剛體）組成。管坯直徑為50 mm，壁厚為1 mm，采用C3D8R八節點六面體縮減積分單元對其進行網格劃分，整體網格尺寸設置為2 mm，卷邊變形區域網格局部細化。仿真過程中，對工具頭沿Z軸方向施加10 mm/min的恒定速度，同時底座固定約束。工具頭與管坯之間的摩擦因數設置為0.08。此外，考慮到在超聲振動輔助316L不銹鋼薄壁圓管實際卷邊成形過程中，由于超聲振動表面效應導致明顯的減摩效果，基于文獻［25］中對超聲振動輔助金屬薄板摩擦特性的研究，將工具頭與管坯間的摩擦因數設置為0.03。為提高計算效率，采用1/4模型進行仿真。

在液壓機上使用自行設計的超聲振動輔助圓管卷邊裝置（圖10）對316L不銹鋼薄壁圓管進行相應的測試，試驗過程中，移動橫梁下壓速度設置為10 mm/min，超聲振動系統振幅約為5 μm。圖11為超聲振動輔助316L不銹鋼薄壁圓管卷邊成形力有限元模擬值與相應試驗值的對比圖，由圖可見，基于J-C本構方程的有限元模型可以較好地預測無超聲振動輔助下薄壁圓管卷邊成形力，但施加超聲振動輔助后則無法預測到由超聲振動引起的圓管卷邊成形力下降現象，而基于UVJ-C本構方程的有限元模型可以對其進行有效預測。通過統計學分析可知，UVJ-C本構方程的σMAPE值達到5.60%，表明它具有較好的預測精度。

綜上所述，基于UVJ-C模型建立的有限元模型能夠有效預測金屬薄壁管/板材在超聲振動輔助塑性變形過程中的超聲軟化行為且具有良好的預測精度。同時，也表明所提出的UVJ-C模型具有一定的普適性。

4 結論

本文采用超聲振動輔助單軸拉伸試驗測試了TU1無氧銅和316L不銹鋼薄板對超聲振動的響應規律，建立了UVJ-C本構方程的統一表達式，并且將自定義材料子程序用于超聲振動輔助金屬材料單軸拉伸和圓管卷邊的數值仿真驗證，得出以下結論：

（1）TU1無氧銅和316L不銹鋼在超聲振動輔助塑性變形階段均呈現明顯的軟化現象，且與振幅增大成正相關。

（2）不同材料對超聲振動的敏感性不同，當振幅為15.46 μm時，TU1無氧銅和316L不銹鋼單軸拉伸流動應力的軟化率分別達到18.50%和8.56%。

（3）建立的UVJ-C本構方程具有一定的普適性。

（4）數值模型能夠較好地預測超聲振動輔助TU1無氧銅薄板拉伸和316L不銹鋼薄板拉伸、薄壁圓管卷邊成形過程中的超聲軟化行為，平均絕對比例誤差分別為1.84%、0.97%和5.60%。

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（編輯 王艷麗）

作者簡介：

宋鵬飛， 男， 1994 年生， 博士研究生。 研究方向為輕質構件高性能成形工藝及理論。 E-mail：spf@stumail.ysu.edu.cn。

曹秒艷（通信作者），男， 1978 年生， 教授、博士研究生導師。 研究方向為輕量化材料高性能成形工藝及理論、數字化與智能化成形制造。 E-mail：jacmy@ysu.edu.cn。