基于貝葉斯方法的混凝土強度接收準則研究

摘"要"以一次計量抽樣檢驗理論為依據，綜合平衡生產方風險和使用方風險，并適當考慮保護生產方利益，提出無論對于標準差已知統計方法還是標準差未知統計方法，混凝土強度平均值的評定系數k均應對應于90%的等效保證率（0.9分位值）；并以貝葉斯理論為依據確定了標準差未知統計方法的抽樣方案。樣本容量很小時，以平均質量標準差為依據建立了非統計方法的接收準則，并根據一次計數抽樣檢驗理論提出最小值接收準則，并作為平均值接收準則的補充。采用貝葉斯方法，將前一檢驗周期內的樣本和本次抽樣樣本合并，通過擴大樣本容量，提高了標準差已知統計方法接收準則的檢驗功效；同時采用貝葉斯方法，綜合考慮平均質量標準差和實測樣本標準差，提高了非統計方法接收準則的檢驗功效。本文建議的接收準則具有更明確的統計學依據，通過采用統一的等效保證率使各種方法保持了較接近的檢驗功效，并用貝葉斯方法將各種方法統一于標準差未知統計方法。實例分析表明，本文建議的接收準則總體上略比GB/T 50107—2010嚴格，但變動幅度在可接受范圍；采用合理的先驗標準差后，本文建議的貝葉斯改進方法可以得到科學合理的評定結果。

關鍵詞"貝葉斯方法，"混凝土強度，"接收準則，"檢驗功效，"標準差

Study on Acceptance Criterion of Concrete Strength Based on Bayesian Method

JIANG Lixue^*"ZHENG Shiju"WANG Zhuolin

（Shanghai Key Laboratory of Engineering Structure Safety，Shanghai Research Institute of Building Sciences Co.，Ltd.，"Shanghai 200032，"China）

Abstract"Based on the theory of one-time sampling inspection，"balancing the risks of the manufacturer and the user，"and considering the protection of the interests of the manufacturer，"it is proposed that the evaluation coefficient k"for strength average value should be corresponded to 90% the equivalent assurance rate （0.9 Quantile value）"for both the known standard deviation method and the unknown standard deviation method，"and the sampling scheme when the standard deviation is unknown is determined based on Bayesian theory. When the sampling size is very small，"the acceptance criteria of non-statistical method is established based on the average quality standard deviation，"and the minimum value acceptance criterion is proposed according to the theory of one-time sampling inspection. Using the concept of Bayesian method，"the samples in the previous inspection cycle and the current inspection cycle are combined to expand the sample size and improve the test efficacy of the acceptance criteria with known standard deviation. Bayesian method is adopted to comprehensively consider the average quality standard deviation and the standard deviation of measured samples to improve the test efficacy of acceptance criteria of non-statistical method. The acceptance criteria proposed in this paper have a more clearly statistical basis. The unified equivalent guarantee rate is used to keep the test efficacy close to each other，"and the Bayesian theory is used to unify the various methods into the statistical method with unknown standard deviation. The case analysis shows that the acceptance criteria proposed in this paper are slightly stricter than those in GB/T 50107—2010，"but the variation range is within the acceptable range；"after adopting reasonable prior standard deviation，"the Bayesian improved method proposed in this paper can obtain scientific and reasonable evaluation results.

Keywords"Bayesian method，"concrete strength，"acceptance criteria，"test efficacy，"standard deviation

0"引"言

混凝土抗壓強度直接影響混凝土結構的質量和安全，因此是混凝土結構施工質量中最重要的主控項目之一^［1］，也是混凝土結構工程質量檢測和既有混凝土結構可靠性鑒定中最核心的檢測項目之一。合理的混凝土強度接收準則應該符合三個方面的要求：一是應符合統計學原理，不同方法有較一致的目標；二是應以保證工程質量和安全為前提，兼顧抽樣成本和工程實踐，平衡好生產方風險和使用方風險；三是應與國際標準接軌，便于我國標準的國際化。

文獻［2］對中國^［3-4］、美國^［5］、英國^［6］標準中的混凝土強度接收準則進行了比較分析，結果表明：我國標準規定的極限質量水平明顯偏低，導致混凝土強度接收準則明顯低于國外標準，不利于保證工程質量、降低使用方風險，也不利于與國際標準接軌；中外多數標準的強度平均值接收準則不符合一次計量抽樣檢驗理論，標準差已知統計方法、標準差未知統計方法與非統計方法的檢驗功效差異很大；多數情況下沒有必要同時設置最小值接收準則。美國ACI標準^［5］的混凝土強度接收準則總體較均衡、合理，值得我國標準借鑒學習。

本文借鑒美國ACI標準^［5］，并結合我國標準的傳統習慣，提出我國混凝土強度接收準則的改進建議。以一次計量抽樣檢驗理論為依據，綜合平衡生產方風險和使用方風險，并適當考慮保護生產方利益，提出標準差已知統計方法的平均值評定系數k應對應于90%的等效保證率（0.9分位值）。以貝葉斯理論為依據，通過與標準差已知統計方法保持一致的0.9分位值，確定標準差未知統計方法的抽樣方案。樣本容量n很小時，以平均質量標準差為依據建立非統計方法的接收準則，并根據一次計數抽樣理論提出最小值接收準則，作為平均值接收準則的補充。采用貝葉斯方法，將前一檢驗周期內的樣本和本次抽樣樣本合并，通過擴大樣本容量，提高標準差已知統計方法接收準則的檢驗功效；同時采用貝葉斯方法，綜合考慮平均質量標準差和樣本標準差，提高非統計方法接收準則的檢驗功效。最后以實例驗證本文建議接收準則的合理性。

1"標準差已知時的平均值接收準則

1.1 一次計量抽樣檢驗原理

平均值接收準則是根據一次計量抽樣檢驗理論得到的，且多采用保護生產方利益的原則^［7］。平均值接收準則有標準差已知統計方法（σ法）和標準差未知統計方法（s法）兩種類型：標準差已知時，直接采用已知的母體標準差σ，接收準則為f_m ≥ f_k+kσ；標準差未知時，采用樣本標準差s，接收準則為f_m ≥ f_k+ks。其中，f_m為強度平均值，f_k為強度標準值，k為評定系數。抽樣方案（k，n）就是確定抽樣樣本容量n與評定系數k的組合。

設可接收質量水平AQL的不合格品率為p₀（對應的生產方風險為α），極限質量水平LQL的不合格品率為p₁（對應的使用方風險為β）。根據一次計量抽樣原理，標準差已知和標準差未知條件下的評定系數k相同，均為^［7］

標準差已知時，

標準差未知時，

根據我國標準《混凝土結構設計規范》（GB 50010—2010）^［8］的定義，混凝土強度標準值具有95%的保證率，故可接收質量水平AQL的不合格品率p₀=0.05。兩類風險的一般控制范圍是：α=1%～5%，β=5%～10%。我國國家標準《建筑工程施工質量驗收統一標準》（GB 50300—2013）^［9］規定：對于主控項目，α、β均不宜超5%；對于一般項目，α不宜超過5%，β不宜超過10%。混凝土強度屬于主控項目，故α和β均宜取0.05^［3］；產品抽樣標準一般建議取α=0.05，β=0.1^［7］。設k₁=Ф^-1（1-p₁），則由式（2）可知，標準差已知時的抽樣方案為：

α=0.05、β=0.05時，

α=0.05、β=0.1時，

標準差未知時，式（4）、式（5）中的k保持不變，n均應再乘以（1+k²/2）。

可見，評定系數k實質上是對應于1-p₀的評定系數1.645和對應于1-p₁的評定系數k₁的加權平均值。當α=0.05、β=0.05時，兩者的權重系數均為1.0；當α=0.05、β=0.1時，k₁的權重系數為1.0，1.645的權重系數為0.78。故Ф（k）可稱為平均值接收準則的“等效保證率”。

由式（1）—式（5）可知：極限質量水平LQL的不合格品率p₁越大（越遠離p₀），n越小，抽樣成本降低，生產方利益增大，但k₁和k越小，使用方風險越大；不合格品率p₁越小（越接近p₀），則k₁和k越大，使用方風險越小，但n快速增大，抽樣成本快速上升，生產方利益受損。可見k和n的取值是一對矛盾體，故一次計量抽樣理論建議取2p₀≤p₁≤4p₀^［7］。表1列出了該條件下根據式（1）—式（5）確定的抽樣方案。

由表1可以看出，在標準差已知條件下（σ法），當p₁=0.15～0.20時，抽樣數量n=29～13，評定系數k=1.34～1.19。美國標準ACI 318-05^［5］的接收準則基本處于這個范圍，相當于（k=1.34，n=29）的標準差已知統計方法。英國標準BS EN 2016-1：2013^［6］中標準差已知統計方法的樣本容量n=15處于這個范圍，而評定系數k=1.48則高于這個范圍。我國GB/T 50107—2010^［3］、JTJ 221-98^［4］則明顯低于這個范圍。總體上，美國ACI 318-05的取值最為合理，值得我國標準借鑒參考。

1.2 標準差已知統計方法的抽樣方案

美國標準ACI 318-05接收準則的等效保證率Ф（1.34）=91%，建議我國標準的等效保證率取為90%，其對應的評定系數k=Ф^-1（0.9）=1.282，如近似取為1.30，則與表1中σ法α=0.05、β=0.1條件下的（k=1.30，n=23）抽樣方案相當，其對應的p₁=0.15（極限質量水平的保證率為85%）。

但是我國標準GB/T 50107—2010^［3］對σ法要求的樣本數量n僅為3，同時要求前一檢驗期有大于45個樣本數據作為計算標準差σ的基礎條件。可見，我國標準要求的樣本容量遠未達到表1中標準抽樣方案的要求。

圖1為k固定取1.30、樣本容量n取不同數值時抽樣方案的OC曲線比較。可以看出，隨著n的減小，OC曲線的檢驗功效明顯降低；s法的檢驗功效低于n相等時的σ法；不管是σ法還是s法，各條曲線均交匯于［p=0.1，L（p）=0.5］這一點。由于Ф（k=1.30）=0.9，其對應的接收概率為50%，說明評定系數k具有的置信水平C為0.5。

由圖1可知，即使k取相同數值，當樣本容量不同時，抽樣方案的檢驗功效差異也很大：在標準差未知條件下（s法），n=45時，L（p）=0.95和L（p）=0.10對應的不合格品率分別為0.05和0.15，其檢驗功效完全符合預期（即p₀=0.05時α=0.05，p₁=0.15時β=0.1）；n=15時，L（p）=0.95和L（p）=0.10對應的不合格品率分別為0.03和0.20，其檢驗功效尚可接受（p₀=0.03時α=0.05，p₁=0.20時β=0.1）。而在標準差已知條件下（σ法），n=3時，L（p）=0.95和L（p）=0.10對應的不合格品率分別為0.001和0.3，其檢驗功效無法接受（p₀=0.001時α=0.05，p₁=0.3時β=0.1），此時有p₀=0.05時α=0.28，p₁=0.15時β=0.32，可見這個抽樣方案既不能將使用方風險控制在可接受范圍，也不能將生產方風險控制在可接受范圍。

上述分析結果表明，要將使用方風險和生產方風險同時控制在合理范圍，樣本容量應足夠大。而GB/T 50107—2010中對σ法只要求n=3，遠未達到標準抽樣方案的要求。鑒于GB/T 50107—2010中對σ法要求前一檢驗期有n≥45個樣本數據，按照貝葉斯方法的思想，前一檢驗期的45個樣本數據可作為先驗數據，與3個實測樣本數據合并，則共有48個樣本數據，對這48個樣本數據計算平均值f_m和標準差s，只要符合f_m ≥ f_k+1.30s的條件即可接收。此時樣本數據已達48個，超過了表1中s法對k=1.30時n=43的要求。

2"標準差未知時的平均值接收準則

很多情況下，當生產不連續時，前一檢驗期的樣本數據達不到45個，不滿足標準差已知的評定條件，這時只能采用標準差未知統計方法（s法）。

鑒于標準差已知時的平均值接收準則的評定系數k=1.30，而Ф（k=1.30）=0.9。為了保持s法與σ法的統計學原則一致，s法的評定系數k（t分布）也應采用0.9分位值。n不同時，對應于0.9分位值的評定系數k的計算公式如下：

區間σ法：

貝葉斯σ法：

貝葉斯s法：

一般貝葉斯法不能充分反映統計不定性的影響，評定結果（特別是標準差）受統計不定性影響顯著，相應的等效置信水平過低，評定結果偏于冒進。為克服一般貝葉斯法的這個缺陷，姚繼濤等^［10］提出了小樣本貝葉斯法。小樣本貝葉斯方法不僅可回避區間估計法中因置信水平選擇帶來的困難，而且可全面反映統計不定性對評定結果的影響，其均值評定結果相對準確（等效置信水平為0.5），而標準差評定中的等效置信水平可滿足一般性要求（樣本容量為4～70時，等效置信水平為0.58～0.85，而且樣本容量越小，等效置信水平越高），評定結果穩妥、適中，便于應用。其提出的母體標準差σ與樣本標準差s的換算公式如下：

貝葉斯σ法的0.9分位值評定公式為

由式（9）和式（10），得到由小樣本貝葉斯法確定的評定系數k為：

表2列出不同n時，采用不同方式計算的對應于0.9分位值的評定系數k。可見，貝葉斯σ法計算的k接近于C=0.6時的區間σ法。貝葉斯s法計算的k，與不同置信水平C的區間σ法相當：ngt;30時，與C=0.6時的區間σ法相等；n=7～29時，介于C=0.6與C=0.75的區間σ法之間；n=4～6時，介于C=0.75與C=0.9的區間σ法之間；n=3時略大于C=0.9的區間σ法。

小樣本貝葉斯法計算的k，ngt;45時，與C=0.6時的區間σ法基本相當；n=17～40時，介于C=0.6與C=0.75的區間σ法之間；n=8～16時，介于C=0.75與C=0.9的區間σ法之間；n=4～7時，大于C=0.9的區間σ法且隨n的減小而迅速增大。表2中同時列出美國標準ACI 318-05^［5］和英國標準BS EN 206-1：2013^［6］的k值。ACI 318-05的k值與小樣本貝葉斯法相當，但其n取值不連續。BS EN 206-1：2013規定，當n≥15時，k=1.48，而小樣本貝葉斯法n=15時，k也是1.48。文獻［11］將BS EN 206-1：2013的k值擴大應用至n=3～14范圍（對應的k值也列于表2英國標準一列），其k值在n=7～14范圍內與小樣本貝葉斯法基本相當，在n=3～6范圍內小于小樣本貝葉斯法。

綜上所述，總體上美國標準和英國標準中k的取值與小樣本貝葉斯法相當。但由于其取值偏大，特別是當n較小時的k值明顯大于我國GB/T 50107—2010^［3］的取值，不利于保護我國的生產方利益。如表2所示，本文建議我國s法的接收準則以一般貝葉斯法為理論依據，并考慮與現有標準的延續性，仍以n=10～14、n=15～19、n=20～44、n≥45分為四檔，對應的k分別為1.45、1.40、1.35、1.30。可見，n≥45時k=1.30與σ法的取值完全相同。。

圖2為s法不同抽樣方案的OC曲線比較。可見，各曲線大致交匯于［p=0.12，L（p）=0.28］；L（p）=0.5時的不合格品率p在0.07～0.1之間，且隨n減小而減小；L（p）=0.95時的不合格品率p在0.01～0.05之間，且隨n減小而減小；L（p）=0.1時的不合格品率p在0.15～0.2之間，且隨n減小而增大。p=0.1時的L（p）在0.36～0.46之間，且隨n減小而減小；p=0.05時的L（p）在0.66～0.95之間，且隨n減小而減小；p=0.15時的L（p）在0.10～0.19之間，且隨n減小而增大。綜上所述，隨著n減小，即使k的取值有一定增大，但OC曲線逐漸變得平坦，檢驗功效降低，p₀=0.05時的生產方風險由0.05增大為0.34，p₁=0.15時的使用方風險由0.1增大為0.19。可見減小樣本容量既不利于控制使用方風險，更不利于控制生產方風險。

3"非統計方法的平均值和最小值聯合接收準則

3.1 非統計方法的平均值接收準則

理論上說，s法適用于n=3～9，故表2中標準差未知時的評定系數k列出了n=3～9時的取值，其OC曲線見圖3。從表2中數值可見，在n=3～9范圍內，k隨n減小而迅速增大，當n≤5時kgt;1.645，故圖2中L（p）=0.5對應的保證率Φ（k）超過了95%，極不利于控制生產方風險。另一方面，n=3～9時計算的樣本標準差s不能準確估計母體標準差σ，故n=3～9時不宜直接采用s法的接收準則。

我國《港口工程質量檢驗評定標準》（JTJ 221—98）^［4］的非統計方法接收準則采用f_m ≥ f_k+kσ₀的形式，其中評定系數k=1.0，σ₀為混凝土強度平均質量水平的標準差（平均質量標準差）：小于C20時取3.5 MPa，C20～C40時取4.5 MPa，大于C40時取5.5 MPa。

本文也采用這種形式，但考慮到高強混凝土的標準差相對較大且與設計強度等級線性相關，建議σ₀取值為：小于C20時取3.5 MPa，C20～C40時取4.5 MPa，C45～C55時取5.5 MPa，大于或等于C60時取0.1f_k。當以平均質量標準差σ₀代替樣本標準差s時，可認為標準差變為“已知”。此時可取表2中n=3～9時的區間σ法（C=0.75）k值的中位值，即n=6時的k值（1.56，實取1.55）。這樣，n=3～9時非統計方法的接收準則為f_m ≥ f_k+1.55σ₀。將上述σ₀代入接收準則可得到：

小于C20時："f_m ≥ f_k+5.5；

C20～C40時："f_m ≥ f_k+7.0；

C45～C55時："f_m ≥ f_k+8.5；

大于或等于C60時："f_m ≥ 1.15f_k。

采用非統計方法時，GB/T 50107—2010規定的接收準則為：小于C60時，f_m ≥1.1 f_k；≥C60時，f_m ≥ 1.15f_k。因此，對大于或等于C60的高強混凝土，本文的接受準則與該標準協同；但對普通混凝土（小于C60），本文的接收準則比該標準嚴格（前者比后者要求高3～5MPa）。

3.2 非統計方法的最小值接收準則

上述平均值接收準則中，無論是k還是σ₀的取值都比較粗糙，有必要以最小值接收準則對非統計方法進行補充，建立聯合接收準則。最小值接收準則以一次計量抽樣檢驗理論為依據^［12］，采用f_min≥f_m-k^*σ₀或f_min≥f_k-k'σ₀的形式。抽樣n次得到的最小值相當于找到了母體分布中的p分位值，其對應的使用方風險為α，則p與α有如下關系^［13］：

則評定系數k^*和k'分別為

表3列出α=0.05、α=0.1、α=0.25時的k^*和k'計算值。由表可見，在一致的生產方風險α下，隨著抽樣數量n的增多，最小值對應的保證率（1-p）迅速增大。當n取3～10，α=0.05時最小值對應的保證率在0.983～0.995之間，α=0.1時的保證率在0.965～0.990之間，α=0.25時的保證率在0.909～0.972之間。綜合分析，α=0.05和α=0.1時的生產方風險過低，α=0.25時的生產方風險比較適中。最終取α=0.25（即C=0.75）的方案。為使用方便，根據表3中α=0.25方案下計算的k'值，建議按如下方式評定混凝土強度最小值：

n=3時："f_min ≥ f_k；

n=4時："f_min ≥ f_k-0.2σ₀；

n=5時："f_min ≥ f_k-0.3σ₀；

n=6時："f_min ≥ f_k-0.4σ₀；

n=7～8時："f_min ≥ f_k-0.5σ₀；

n=9時："f_min ≥ f_k-0.6σ₀。

3.3 用貝葉斯方法改進非統計方法的接收準則

根據文獻［14-15］，用貝葉斯方法評定混凝土強度標準值（p分位值）的公式如下：

一般情況下，混凝土強度的先驗均值很難得到，故n'=0；而混凝土設計強度等級相同時，標準差比較穩定，因此認為先驗標準差s'易于得到，且其變異系數δ（s'）=0.3，故υ'=1/［2δ（s'）²］=5^［14］。將上述條件代入式（15）—式（19），得

將式（20）代入式（15）并取p=0.1，經變換得

先將先驗標準差s'取為平均質量標準差σ₀，σ₀分為3.5 MPa、4.5 MPa、5.5 MPa、0.1f_k四個等級；同時假定對應的抽樣樣本標準差s分別為2～6 MPa、2.5～7.5 MPa、3～9 MPa、（0.06～0.16）f_k。根據式（21）和式（23）計算得到的Δ=k列于表4。可見，在n=3～9范圍內，σ₀=3.5MPa時，Δ在3.8～7.4 MPa之間，極差3.6 MPa，平均值5.7 MPa；σ₀=4.5 MPa時，Δ在4.9～9.3 MPa之間，極差4.4 MPa，平均值7.2 MPa；σ₀=5.5 MPa時，Δ在5.9～11.2 MPa之間，極差5.3 MPa，平均值8.7 MPa；σ₀=0.1f_k時，Δ在（0.111～0.199）f_k之間，極差0.088f_k"（f_k=60～80 MPa時，0.088f_k =5.3～7.0 MPa），平均值0.157f_k。

綜上分析，就平均值而言，用貝葉斯方法改進的接收準則與未改進前的非統計方法十分接近（前者略偏大），這一方面說明了未改進前的非統計方法取評定系數k=1.55的合理性；另一方面說明用貝葉斯方法改進的接收準則更能反映實際狀況，因此更為精確，這可以從σ₀相同時的極差仍達3.6～7.0 MPa體現出來。由式（21）可知，用貝葉斯法改進后的接收準則，其標準差是先驗標準差s'和抽樣樣本標準差s的加權平均值，提高了抽樣樣本數據的利用程度，同時又克服了抽樣樣本數量少的缺陷。由式（23）可知，貝葉斯方法改進后的接收準則，自由度由n-1提高為n+4，k的數值有所減小且隨n的變化程度減小，因此其評定系數k的取值也比較有利。

表4算例的先驗標準差直接采用平均質量標準差即s'=σ₀，這是標準差的先驗信息最少時的做法。事實上，對一個生產穩定、管理規范的預拌混凝土生產企業而言，其掌握的標準差先驗信息比較充分，采用本企業的先驗標準差s'時，可得到更為精確的評定結果。值得指出的是，用貝葉斯方法改進的只是平均值接收準則，為確保安全，建議仍保留最小值接收準則作為補充，此時，應將平均質量標準差σ₀改為后驗標準差。

從上述分析可知，用貝葉斯方法改進的非統計方法接收準則，只利用了標準差的先驗信息。而同時利用平均值和標準差的先驗信息時，就是前述用貝葉斯方法改進的標準差已知接收準則，即將先驗樣本與抽樣實測樣本合并后進行統計評定。

上面建立了標準差已知統計方法、標準差未知統計方法和非統計方法三類條件下的混凝土強度接收準則，匯總后列于表5。綜合起來看，如果非統計方法的接收準則采用貝葉斯改進方法，則也是一種標準差未知統計方法，三類方法的區別僅在于先驗信息的利用程度：標準差已知統計方法，實測樣本最少（n=3），但先驗信息最充分、利用程度最強；非統計方法的樣本數較少（n=3～9），但有一定的先驗信息可以利用，且先驗信息發揮的作用較大；標準差未知統計方法的樣本數較多（n≥10），這時先驗信息發揮的作用不大，故未利用先驗信息。

4"比較與分析

現選用文獻［16］中的實測數據，比較本文建議方法與國家標準《混凝土強度檢驗評定標準》（GB/T 50107—2010）^［3］評定結果的效果異同，驗證本文方法的合理性。

4.1 不同單位、不同強度等級的評定結果比較

文獻［16］中有來自不同單位、不同設計強度等級的混凝土強度數據245組，樣本數量n=3～722不等，混凝土設計強度等級為C15～C60、C80。分別采用GB/T 50107—2010^［3］和本文建議的非統計方法和標準差未知統計方法進行混凝土強度評定，并對兩者評定結果進行統計分析，可得到如下結論：

245組數據中，42組采用非統計方法進行評定，203組采用標準差未知統計方法進行評定。按GB/T 50107—2010評定時，分別有3組和17組數據的評定結果由最小值接收準則控制，占比分別為7.1%和8.4%，說明最小值接收準則在GB/T 50107—2010中是一種不可或缺的重要補充。采用本文建議方法時，在標準差未知統計方法中沒有最小值接收準則控制的數據組，在非統計方法中僅有1組數據評定結果由最小值接收準則控制，由此可見，最小值接收準則在本文建議方法中作用很小。

圖4為本文建議方法與GB/T 50107—2010方法評定結果差值Δ的分布圖。絕大多數情況下，本文方法比GB/T 50107—2010方法嚴格（即差值Δlt;0），最小值為-4.2 MPa，最大值為3.0 MPa，平均值為-1.2 MPa，中位值為-1.06 MPa。其中，差值Δ多數分布于-2～0 MPa之間，共占93%，其余7%分布于兩頭。在非統計方法中，GB/T 50107—2010在設計強度等級不高時的接收準則過于寬松，而在設計強度等級較高時又偏于嚴格，故在后一種情況下可能出現差值Δgt;0的情況。在標準差未知統計方法中，GB/T 50107—2010方法的最小值接收準則有時不僅比其自身的平均值接收準則嚴格，甚至可能比本文建議的平均值接收準則還嚴格，這時也會出現差值Δgt;0的情況。

4.2 相同單位、不同強度等級的評定結果比較

文獻［16］給出A公司和B公司兩個單位的不同強度等級的混凝土數據，樣本數量n=7、12、18、29，混凝土設計強度等級在C15～C60之間。不同設計強度等級、不同樣本容量下的標準差，A公司在0.76～1.95 MPa之間，平均為1.14 MPa；B公司在1.15～3.80 MPa之間，平均為2.31 MPa。可見，兩個單位的質量控制水平均較高，尤其是A公司。

n=12、18、29時，采用標準差未知統計方法。按GB/T 50107—2010評定時，最小值接收準則均不起控制作用；本文方法與GB/T 50107—2010評定結果差值Δ在-1.2～-0.8 MPa之間。由表5可知，本文與GB/T 50107—2010標準差未知方法的平均值評定結果之差為Δ=-（0.3～0.4）s，當s=2.5～3.8 MPa時，計算結果與上述結論吻合；但當s=5～8 MPa時，差值Δ可能達-3～-2 MPa。

n=7時，采用非統計方法，表6列出不同方法評定結果的比較。因為兩個單位數據的樣本標準差均較小，所以在各種評定方法下，最小值接收準則均不起控制作用。按GB/T 50107—2010方法，B公司的8個設計等級均能通過評定，而A公司的8個設計等級只有前3個能通過評定。

按本文建議的非統計方法，混凝土強度標準值評定結果與GB/T 50107—2010的差值為-3.7～-0.4 MPa，平均為-2.2 MPa，即評定結果均小于GB/T 50107—2010，B公司的各設計強度等級仍能通過評定，而A公司的各設計等級均不能通過評定。可見，本文建議的非統計方法比GB/T 50107—2010嚴格。

按本文的貝葉斯改進方法a（即先驗標準差s'取平均質量標準差σ₀），混凝土強度標準值評定結果與GB/T 50107—2010的差值為-1.5～1.8 MPa，平均為0 MPa，即部分設計強度等級的評定結果大于GB/T 50107—2010而另一部分設計強度等級的評定結果小于后者，B公司的各設計強度等級均能通過評定，而A公司的8個設計強度等級中有3個也通過了評定。

由于這兩個單位的管理水平較高，經驗表明，A公司的混凝土強度標準差完全能控制在2.5 MPa以內，B公司的混凝土強度標準差基本能控制在3.5 MPa之內。本文貝葉斯改進方法b以這兩個數值作為本單位的先驗標準差，則評定結果有很大改觀：混凝土強度標準值評定結果與GB/T 50107—2010的差值為-1.5～3.6 MPa，平均為1.0MPa，大部分設計強度等級的評定結果大于GB/T 50107—2010，B公司的各設計強度等級均能通過評定，而A公司的8個設計強度等級中有7個通過了評定。

從實測數據看，A公司的管理水平很高，各設計強度等級的標準差均能控制在2.5 MPa之內，而且各設計強度等級混凝土的強度實測最小值均比設計強度等級大2～4 MPa。但由于其標準差控制得很好，實測平均強度偏低，導致按GB/T 50107—2010評定時多數不符合要求。從經驗來看，這個評定結果是不合理的，有獎劣罰優之嫌。采用本文建議的貝葉斯改進方法，當先驗標準差采用本單位自己的經驗值時，可得到較合理的評定結果，很好地體現了貝葉斯方法的優勢。

5"結"論

（1）"以一次計量抽樣檢驗理論為依據，綜合平衡生產方風險和使用方風險，并適當考慮保護生產方利益，提出標準差已知統計方法接收準則應有90%的等效保證率，即其平均值評定系數k應對應于0.9分位值。采用貝葉斯方法的理念，將前一檢驗周期內的樣本和本次抽樣樣本合并，擴大樣本容量，可提高標準差已知法接收準則的檢驗功效。

（2）"以貝葉斯理論為依據，并明確評定系數k對應于0.9分位值（與標準差已知統計方法保持一致），確定標準差未知時的抽樣方案。

（3）"樣本容量n很小時，以平均質量標準差為依據建立非統計方法的接收準則，并根據一次計數抽樣理論提出最小值接收準則，作為平均值接收準則的補充。采用貝葉斯方法，綜合考慮平均質量標準差和實測樣本標準差，提高非統計方法接收準則的檢驗功效。

（4）"本文建議的接收準則具有更明確的統計學依據，采用統一的等效保證率使各種方法保持了較接近的檢驗功效，并用貝葉斯理論將各種方法統一于標準差未知統計方法。

（5）"實例分析表明，本文建議的接收準則總體上略比GB/T 50107—2010嚴格，但變動幅度在可接受范圍；采用合理的先驗標準差后，本文建議的貝葉斯改進方法可以得到科學合理的評定結果。

參考文獻

［1］ 中華人民共和國住房和城鄉建設部.混凝土結構工程施工質量驗收規范：GB 50204—2015［S］.北京：中國建筑工業出版社，2015.

Ministry of Housing and Urban-rural Development of the People's Republic of China.Code for acceptance of constructional quality of concrete structures：GB 50204—2015［S］.Beijing：China Architecture and Building Press，2015.（in Chinese）

［2］ 李勇生，蔣利學，王卓琳.中外標準中混凝土強度接收準則對比分析［J］.施工技術（中英文），2022，51（9）：1-8.

LI Yongsheng，JIANG Lixue，WANG Zhuolin.Comparative analysis of concrete strength acceptance criteria in Chinese and foreign standards［J］.Construction Technology，2022，51（9）：1-8.（in Chinese）

［3］ 中華人民共和國住房和城鄉建設部.混凝土強度檢驗評定標準：GB/T 50107—2010［S］.北京：中國建筑工業出版社，2010.

Ministry of Housing and Urban-rural Development of the People's Republic of China.Standard for evaluation of concrete compressive strength：GB/T 50107—2010［S］.Beijing：China Architecture and Building Press，2010.（in Chinese）

［4］ 中華人民共和國交通部.港口工程質量檢驗評定標準：JTJ 221-98［S］.北京：人民交通出版社，1998.

Standard of quality inspection and assessment for port engineering construction：JTJ 221-98［S］.Beijing：China Communications Publishing amp; Media Management Co.Ltd，1998.（in Chinese）

［5］ Building code requirements for structural concrete and commentary：ACI 318-05［S］.Michigan：American Concrete Institute，2005.

［6］ Concrete—Part 1：specification，performance，production and conformity：BS EN 206-1：2013［S］.London：British Standards Institution，2013.

［7］ 信海紅.抽樣檢驗技術［M］.北京：中國計量出版社，2013.

XIN Haihong.Sampling inspection technology［M］.Beiijing：China Metrology Press，2013.（in Chinese）

［8］ 中華人民共和國住房和城鄉建設部.混凝土結構設計規范：GB 50010—2010［S］.北京：中國建筑工業出版社，2010.

Ministry of Housing and Urban-rural Development of the People's Republic of China.Code for design of concrete structures：GB 50011—2010［S］.Beijing：China Architecture and Building Press，2010.（in Chinese）

［9］ 中華人民共和國住房和城鄉建設部.建筑工程施工質量驗收統一標準：GB50300—2013［S］.北京：中國建筑工業出版社，2013.

Ministry of Housing and Urban-rural Development of the People's Republic of China.Unified standard for constructional quality acceptance of building engineering：GB 50300—2013［S］.Beijing：China Architecture and Building Press，2013.（in Chinese）

［10］ 姚繼濤，程凱凱，宋璨.結構性能概率模型的小樣本建模方法［J］.西安建筑科技大學學報（自然科學版），2016，48（2）：155-159，177.

YAO Jitao，CHENG Kaikai，SONG Can.Small samples method to establishment for the probability characteristic of structural performance［J］.Journal of Xi'an University of Architecture amp; Technology（Natural Science Edition），2016，48（2）：155-159，177.（in Chinese）

［11］ TAERWE L.Evaluation of compound compliance criteria for concrete strength［J］.Materials and Structures，1988，21：13-20.

［12］ 張仁瑜，田冠飛.抽樣檢驗在混凝土強度評定中的應用［J］.混凝土，2017（7）：1-6.

ZHANG Renyu，TIAN Guanfei.Application of sampling inspection on conformity criteria for concrete strength［J］.Concrete，2017（7）：1-6.（in Chinese）

［13］ 戴鎮潮.以一次計數抽樣檢驗方案確定混凝土試件強度最小值的合格界限［J］.商品混凝土，2007（1）：52-54.

［14］ General principles on reliability for Structures：ISO 2394：2015［S］.Switzerland：International Organization for Standardization，2015.

［15］ 中華人民共和國住房和城鄉建設部.建筑結構可靠性設計統一標準：GB 50068—2018［S］.北京：中國建筑工業出版社，2018.

Ministry of Housing and Urban-rural Development of the People's Republic of China.Unified standard for reliability design of building structures：GB 50068—2018［S］.Beijing：China Architecture and Building Press，2018.（in Chinese）

［16］ 田冠飛，張仁瑜，韓素芳.混凝土強度檢驗評定標準分析與解讀［M］.北京：中國建筑工業出版社，2018.

TIAN Guanfei，ZHANG Renyu，HAN Sufang.The analysis and interpret of test standard criteria for evaluation of concrete strength［M］.Beijing：China Architecture and Building Press，2018.（in Chinese）