雙手握“利器”，以不變應萬變

“工欲善其事，必先利其器。”通過對“二次函數”這章的學習，我們已經學會了通過建立二次函數模型解決實際問題的方法，這就是我們手握的“利器”。如何利用二次函數模型來解決生活中的實際問題，這就是“善事”的關鍵。下面，我們先通過對教材例題的解讀，來感受數學模型以不變應萬變的力量。

例題 （蘇科版數學教材九年級下冊第30頁問題3）河上有一座拋物線形的拱橋，水面寬6m時，水面離橋拱頂部3m。因降暴雨水位上升1m，此時水面寬為多少（精確到0.1m）？

解答過程見教材。

（蘇科版數學教材九年級下冊第31頁“拓展與延伸”）根據問題3給出的條件，一艘裝滿物資的小船，露出水面部分的高為0.5m、寬為4m（橫斷面如圖2）。暴雨后這艘船能從這座拱橋下通過嗎？

“拓展與延伸”是利用例題求出的二次函數表達式，結合題設條件，將平面直角坐標系中的線段長和點坐標進行互相轉化，通過比較解決問題。本題有兩種方法：①水平寬可通過，比較縱高；②縱高可通過，比較水平寬。本題在用模型的基礎上，拓展了解題的方法，延伸了模型的使用。

變式 如何設計拱橋景觀燈的懸掛方案？

素材1：圖3中有一座拱橋，圖4是其拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬20m，拱頂離水面5m。據調查，該河段水位在此基礎上再漲1.8m達到最高。

素材2：為迎佳節，擬在圖3橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長的燈籠，如圖5。為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m；為了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布。

任務1：確定橋拱形狀

在圖4中建立合適的直角坐標系，求出拋物線的函數表達式。

任務2：探究懸掛范圍

在你所建立的坐標系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標的最小值和橫坐標的取值范圍。

任務3：擬定設計方案

給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數量，并根據你所建立的坐標系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標。

任務1：以拱頂為原點，建立如圖6所示的直角坐標系，則頂點為（0，0），且過點B（10，-5），用待定系數法求得拋物線的函數表達式為y=[-120]x2。

任務2：由題意得懸掛點的縱坐標y≥-5+1.8+1+0.4=-1.8，即懸掛點的縱坐標的最小值是-1.8m，當y=-1.8時，x=±6，所以懸掛點的橫坐標的取值范圍是-6≤x≤6。

任務3：（方案一）如圖7（坐標軸的橫軸），從頂點處開始懸掛燈籠。由任務2得-6≤x≤6，且相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為1.6m，通過計算，頂點一側最多懸掛3盞燈籠，因為燈籠掛滿后成軸對稱分布，所以共可掛7盞燈籠，最左邊一盞燈籠的橫坐標為-4.8。

（方案二）如圖8，頂點處不懸掛燈籠。通過計算，頂點一側最多懸掛4盞燈籠，共可掛8盞燈籠，最左邊一盞燈籠的橫坐標為-5.6。

手握“模型”，以不變應萬變。本章“二次函數”從生活走向數學，再從數學回到生活，核心是二次函數模型的構建。從教材例題到方案設計問題，讓我們切實感受到模型在數學問題中舉足輕重的作用，進而感受到生活問題“數學化”的解決之道：只有利其器，方能善其事。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區新華實驗學校）