離散組裝八面體超材料設計與性能調控

摘要：

為解決八面體超材料大規模應用受制備工藝限制的問題，提出了一種八面體超材料離散組裝設計與性能調控方法。首先將傳統三維八面體超材料分解為二維模塊化片體結構，采用穩定、易拆裝的螺栓連接方式組裝成三維八面體超材料及周期性擴展結構，并推導了離散組裝設計模型的參數化形式。然后分析了模塊化片體結構的力學特性，采用有限元分析方法驗證了離散組裝模型的力學性能。最后，提出了基于數字編碼思想的三階魔方排布性能調控方法，對離散組裝八面體超材料正交方向的性能差異進行了優化。研究結果表明，基于螺栓連接的離散組裝設計豐富了八面體超材料的制造和擴展形式，三階魔方調控模型效解決了離散組裝設計帶來的性能偏差，為八面體超材料的低成本制造和大規模應用提供了創新解決方案。

關鍵詞：八面體超材料；離散組裝；性能調控；數字編碼；有限元仿真

中圖分類號：TH122

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2024.12.020

Design and Performance Regulation of Discretely Assembled

Octahedral Metamaterials

FU Junjian1，2，4 MENG Yonggen1 WU Haihua1 HU Huan3 LI Xiang1，2 ZHOU Xiangman1

1.College of Mechanical amp; Power Engineering，China Three Gorges University，Yichang，

Hubei，443002

2.Hubei Key Laboratory of Hydroelectric Machinery amp; Maintenance，Yichang，Hubei，443002

3.HXF Saw Co.，Ltd，Yichang，Hubei，443003

4.State Key Laboratory of Intelligent Manufacturing Equipment and Technology，Wuhan，430074

Abstract： To address the limitations imposed by manufacturing processes on the large-scale applications of octahedral metamaterials， a discrete assembly design and performance control method for octahedral metamaterials was proposed. Firstly， the traditional three-dimensional octahedral metamaterial was disassembled into two-dimensional modular units， which were assembled into three-dimensional octahedral metamaterials and periodically extended structures using stable and easily disassembled bolt connections， and a parametric form of the discrete assembly design model was derived. Secondly， the mechanics characteristics of the modular unit structure were analyzed， and finite element analysis was employed to verify the mechanics performance of the discrete assembly model. Finally， based on digital coding and employing a third-order Rubik’s Cube arrange cube array， a method for performance regulation was proposed to optimize the performance differences in the orthogonal directions of the discrete assembly octahedral metamaterials. The results demonstrate that the manufacturing and extension forms of octahedral metamaterials are enriched by the discrete assembly design facilitated by bolt connections. The performance deviation resulting from the discrete assembly design is effectively addressed by the third-order Rubik’s Cube model of regulation， providing an innovative solution for achieving low-cost manufacturing and facilitating the large-scale applications of octahedral metamaterials.

Key words： octahedral metamaterial; discrete assembly; performance regulation; digital encoding; finite element simulation

收稿日期：2024-01-25

基金項目：智能制造裝備與技術全國重點實驗室開放課題（IMETKF2023016）

0 引言

機械超材料是一種輕質、高強度、低密度的人工設計新型結構材料［1-2］，大多數為周期性擴展的多孔結構［3-4］，具有負泊松比［5-7］、負剛度［8-10］、高比剛度［11-12］、負壓縮性［13-14］等超常的力學性能。八面體超材料屬于機械超材料的一種，其單胞是典型的拉伸主導型［15］，具有孔隙率高、結構對稱的形狀特征，同時具有高強度、高比剛度的優異性能，在航空、航天、汽車等領域具有極高的應用價值。然而，八面體超材料周期性擴展結構拓撲構型復雜，制備通常依賴于增材制造技術，制造成本極高，制備規模也受到設備的尺寸限制，導致其結構難以擴展、實際應用受限［16-18］，因此，亟需突破八面體超材料制備工藝的限制，以滿足更為廣泛的工程需求。

離散組裝設計為周期性機械超材料大規模應用提供了解決方案［19］，目前機械超材料的離散組裝設計主要采用嵌鎖組裝（interlocking assembly）［20］和數字建造（digital fabrication）［21］的方法。嵌鎖組裝方法通常從結構層面出發，通過設計與制備二維嵌片，利用嵌槽連接得到三維機械超材料。嵌鎖組裝的關鍵在于嵌片的設計，可通過改變嵌片結構形式實現不同構型的超材料制備。常見的嵌片結構有多邊形片體形狀［22-23］、桁架形狀［24-25］ 、圓弧形狀［26］等。但是，嵌鎖組裝結構的單胞之間一般有通用零件，且連接節點通常需采用焊接工藝進行固定，導致組裝結構的替換性不強。考慮到結構單元的獨立性問題，有學者提出數字建造的方法［21］，從超材料單胞層面出發，通過制備離散單元來構建擴展結構。主要可分為三種設計方法：可擴展單胞結構設計［27］、半開放結構設計［28］、二維模塊化零件設計［29］。該方法的關鍵在于將超材料單胞分解成數量有限、易于加工的模塊化單元結構，利用機械連接完成單胞的離散組裝，并通過功能性擴展設計，進一步實現空間結構的制備以及結構向機構的轉變［30-31］。因此，通過數字建造方法組裝的單胞，獨立性更強，結構擴展更加靈活，可利用其結構特性和空間排布實現特定的功能性結構。針對此類特征，有學者提出數字編碼超材料的方法［32-34］，將超材料的性能進行數字編碼，通過超材料的空間狀態定義序列規則實現特定功能性結構的設計，進而簡化超材料的功能結構設計過程。例如，剛度可編程的齒輪機械超材料［35］、可編程的多形狀機械超材料［36］、基于二進制編碼的機械超材料［37］等，通過將結構功能特性研究轉化成數學模型分析，以抽象化的編程方法實現特定的超材料功能。

針對八面體超材料的離散組裝設計，有學者提出采用桁架嵌片的嵌鎖方法［38］將線切割的兩種不同的桁架單元進行卡扣組裝，實現八面體超材料的離散制備，并通過真空釬焊粘合嵌鎖節點。上述嵌鎖組裝方法為八面體超材料的制備提供了新途徑，但該方法制備的結構難以實現可逆組裝，若能引入連接件，其制備或許會更加靈活。基于此，有學者采用數字建造的方法，設計了模塊化十字形片體及其連接件，通過注塑工藝進行制備，實現八面體超材料的可逆組裝［39］。此類離散組裝方法制備的結構具備優異的比剛度和比強度，且裝配工藝簡單，但該類結構的連接件不通用，單胞替換困難。為了優化連接方式，有學者提出了緊固件連接的方法［27］，通過注塑工藝制備八面體超材料單胞，單胞之間通過螺栓連接完成擴展。采用此種傳統機械連接方式，單胞的組裝更加可靠，但一體化注塑工藝存在金屬材料無法制備的問題，若能結合模塊化設計與傳統機械連接的優勢，則有望實現制備更加簡單、組裝更加靈活的離散組裝結構，同時為將數字編碼思想融入機械超材料特定功能設計提供可能。

針對現有連接方式可靠性不高、替換性不強、未考慮離散組裝后性能出現差異的問題，本文提出了一種八面體超材料離散組裝設計與性能調控方法。通過模塊化分解設計了二維片體結構，利用螺栓連接形成了離散組裝八面體超材料單胞及其周期性擴展結構，展開了數字編碼和三階魔方相結合的調控策略研究，實現了八面體超材料的離散組裝設計和性能調控。

1 八面體超材料離散組裝設計

1.1 八面體超材料的描述

八面體超材料單胞是由3個正方形組成的中心對稱結構，具有6個頂點，如圖1所示。圖中定義了該單胞及其組成片體的相關參數，描述了組成片體的基本尺寸和單胞的設計域尺寸，該單胞組成片體的體積如下：

V0=［12（l+2h）2-12（l-2w）2-4h2］s（1）

式中，V0為八面體超材料組成片體的體積；l為八面體超材料單胞和后續設計組裝單胞的外形尺寸，根據設計需求確定為常數；w為組成片體中與x、y軸平行的短邊厚度；h為組成片體外輪廓線延長線與x、y軸相交構成封閉三角形的高度，

其取值范圍為（0，l2）；s為組成片體的厚度，其取值范圍為（0，l3）。

通過合理近似，可取w=h，則上述體積公式進一步簡化如下：

V0=4（2l-h）hs（2）

因此，八面體超材料的相對密度ρ-由設計單胞體積與固體體積之比得出：

ρ-=3V0l3=12（2l-h）hsl3（3）

由式（3）可知，八面體超材料單胞相對密度可通過改變參數h和s來進行調控。此外，多個單胞之間通過頂點進行連接，形成周期性擴展結構，如圖2所示。此類結構拓撲構型復雜，導致傳統工藝難以加工。

1.2 離散組裝設計與周期性擴展

為了解決八面體超材料由于拓撲構型復雜難以制備的問題，本文進行了八面體超材料單胞的離散組裝設計，如圖3所示。

首先，分析八面體超材料的構型（圖3a），引入數字建造的設計思想，通過片體縮放、改變構型角度的方法，設計了可離散分解的八面體超材料骨架，如圖3b所示，該骨架的線條在配合處均保持一定的距離d，實現離散分解結構的間隙配合。基于此骨架設計了具有可組裝的八面體超材料單胞，如圖3c所示。

其次，引入離散組裝的思想，將八面體超材料單胞（圖3c）分解為3類構型簡單且易于加工的模塊化片體，后面統一簡稱為片體，如圖3d所示，包括小尺寸正方形片體A、菱形片體B、大尺寸正方形片體C，后文統一簡稱3類片體分別為片體A、片體B、片體C。采用零間隙配合設計，通過設計兩個零件的尺寸，使它們在裝配時沒有間隙，形成緊密的連接。模塊化片體的零間隙配合設計過程如下：片體A外部輪廓的水平尺寸和豎直尺寸均設定為l-2d，片體B的內部輪廓豎直尺寸和外部輪廓水平尺寸均設定為l-2d，片體C內部輪廓的水平尺寸和豎直尺寸均設定為l-2d。基于此，可實現三類片體內外輪廓對應拼接，如圖3e所示。在3類片體上設置安裝孔，通過短螺栓緊固連接形成八面體超材料組裝單胞，如圖3f所示。

最后，通過長螺釘連接多個八面體超材料組裝單胞，可實現組裝單胞的周期性擴展，如圖4所示。通過嚴絲合縫的片體拼接設計，有效實現了組裝結

構的模型創建和實物搭建。同時，采用螺栓連接片體的組裝形式，大大降低了制造成本，豐富了八面體超材料周期性擴展形式。

1.3 離散組裝單胞的參數化表示

為了有效控制組裝單胞的體積分數，圖5定義了離散組裝八面體超材料及其片體的相關參數，描述了片體A、B、C的基本尺寸和組裝單胞的設計域尺寸。片體A、C的外形呈正方形，但尺寸不同，片體C的尺寸稍大，而片體B的外形呈一般菱形，即α2gt;π4，β2lt;π4。由此得出片體A、B、C的體積如下：

VA=［（l-2w+2h）2-（l-2w）2］s（4）

VB=［（l-2w+2h1）（l+2h1）-（l-2w）l］s（5）

VC=［（l+2h）2-l2］s（6）

式中，h1為在片體B中與x、y軸平行的短邊寬度的1/2。

通過合理近似，取w=h，h1≈h，則片體A、B、C的體積進一步化簡如下：

VA=12［l2-（l-2w）2］s（7）

VB=12［l（l+2w）-（l-2w）l］s（8）

VC=12［（l+2w）2-l2］s（9）

分析離散組裝八面體超材料的幾何特征可知，若不考慮機械連接，其相對密度ρ-由設計單胞體積與固體體積之比得出：

ρ-=VA+VB+VCl3=6wsl3（10）

離散片體的連桿寬度t與短邊厚度w關系為w=2t，則相對密度ρ-可表示為

ρ-=62tsl3（11）

綜上，由式（10）、式（11）可知，離散組裝八面體超材料的相對密度可通過改變s和w（或t）等參數來進行調控。

2 離散組裝模型受力分析

為了描述離散組裝結構的力學特征，基于剛體的靜平衡理論，分析了3類片體的結構承載特性。具體分析過程如下：針對圖6所示的三類片體，分別沿兩個承載方向施加外部負載，即沿X方向和Y方向施加力Fxi和Fyi（其中，i取A、B、C，表示片體A、B、C），通過靜平衡分析來對比三類片體的承載能力。

當外部載荷為Fyi時，F1=F2=Fyi2sin βj，Fxi=Fyitan βj（j=1，2，3），則對于三類片體，取相同Y方向載荷Fyi=Fy時，有

FxA=FxC=Fygt;FxB（12）

當外部載荷為Fxi時，F1=F2=Fxi2cos βj，Fyi=Fxitan βj，則對于三類片體，

取相同X方向載荷Fxi=Fx時，有

FyA=FyC=Fxlt;FyB（13）

其中，β1、β2、β3分別為三種片體的構型角，記為βj，β1=β3=π4lt;β2，即tan β2gt;1。

由上述分析可知，片體A、C的構型一致，二者在X軸和Y軸承載方向上表現出來的力學特性基本一致。對于片體B，由于內角的差異設計，出現了承載性能差異，該片體沿Y軸方向的承載性能增強，沿X軸方向的承載性能減弱。

為了研究片體B的性能差異對組裝結構的影響，分別沿組裝單胞X、Y、Z方向施加外部負載2F，如圖7所示，通過靜平衡條件來判斷三個方向的承載狀態。以沿X方向施加外部載荷為例，將外部負載直接作用下的兩個片體B、C視為受力塊體，可將每一個受力片體視為四個二力桿，由于二力桿件處于平衡狀態，由力的平衡可知，桿件兩端所受的合力方向相反，力的大小相等，基于此得出片體B、C的作用力如圖7a所示，且具有向外運動的趨勢。

同理，得到沿Y方向、Z方向施加外部載荷時相應的受力片體的作用力和運動趨勢，如圖7b、圖7c所示，其相應的受力片體均具有向外的運動趨勢。根據式（12）、式（13）對三個方向載荷作用下的運動趨勢強弱分析如下。

沿單胞X軸方向施加負載時，片體B、C通過螺栓連接作用于片體A，對片體A的作用力分別記為FBA和FCA，方向朝外，如圖7d所示，此狀態下，片體A充當平衡片體，記為平衡片體A，則

FX-Z=FBA=F（14）

FX-Y=FCA=Ftan β2gt;F（15）

式中，FX-Z、FX-Y分別為負載沿X方向時，片體A沿Z方向和Y方向所需的平衡力的大小。

沿單胞Y方向施加負載時，片體A、C通過螺栓連接作用于片體B，對片體B的作用力分別記為FAB和FCB，方向朝外，如圖7e所示，此狀態下，片體B充當平衡片體，記為平衡片體B，則

FY-X=FCB=F（16）

FY-Z=FAB=F（17）

式中，FY-X、FY-Z分別為負載沿Y方向時，片體A沿X方向和Z方向所需的平衡力的大小。

沿單胞Z方向施加負載時，片體A、B通過螺栓連接作用于片體C，對片體C的作用力分別記為FAC和FBC，方向朝外，如圖7f所示，此狀態下，片體C充當平衡片體，記為平衡片體C，則

FZ-Y=FBC=F（18）

FZ-X=FAC=Ftan β2lt;F（19）

式中，FZ-Y、FZ-X分別為負載沿Z方向時，片體A沿Y方向和X方向所需的平衡力的大小。

基于上述分析，在不同邊界條件作用下，組裝單胞對應平衡片體的力學分析結果如圖8所示，負載沿單胞X方向施加時，所對應的平衡片體A在連接處需要提供兩對平衡力，大小分別為FX-Z=F、FX-Ygt;F，如圖8a所示。負載沿單胞Y方向施加時，所對應的平衡片體B在連接處需要提供兩對平衡力，大小分別為FY-X=F、FY-Z=F，如圖8b所示。負載沿單胞Z方向施加時，所對應的平衡片體C在連接處需要提供兩對平衡力，大小分別為FZ-Y=F、FZ-Xlt;F，如圖8c所示。此外，在傳統單胞結構中，由于其結構具有對稱性，沿任意軸向，

其受力情況均與組裝單胞沿Y方向施加負載一致，在連接點平衡力的大小均為F，且方向一致，如圖8d所示。

綜上，外部負載作用下，對于組裝單胞X、Y、Z三個軸向，其對應平衡片體所需平衡力FZlt;FYlt;FX，其承載能力強弱關系為PXlt;PYlt;PZ。同時，由于傳統結構沿各軸向的平衡狀態與組裝單胞沿Y軸向的平衡狀態相似，其平衡狀態下平衡片體的受力狀態基本一致，故二者的承載能力相近，因此，八面體超材料傳統單胞和組裝單胞三個軸向的承載能力強弱關系為PX＜PY（與傳統單胞近似）＜PZ。

3 離散組裝模型有限元分析

為了驗證上述理論分析的正確性，分別對八面體超材料傳統單胞、組裝單胞及二者的周期性擴展結構進行有限元分析。結構材料設置為PLA，具體材料屬性如下：泊松比 0.3，密度1200 kg/m3，彈性模量2751 MPa［40］，后續仿真材料與其保持一致。保持上述單胞相同體積分數約為3%，單胞的最大外形尺寸取60 mm，其余參數由式（3）、式（10）和式（11）確定。

仿真邊界條件如圖9所示。對于單胞而言，下邊界施加固定約束，上邊界施加下壓位移約束（u=0.6 mm），如圖9a、圖9b所示。針對組裝單胞的承載能力強弱理論分析結果進行驗證性仿真分析，求解壓縮過程中的等效載荷F*，沿組裝單胞X方向、Y方向、Z方向以及八面體超材料單胞任意軸向（Z軸）施加位移約束時，壓縮過程中的等效載荷分別記為F*X、F*Y、F*Z、F*oct，通過對比上述等效載荷的大小關系來驗證理論

分析的正確性。

八面體超材料組裝結構與傳統結構仿真對比如圖10所示，離散組裝八面體超材料分別沿X、Y、Z方向進行軸向壓縮仿真的等效負載關系為F*Xlt;F*Ylt;F*octlt;F*Z，說明仿真結果與理論分析有一定的差異，主要體現在組裝結構的整體性能略微下降。

對于周期性擴展結構而言，如圖9c所示，下邊界施加固定約束，上邊界施加位移約束u=0.6L，L=0.6n，n取整數。通過下式求解周期性擴展結構的等效彈性模量［41］：

E*=F*nLAu（20）

式中，F*n為施加在n階周期性擴展結構端面上的等效負載；L為周期性擴展結構的等效高度；A為周期性擴展結構的等效橫截面積，A=L2；u為兩受力點的相對位移。

進一步在擴展結構中對承載能力強弱理論分析結果進行驗證性仿真分析。分別對八面體超材料的周期性擴展結構和離散組裝八面體超材料周期性擴展結構的X、Y、Z三個方向進行壓縮仿真分析，結果如圖11所示。組裝結構分別沿X、Y、Z方向進行軸向壓縮仿真的等效彈性模量關系為E*X-nlt;E*Y-nlt;E*oct-nlt;E*Z-n。其中，E*oct-n表示傳統單胞n階周期性擴展結構的等效彈性模量，E*X-n表示負載沿X方向時，組裝單胞n階周期性擴展結構的等效彈性模量。E*Y-n、E*Z-n命名同理。

上述結果表明，沿組裝結構三個軸向的承載能力由弱到強順序為PXlt;PYlt;PZ，與理論分析結果一致。由于組裝工藝導致結構的整體性能有所下降，體現在組裝結構的Y軸方向上，與傳統結構相比，組裝結構的承載能力下降了約8%。

4 離散組裝八面體超材料性能調控

為了調控八面體超材料組裝結構出現的性能差異，本文基于數字編碼和排列組合的思想搭建了組裝結構的性能調控模型，進行組裝結構的性能差異調控。

4.1 離散組裝單胞的數字編碼

為了實現組裝單胞的等效描述，簡化設計問題，采用魔方塊將組裝單胞標定與編碼，如圖12所示。魔方塊體積表示組裝單胞的設計域大小，將組裝單胞X、Y、Z三個軸向編碼為-1，0，1，對應表示減弱、保持、增強三種狀態。

為了等效描述組裝單胞的擴展過程，其單胞間的連接用魔方塊的鄰接來簡化表示（圖13）。如圖13c所示，在空間排布中，魔方塊具有三種異軸鄰接的連接方式：［-1，0］、［-1，1］、［0，1］，對應描述組裝單胞沿不同軸向連接的三種形式：［X，Y］、［X，Z］、［Y，Z］。此外，魔方塊還具有三種同軸鄰接的連接方式，分別沿其X、Y、Z軸進行鄰接，可形成魔方塊組X、Y、Z，如圖13d所示。例如，若組裝單胞按圖13a中的X、Y、Z三個方向進行點陣，得到3×3×3排布的擴展結構，如圖13f所示。通過魔方塊簡化表示可得到3階魔方，如圖13e所示。在此魔方的X、Y、Z三個軸向，也可視為如圖13f所示同軸連接的魔方塊組X、Y、Z進行3×3陣列獲得。

類似于積木搭建，組裝單胞空間排布的過程中，其單胞之間的連接具有一定的隨機性，分析過程抽象且復雜，因此，需要進一步將組裝單胞的擴展過程進行數學描述，實現組合排列問題向數學問題的轉化，以便更加客觀地分析此類隨機性問題。

根據上述簡化標定，實現了單胞空間狀態的數學描述，

如圖 14a所示，在魔方框架中的全局坐標系下，魔方塊自身的3個朝向可視為局部坐標系，其軸向排布狀態用 XRC、YRC、ZRC進行標定，表示沿著某一個方向，魔方塊局部坐標系中的XRC、YRC、ZRC方向沿著全局坐標系中X、Y、Z某一個軸向方向的數量，例如，在圖13e的魔方中，沿著全局坐標系中Z軸方向，每一層ZRC的數量為9，整個魔方中ZRC的數量為27，通過此類標定，將組裝單胞的排布問題轉化為平面數組的尋優問題，如圖14b～圖14d所示。組裝單胞的空間狀態在對應的3個平面數組中等效表示為X（k）（y，z）、Y（k）（x，z）和Z（k）（x，y），三者均可取值1、0、-1，但具有一定的約束關系：

X（k）（y，z）+Y（k）（x，z）+Z（k）（x，y）=0（21）

其中，X、Y、Z分別表示魔方排布框架中全局坐標系的三軸朝向，上標k表示沿X、Y、Z朝向對應Y-Z、X-Z、X-Y平面的層級，k取值1，2，3，下標（y， z）表示Y-Z面中的特定位置，（x， z）、（x， y）同理。例如，圖14a所示位置排布的魔方塊空間狀態待定，當沿Z軸方向的Z（2）（2，2）取1時，Y（2）（2，2）可取值0或-1，若Y（2）（2，2）取值0，則X（2）（2，2）=-1；若Y（2）（2，2）取值-1，則 X（2）（2，2）=0。因此，對于三階模型的平面數組，∑X（k）（y，z）、∑Y（k）（x，z）、∑Z（k）（x，y）的取值范圍均為［-27 ，27］。

4.2 基于三階魔方的調控模型

為了調控組裝結構的軸向性能差異，基于上述魔方塊的簡化表示方法，結合空間排布來搭建性能調控模型。由于組裝單胞三軸向的性能差異至少需要搭建三階擴展結構才能實現單胞不同狀態的均勻分布，因此，本文設計的承載性能調控框架為3×3×3形式的三階魔方編碼空間，包含27個塊體，用于表示待引入的組裝單胞的空間點位，如圖15所示，綠色塊體在Z方向上具有增強、保持、減弱3種布局形式。

以同軸排布的三階點陣結構為例，沿X、Y、Z軸分別僅布局減弱、保持、增強的單胞狀態，對應用魔方塊進行簡化表示，如圖15b所示。在該調控結構中，沿X、Y、Z軸分層的單胞排布狀態可分別用全為-1、0、3的3×3平面數組進行描述，如圖15c所示。綜上，同軸排布的三階點陣結構分別沿X、Y、Z軸對應的3層數組求和分別為-27、0、27，對應表示性能最優、與傳統結構相近、性能最弱三種極端屬性狀態。由于軸向差異調控結構搭建的關鍵在于構建組裝單胞狀態均勻分布的擴展結構，即在調控框架中滿足∑X（k）（y，z）=∑Y（k）（x，z）=∑Z（k）（x，y）=0，得出相應的單胞排列組合。綜上，基于三階魔方的調控框架，分5個步驟實現調控模型的創建。

（1）構建三階魔方，即搭建八面體的三階周期性擴展結構，將三階魔方視為一個整體，即三階周期性擴展結構視為一個單胞集。

（2）組裝單胞在排列組合的過程中，需要保證在周期性擴展結構中沿著三個軸向所包含的單胞朝向數量均等，即在圖14a中的分別沿著X、Y、Z方向所在平面上的XRC、YRC、ZRC的數量均等，以確保在魔方構型中實現單胞的三個軸向狀態分布均勻，進而實現軸向性能差異的優化。

（3）采用魔方塊的簡化表示來求解步驟（2）的排列組合，即本文將XRC、YRC、ZRC朝向的狀態用數字-1，0，1進行表示。因此，求解魔方（圖14a）全局坐標系下的X、Y、Z軸方向所在平面（圖14b～圖14d）數組總和∑X（k）（y，z）、∑Y（k）（x，z）、∑Z（k）（x，y），通過約束∑X（k）（y，z）=∑Y（k）（x，z）=∑Z（k）（x，y）=0，得到離散組裝八面體超材料的布局優化等效模型。

（4）考慮工藝因素，為了便于組裝，本文構建了同軸向鄰接的魔方塊組圖（圖13f），并按照對稱設計的思路構建了優化模型。具體過程如下：首先，在X-Y面上對稱排布三類魔方塊組，如圖16a所示，得到3種排布方案。以方案1為例，對角線上放置編碼為“-1”的魔方塊組，編碼為“0”，“1”的魔方塊組對稱分布于其兩側，確保沿X軸、Y軸方向每一層均包含3類魔方塊組。隨后，魔方塊組繞其中心軸旋轉，如圖16b、圖16c所示，確保沿X軸、Y軸方向每一層所對應的3×3數組均包含全為-1、0、1的一維列數組，即沿X、Y軸對應的分層Y-Z面、X-Z面對稱排布，如圖17所示，得到基于魔方構型的布局優化模型方案1，同理得到方案2和方案3的布局模型。

（5）對照優化模型方案1、方案2、方案3搭建相關的八面體擴展結構，得到結構性能差異調控模型，如圖18所示。

4.3 仿真驗證

為了驗證圖18所構建的3種調控模型的調控效果，本文分別對調控模型三種方案進行有限元分析，并與樣例模型的仿真結果進行對比，驗證結構性能的調控效果，見圖19。

如圖19a所示，對三類調控結構分別沿X、Y、Z三個軸向進行壓縮仿真，仿真材料參數設置與之前仿真算例保持一致。

調控結構的下邊界施加固定約束，上邊界施加位移約束u=1.8 mm。調控結構的外型尺寸L=180 mm。仿真分析調控結構在下壓過程中承載能力，求解壓縮過程中的等效負載F，通過式（20）得到等效彈性模量來驗證調控效果。

結果如表1所示，與樣例的周期性擴展結構相比，離散組裝八面體超材料性能差異從26.46%分別降低到1.35%、1.06%、2.04%。表明調控結構方案1、方案2、方案3能夠有效地調控離散組裝八面體超材料的X、Y、Z三個軸向上的性能差異，如圖19b所示。

4.4 實驗驗證

為了驗證調控結構的實際性能調控效果，選擇仿真中調控效果最優的方案2，組裝三套對應

調控結構的實物模型，利用萬能試驗機進行壓縮實驗，如圖20所示。分別沿調控結構的X、Y、Z三個方向壓縮，進行三組實驗。并繪制了對應壓縮過程中的下壓位移-力曲線，如圖20c～圖20e所示，線彈性階段為曲線的直線段，其斜率對應調控結構的剛度，大小與調控結構的等效彈性模量成比例關系，可直接用于調控結構三個軸向承載能力對比的評價指標。

實驗結果表明，調控結構沿X、Y、Z三個軸向的等效剛度分別為5.26×105，4.79×105，5.11×105 N/m，因此，從整體角度出發，沿不同軸向進行壓縮實驗，調控結構的軸向性能差異分別為4.09%、5.21%、1.12%，相比同軸排布的結構的仿真結果，其最大差異從24.46%下降到5.21%，進而說明調控結構的軸向性能差異調控效果良好。相比于仿真結論其最大差異從1.06%上升到了5.21%，屬于合理范圍之內。

5 結論

基于螺栓連接的離散組裝形式可以有效實現八面體超材料單胞的制備和周期性拓展，但會帶來八面體超材料單胞正交方向的性能差異。通過數字編碼思想建立三階魔方調控模型，仿真結果表明，組裝結構的性能最大差異從26.46%縮小至1.06%，并通過壓縮實驗有效驗證了調控結構的調控效果。本文所提出的離散組裝設計與性能調控的方法，豐富了八面體超材料的離散組裝形式，為八面體超材料的低成本制造和大規模應用提供了創新方案。

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（編輯 王艷麗）

作者簡介：

付君健，男，1987年生，講師。研究方向為結構拓撲優化、超構材料設計、結構缺陷識別。發表論文20余篇。E-mail：fjj@

ctgu.edu.cn。吳海華（通信作者），男，1970年生，教授。研究方向為石墨/石墨烯增材制造技術。發表論文70余篇。E-mail：wuhaihua@ctgu.edu.cn。